Formulation générale et méthodologie pour une modélisation avec des circuits-couplés 

Formulation générale et méthodologie pour une modélisation avec des circuits-couplés 

Les méthodes de modélisation des machines synchrones:

La littérature scientifique abonde de méthodes de modélisation pour des machines électriques et décrit une multitude de variantes de modèles. Le choix de la méthode de modélisation dépend du type d’information recherchée et de nombreux facteurs tels que le type et la taille de la machine. Il faut aussi tenir compte des exigences sur le temps de calcul et sur la précision. Il est possible de classer les modèles en trois grands groupes: il s’agit des éléments finis (EF) ‘’Finite Element’’ en anglais, des modèles de perméance ou circuits magnétiques équivalents ‘’Magnetic Equivalent Circuits’’(MEC) et du groupe des circuits localisés connu sous le nom de ‘’lumped circuits’’ en anglais. Modéliser ‘’par des circuits localisés’’ consiste à représenter le comportement de systèmes physiques spatialement repartis de façon concentrée dans des éléments localisés tels que des résistances, des inductances, capacitances. C’est une approche très utilisée dans les systèmes électriques afin de simplifier des problèmes complexes. De façon mathématique, cette simplification permet de réduire l’espace d’état d’un système à une dimension finie. On passe d’équations différentielles partielles d’un problème physique complexe à des équations différentielles ordinaires avec un nombre fini de paramètres, permettant une résolution numérique plus efficace comparée aux éléments finis [9]. Ainsi, une grande majorité des programmes de simulation transitoire ‘’ElectroMagnetic Transient (EMT)’’ des machines tournantes sont implantés à partir des modèles par paramètres localisés [23]. Le principal défi de ce type de modélisation réside dans l’identification des paramètres. Le modèle de circuits magnétiques couplés, le modèle dq et le modèle de Behn Eschenburg en sont les modèles les plus connus pour des machines électriques.

Modèle de Behn-Eschenburg:

Le modèle linéaire de Behn Eschenburg est un modèle de circuit équivalent pour le stator d’une machine synchrone. Il ne tient pas compte de la saturation magnétique et des effets de réluctance variable. Il suppose que l’épaisseur de l’entrefer est constante et par conséquent les inductances du stator ne dépendent pas de la position du rotor. Il est donc seulement valide pour une machine à pôles lisses et néglige l’effet des amortisseurs. Cette méthode de modélisation est simple et rapide pour une analyse en régime permanent, sans saturation. Ce modèle est valide en condition d’équilibre et donc chacune des phases peut être représentée par le schéma monophasé de la Figure 4 dans lequel r est la résistance d’une phase du stator et X la réactance constante. En présence d’amortisseurs, elle ne peut pas s’appliquer pour modéliser des régimes transitoires.

Modèle dq:

Le modèle dq ou ‘’two-axis’’ s’obtient en transformant les variables du stator dans le repère des phases a, b et c en variables fictives dans le repère d, q qui est lié au rotor. L’axe direct ou axe d est l’axe magnétique du rotor. La norme IEEE [24] définit la position de l’axe en quadrature ou axe q à 90 degrés en avant de l’axe d suivant le sens trigonométrique (Figure 6). La transformation mathématique qui permet de passer du repère a, b, c au repère dq est appelée transformation de Park. Les équations de la machine sont simplifiées avec le modèle dq, mais l’interfaçage des systèmes d’énergie externe devient plus complexe. La transformée de Park a la propriété de conserver la puissance instantanée d’où sa validité dans le régime transitoire contrairement au modèle de Behn Eschenburg [25].Toutefois, la représentation des harmoniques d’espace est biaisée [26] dans le modèle dq, car les enroulements du stator sont supposés distribués de façon sinusoïdale [27]. Le modèle est largement utilisé, mais ils ne convient pas pour certaines études spécifiques comme la simulation d’une machine ayant des enroulements arbitrairement connectés et des fautes internes [28]. L’utilisation du modèle dq pour une analyse dans des conditions déséquilibrées est aussi remise en question par certains chercheurs [29][30],[31]. Dans le cas de générateurs équipés d’une cage complète, Ranlof et al. montre dans [32] qu’il génère moins d’amortissement comparé aux résultats d’une simulation par éléments finis. Des conclusions similaires ont été faites en comparant les résultats de simulation en régime transitoire du modèle dq à d’autres modèles d’ordre plus élevé comme le modèle de circuits-couplés, dans les références [33], [34].Toutefois, le modèle dq reste un outil puissant de modélisation en raison de sa facilité d’implémentation, mais il ne convient pas pour une modélisation précise des phénomènes au rotor et l’estimation des courants dans les barres d’amortisseur. En effet, il ne peut fournir qu’un courant dans un enroulement équivalent et non la distribution de courants dans chaque barre [35][36].

