Formulation fonction du courant-vorticité

MODÈLES PHYSIQUE ET MATHÉMATIQUE

Hypothèses Simplificatrices

De façon à obtenir un modèle mathématique simple, on adopte les hypothèses suivantes :
Le phénomène est bidimensionnel.
La solution binaire est un fluide newtonien et incompressible.
L’écoulement engendré est laminaire et transitoire.
Le travail induit par les forces visqueuses et de pression est négligeable.
Le transfert de chaleur par rayonnement est négligeable.
Les interactions entre les transferts de chaleur et de masse, connues sous le nom d’effets de Soret et de Dufour respectivement, sont négligeables.
Il n’y a ni réaction chimique ni source de chaleur ou de masse.
Les propriétés thermophysiques du fluide sont constantes et sont évaluées à la température et à la concentration de références.

L’existence des solutions naturelle et antinaturelle

La solution naturelle a été définie pour le fait qu’elle prévaut lors de l’initiation de la convection d’un état immobile. Lorsque le nombre de Lewis était supérieur à l’unité, la solution naturelle a été induite par l’effet thermique et la cellule convective circule dans le sens anti-horaire, comme l’effet de diffusion thermique a prévalu. Lorsque le nombre de Lewis était plus petit que l’unité, la solution naturelle a été induite par les effets solutaux et la circulation des cellules de convection a été dans le sens horaire. D’autre part, la solution antinaturelle a été obtenue en forçant l’écoulement dans la direction opposée.
Au-dessus du seuil supercritique de la convection, On remarque l’absence de la solution antinaturelle pour les deux valeurs de Lewis 0.1 et 10. Pour Le = 1, les cellules de la convection naturelle et antinaturelle sont identiques mais circulant en sens inverse. Comme les diffusivités thermiques et solutale étaient égaux, les deux solutions ont le même potentiel de convection. Pour la solution où la cellule est dans le sens anti-horaire, le flux convectif est induit par l’effet thermique, par contre il est induit par l’effet solutal lorsque la circulation est dans le sens horaire. Grâce à cet effet d’entraînement, la solution conduit des taux différents de transfert de chaleur et de masse.

L’effet du nombre de Rayleigh thermique

Pour étudier le comportement des solutions convectives naturelles et antinaturelle, l’intensité de l’écoulement, , et les taux de transfert de chaleur et de masse, Num et Shm sont présentés dans les figures ci-dessous en fonction de RaT pour différentes valeurs de Le. Les deux solutions naturelle et antinaturelle ont montré une augmentation de  , Num et Shm lorsque RaT augmente, pour les différentes valeur de Le. En ce qui concerne l’effet de Lewis. Cependant, Num de la solution antinaturelle a diminué avec l’augmentation de Le. Loin du seuil de la convection, Num de la solution naturelle semble pas significativement affecté par la variation de Le, mais près du seuil, la convection augmente avec la diminution de Le.

Calcul des valeurs supercritique et sous-critique du nombre de Rayleigh thermique

Comme expliqué précédemment, les deux solutions convectives naturelle et antinaturelle bifurquent de la solution de l’état de repos à un nombre de Rayleigh critique donné. Le seuil supercritique de convection a été obtenue avec précision en utilisant l’analyse linéaire en marchant la solution dans le temps pour des très faibles écoulements convectifs, en utilisant la solution numérique des équations complètes gouvernantes. Le seuil de la convection sous-critique et l’apparition de la convection antinaturelle a été déterminée approximativement à partir de la solution numérique à convection d’amplitude finie. Tout d’abord, la détermination du nombre de Rayleigh supercritique est expliquée.

L’existence des solutions multiples A=4

En prenant la solution de la conduction pure comme conditions initiales, l’évolution au cours du temps de l’intensité de l’écoulement au centre de la cavité, et les lignes de courant , pour un rapport de forme A=4, différentes valeurs du nombre de Rayleigh thermique entre RaT=800 et RaT=104, un nombre de Prandtl .On trouve que l’écoulement oscillatoire se produit dans la limite du nombre de Rayleigh thermique RaT=925-1135. En dehors de cet intervalle la solution convective converge vers une solution stable et la structure de l’écoulement est unicellulaire.

Table des matières

CHAPITRE 1 INTRODUCTION ET REVUE BIBLIOGRAPHIQUE
1.1 Généralités
1.2 Problème physique
1.2.1 Définition
1.2.2 Méthodes de solution
1.3 Contenu de mémoire
1.4 Revue bibliographique
CHAPITRE 2 MODÈLES PHYSIQUE ET MATHÉMATIQUE
2.1 Description du problème
2.2 Hypothèses Simplificatrices
2.3 Formulation mathématique
2.3.1 Équation de continuité
2.3.2 Équation de la conservation de la quantité de mouvement
2.3.3 Équation de conservation d’énergie
2.3.4 Équation de conservation de la concentration
2.4 Formulation fonction du courant-vorticité
2.4.1 Équation de la vorticité ω
2.4.2 Équation de conservation d’énergie
2.4.3 Équation de fonction du courant
2.4.4 Equation de conservation de la concentration
2.5 Conditions initiales et aux limites
2.5.1 Conditions initiales
2.5.2 Conditions aux limites
2.6 Transferts thermique et massique
2.7 Conduction Pure
2.7.1 Conditions aux limites
CHAPITRE 3 SOLUTION NUMÉRIQUE
3.1 Introduction
3.2 Discrétisation des équations gouvernantes
3.2.1 Équation d’énergie, la concentration et la vorticité
3.2.2 Équation de fonction du courant
3.2.3 Champs de vitesse
3.2.4 Conditions aux limites
3.3 Algorithme et organigramme
3.4 Critère de convergence
CHAPITRE 4 RÉSULTATS ET DISCUSSIONS
4.1 Introduction
4.2 Validation du code de calcul
4.3 Choix du maillage
4.4 Résultats
4.4.1 L’existence des solutions naturelle et antinaturelle
4.4.2 L’effet du nombre de Rayleigh thermique
4.4.3 Calcul des valeurs supercritique et sous-critique du nombre de Rayleigh thermique
4.4.4 L’effet du nombre de Lewis
4.4.5 Cas d’une cavité élancée A=4
4.4.6 L’existence des solutions multiples A=4
CONCLUSION GÉNÉRALE

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