Modélisation par des circuits magnétiquement couplés:

Le modèle de circuits magnétiques couplés est plus complet et plus proche de la réalité physique puisque le nombre de circuits électriques considérés peut correspondre à tous les circuits physiquement installés dans la machine. Cependant, il s’agit de circuits linéaires et il néglige certains phénomènes comme la saturation magnétique. Dans les machines synchrones, l’énergie électrique est convertie en énergie mécanique (et vice versa) à travers un champ magnétique. Dans la modélisation par circuits-couplés, la représentation des enroulements au rotor peut être fidèle à la réalité au moyen d’inductances qui vont varier en fonction de la position du rotor. On peut dériver des variantes de ce modèle en appliquant des transformations mathématiques avec des changements de référentiel et d’autres hypothèses simplificatrices.

Formulation générale pour un modèle de circuits-couplés
La formulation générale du modèle est simple à établir en utilisant les équations sous une forme matricielle. On adopte les termes suivants dans les prochaines équations: les indices en r et s se réfèrent respectivement au rotor et au stator. Lorsque les inductances sont écrites avec des indices avec une double lettre, il s’agit d’une inductance mutuelle entre ces 2 indices.

Exemple d’une variation du modèle de circuits-couplés avec réduction du nombre de circuits au rotor
Cette variante du modèle consiste à représenter l’ensemble des circuits rotor sous la forme d’un circuit équivalent à deux axes. On utilise une transformation mathématique pour réduire l’ensemble des circuits rotoriques à deux circuits, un dans chaque axe. La transformation inverse permet d’estimer les courants dans chaque barre en supposant une répartition sinusoïdale. Cette formulation du modèle circuits-couplés se rapproche du modèle dq à la différence que les circuits du stator sont gardés dans le référentiel a-b-c. Elle est présentée dans les références [1][43].

Modélisation par réseaux de perméance:

La modélisation par réseaux de perméance, encore connu sous le nom de modèle de réluctance ou modèle de circuits magnétiques équivalents est une approche de représentation de la structure de la machine [46] souvent considérée comme une méthode d’éléments finis d’ordre réduit [47]–[50]. Dans le modèle de perméance, la densité de flux dans l’entrefer est obtenue par le produit de la force magnétomotrice avec une fonction de perméance. La méthode est basée sur la représentation des trajets principaux de flux dans une machine par des éléments de perméance. Chaque perméance correspond à un trajet de flux ou plus précisément à un tube de flux1. Par analogie avec les circuits électriques, on représente les perméances par des résistances et les flux magnétiques par des courants. La force magnétomotrice est similaire à une source de tension [48].

Plusieurs auteurs [9][13][51][52] utilisent un modèle de perméance pour le calcul des courants de barre et valident leurs modèles avec les éléments finis. Traxler calcule des tensions induites dans les barres avec un modèle de perméance par intégration numérique [18]. Le principal inconvénient des fonctions de perméance est qu’il devient compliqué d’obtenir une valeur précise qui représente les harmoniques d’ordre élevé quand il y a des variations de perméance brusques ou des formes complexes. De plus, l’influence des ondulations des dents ‘’tooth ripple’’ aussi appelée ‘’slot ripple’’ n’est généralement pas incluse dans la fonction de perméance de l’entrefer [51]. Les lignes de flux dans l’entrefer sont supposées radiales. Cette hypothèse reste vraie si l’entrefer est de faible épaisseur et que les encoches sont fermées. Dans les autres cas, il arrive qu’une partie des lignes de flux se referme directement dans l’entrefer et on peut parler de flux de fuite. La perméance de la forme polaire est souvent obtenue du calcul de champs [9][49][53] pour améliorer la précision de ce modèle.

Modélisation par éléments finis:

La méthode de modélisation par éléments finis utilise une approche numérique de résolution des équations générales de l’électromagnétisme. Le maillage à résoudre peut être en 2D ou 3D. Le choix du maillage de résolution est un compromis entre la précision recherchée et le temps de calcul [47]. Aujourd’hui, l’analyse par éléments finis est un outil standard dans l’analyse électromagnétique des machines électriques tournantes [9]. Sa popularité est liée à sa capacité à gérer les calculs complexes, de géométrie variée, en tenant compte de la rotation et des nonlinéarités des matériaux magnétiques. Sa précision est liée entres autres à la densité du maillage utilisé [54] (Figure 7). La résolution magnétodynamique pas-à-pas dans le temps est très utilisée pour les problèmes électromagnétiques en régime transitoire [55]–[61]. Les équations d’un modèle par éléments finis peuvent être couplées à des circuits électriques [56] dans le cas d’une alimentation en tension pour une résolution en pas-à-pas. Cependant, le temps de calcul est généralement très élevé [56][57] et la nécessité d’utiliser une résolution transitoire est un inconvénient majeur pour faire une analyse en régime permanent en tenant compte de la rotation. Par exemple, la simulation en magnétodynamique d’une grande machine dotée de 74 circuits s’effectue en 3h pour 0.1 s en temps réel.t Il faudrait donc 300h pour simuler un régime permanent à 10s en temps réel.

Formulation générale et méthodologie pour une modélisation avec des circuits-couplés :

La formulation générale d’un modèle de circuits couplés pour des machines synchrones à rotor bobiné est détaillée dans ce chapitre. On débute le chapitre par une présentation générale de la modélisation utilisée et de ses hypothèses. On présente ensuite les équations du modèle circuits-couplés et la modélisation de la cage d’amortisseurs au rotor ainsi que les différentes variables utilisées. D’autres parties sont consacrées à l’identification des couplages magnétiques avec les éléments finis, à la gestion des coefficients liés à un domaine d’étude réduit puis à la procédure pour prendre en compte l’effet de saturation du flux à vide. Les connexions électriques entre les circuits sont aussi présentées ainsi que le calcul du couple et la méthode de prétraitement pour simuler le modèle par circuits-couplés.

Présentation de la méthode et des hypothèses:

Nous avons une formulation générale dans le repère abc pour le modèle sans utiliser de transformation mathématique. Cette formulation est plus proche de la réalité et permet une modélisation combinée des circuitscouplés avec les éléments finis [12][14][38][42 [67]. Nous appelons cette méthode (CFE-CC) pour Combination of Finite Element and Coupled Circuit modeling methods.

Présentation de la méthode
Notre méthodologie se divise en trois principales étapes qui sont résumées par les diagrammes de la Figure 8. Dans la première étape, on calcule les différentes courbes d’inductance en fonction de la position du rotor par le biais de résolutions magnétostatiques linéaires effectuées avec un logiciel de calcul par éléments finis en 2D. Il faut noter qu’il est possible de faire la même identification avec un logiciel de calcul de champ 3D pour éviter certaines hypothèses simplificatrices d’une simulation en 2D. On peut réduire le domaine d’étude en tenant compte de la symétrie présentée par la machine. Dans ce cas, il est préférable de gérer les coefficients de symétrie dans l’étape 2 plutôt que dans le logiciel de calcul de champ. La deuxième étape (Figure 8) est consacrée à des calculs préliminaires pour préparer la simulation du modèle. Elle inclut le traitement des différentes inductances et des dérivées d’inductance suivant la position du rotor. Ces résultats sont déduits d’une matrice de couplages magnétiques (MEVERYL) qui est identifiée par des simulations de calcul de champs par éléments finis. Dans cette étape, on traite aussi des informations concernant la saturation magnétique à vide et les coefficients de symétrie du domaine d’étude.

Dans l’ensemble, les formes d’onde au stator sont bien prédites. L’utilisation du test SSFR avec le modèle en phaseurs a permis d’adapter le comportement dynamique du modèle pour reproduire le fonctionnement de la machine dont notamment l’effet des courants induits dans le fer. La prise en compte de ces courants se fait par l’intermédiaire d’une impédance ajustable placée entre deux segments de court-circuit de pôles adjacents. En effet, au niveau du rotor, le régime permanent est toujours bien reproduit et les courants de barre pendant la période transitoire sont très bien représentés pour les tests à 0.2 pu. Pour les courts-circuits à 0.5 pu, quelques différences ont été notées sur la période transitoire. À cet effet, la forme générale du courant dans la 3e barre, fortement influencée par l’axe q est bien reproduite dans le test triphasé à 0.5 pu contrairement au biphasé à 0.5 pu. Il est fort probable que la composante inverse induise un courant plus élevé dans le fer, ce qui se matérialise par des amplitudes expérimentales plus élevées. Ce courant de fuite semble agir principalement sur l’amplitude des courants sans modifier la forme générale des courants en période transitoire.

Conclusion générale:

Les comparaisons avec les mesures expérimentales ont permis de valider la performance du modèle circuitscouplés en termes de précision et de temps de calcul. Utiliser le calcul par éléments finis pour déterminer le couplage magnétique du modèle circuits-couplés permet d’assurer une bonne représentation du contenu harmonique. Il a aussi été vérifié que le modèle a une précision très proche de celle des éléments finis en plus  du gain significatif en temps de calcul. En plus de prendre en compte les harmoniques d’espace de force magnétomotrice et de représenter de façon détaillée tous les circuits électriques au stator et au rotor, la capacité du modèle à simuler une connexion statorique en étoile avec ou sans connexion du neutre a également été validée. Cette modélisation permet d’évaluer le courant dans chaque barre du circuit amortisseur, ce qui l’avantage au modèle dq. Les résultats obtenus pour les différents tests simulés avec la machine de 5.4 KVA et celle de 109 MVA ont permis de vérifier la performance du modèle à reproduire le fonctionnement d’une machine réelle. En effet, les courants de barre et d’armature ont été bien reproduits dans l’ensemble, de même que la tension d’armature. Les objectifs du mémoire ont été atteints. Cela montre que le modèle peut prédire correctement le fonctionnement d’une machine. On peut en conclure que les phénomènes négligés dans la simulation comme les saturations locales et l’effet de peau dans les barres n’ont pas d’effet significatif sur les formes de courants  dans les cas de machine étudiés et permet donc de confirmer la validité du modèle et des hypothèses simplificatrices utilisées.

Table des matières

Introduction 
1.1 Mise en contexte et problématique
1.2 Structure d’une machine synchrone à rotor bobiné
1.2.1 Stator
1.2.2 Rotor
1.3 Méthode de modélisation choisie et principales contributions du mémoire
1.4 Plan du mémoire
2 Les méthodes de modélisation des machines synchrones 
2.1 Modèle de Behn-Eschenburg
2.2 Modèle dq
2.3 Modélisation par des circuits magnétiquement couplés
2.3.1 Formulation générale pour un modèle de circuits-couplés
2.3.2 Exemple d’une variation du modèle de circuits-couplés avec réduction du nombre de circuits au rotor
2.4 Modélisation par réseaux de perméance
2.5 Modélisation par éléments finis
2.6 Résumé comparatif des modèles
2.7 Conclusion
3 Formulation générale et méthodologie pour une modélisation avec des circuits-couplés 
3.1 Présentation de la méthode et des hypothèses
3.1.1 Présentation de la méthode
3.1.2 Hypothèses de la méthode
3.2 Mise en équation avec la modélisation des cages et des grilles
3.3 Méthode d’identification des paramètres
3.3.1 Calcul analytique
3.3.2 Calcul par éléments finis
3.4 Domaine d’étude réduit et coefficients de symétrie
3.5 Prise en compte de la saturation
3.6 Modélisation des connexions électriques entre des circuits
3.7 Calcul du couple et prétraitement pour la simulation du modèle circuits-couplés
3.8 Conclusion
4 Développement du modèle circuits-couplés dans MATLAB/Simulink 
4.1 Résolution d’un modèle de circuits-couplés en phaseurs
4.1.1 Hypothèses et simplifications
4.1.2 Implantation du modèle
4.1.3 Simulation d’une réponse en fréquence à l’arrêt (test SSFR)
4.1.4 Résumé des étapes pour une simulation en phaseurs
4.2 Implantation du modèle de circuits-couplés pour une simulation dynamique dans Simulink
4.2.1 Description des différents blocs simulink constituant les entrées du modèle
4.2.2 Description des différents blocs simulink pour la représentation du générateur
4.2.3 Description des différents blocs simulink pour le traitement des courants obtenus en sortie
4.2.4 Prétraitement: calcul des valeurs initiales de simulation
4.2.5 Résumé des étapes de la simulation dynamique dans Simulink
4.3 Conclusion
5 Simulations et validations pour un alternateur à pôles saillants de petite puissance (5.4 kVA) 
5.1 Description de la machine
5.2 Description du banc d’essai pour les mesures expérimentales
5.3 Préparation du modèle circuits-couplés
5.4 Validation des résultats de simulation
5.4.1 Essais en court-circuit
5.4.2 Essai à vide
5.5 Conclusion
6 Simulations et validations pour un grand hydrogénérateur de 109 MVA 
6.1 Description de la machine
6.2 Mesures expérimentales
6.2.1 Dispositif expérimental installé
6.2.2 Problèmes rencontrés avec les signaux mesurés
6.3 Préparation du modèle de circuits couplés
6.4 Validation des résultats de simulation
6.4.1 Essais en court-circuit
6.4.2 Tests à vide
6.4.3 Essai en charge
6.4.4 Commentaires sur le contenu harmonique
6.5 Conclusion
Conclusion générale

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