Formulation et analyse de cahier des charges par optimisation

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Vie d’un cahier des charges

Le formalisme d’un cahier des charges en Automatique est fortement lié à l’évolution du problème de commande, son élaboration représente une des étapesrécurrentes d’un processus dynamique compliqué où le but est de synthétiser une loi de ommandec qui permet de satisfaire toutes les exigences.

Dans le cadre des applications et de la conception globale de systèmes, un cahier des charges n’est jamais définitivement fixé et peut évoluer au coursdes évolutions du système ou des performances désirées. Par exemple, dans le but d’améliorer la onduitec d’un système, l’ingénieur automaticien a souvent recours à augmenter la structure du système à commander par l’ajout de capteurs, contrôleurs et actionneurs.

Le schéma fonctionnel général d’un système de commande est représenté par la figure 1.4. Ce schéma moderne est une généralisation du schéma d’origineDans. de nombreuses formulations, les “signaux à commander” sont souvent représentatifs des erreurs et doivent être “minimisés”. Dans le cadre d’une formulation générique pour l’optimisation, ce peutêtre également des sorties devant respecter un gabarit temporel ou fréquentiel, ou des contraintesvariées (énergétiques par exemple).

Dans la suite, nous détaillerons la formalisation du problème de commande ainsi que les éventuelles démarches à suivre pour la validation d’un cahier des charges

Les étapes d’un problème de commande

La synthèse d’une loi de commande est rarement une opération directe : plusieurs étapes sont nécessaires pour obtenir un résultat satisfaisantVoici. un résumé ordonné de ces étapes :

Etape 1. Modélisation et identification: Pour agir sur un système, il est nécessaire de connaître son comportement et ses interactions avec le milieu extérieur c’est-à-dire le lien entre les différents signaux d’entrée (commande, perturbations, bruits) et les différents signaux de sortie (sortie à commander, mesure). Cette connaissance prend la forme d’un modèle mathématique quantitatif, acquis théoriquement par un ensemble de lois physiques (modélisation) et/ou expérimentalement par une série d’observations E/S (identification). Le choix d’un bon modèle dépend essentiellement de sa complexité et sa précision à reproduire le comportement E/S. Cela signifie que l’on doit disposer d’un modèle mathématique réalisant un compromis entre safidélité de comportement qualitatif et quantitatif et sa simplicité de mise en œuvre à des fins d’analyse et de synthèse. Bien souvent, dans les exercices académiques par exemple, la modélisations’arrête là. Pour avoir toutes les informations nécessaires à une reformulation générique, le modèle doit également comprendre des informations sur les classes de signaux susceptibles d’être appliqués en entrée (perturbations, bruits). Des scénariostest et des signaux de références doivent être égalementdéfinis et relèvent souvent également de la modélisation.

Etape 2. Etablissement d’un cahier des charges : Le cahier des charges doit contenir la définitionde l’ensemble des spécifications du système. Ces spécif cations traduisent les performances désirées (objectifs) ainsi que toutes les contraintes liées à la configuration de la boucle fermée, fixée au préalable par le concepteur en fonction des performances (signaux désirés). Rien ne garantit a priori qu’avec le choix initial des objectifs de performance, des actionneurs et des capteurs une solution existe. Dans le but d’étudier l’existence, de faire la synthèse ou la retouche d’une loi de commande, le cahier des charges est traduit sous la forme de critères mathématiques.

Etape 3. Synthèse ou retouche de la loi de commande : Dans cette étape le but est de rechercher la loi de commande qui satisfait les critères traduisant le cahier des charges pour le modèle représentant le système réel. Cette recherche est généralement réalisée via une technique de commande choisie et exécutée par la suite par un calculateur (simulation). L’objectif majeur étant de valider le cahier des charges pour le système réel et pas simplement pourle modèle manipulé, le concepteur doit alors assurer une bonne conduite du correcteur en essayant d’obtenir le plus de garanties a priori sur le bon fonctionnement du correcteur appliqué sur le système réel (robustesse).

Etape 4. Implémentation et validation de la commande : Après avoir synthétisé la loi de commande, le concepteur doit garantir sa mise en pratique sur le système réel. Une première étape de validation est tout d’abord effectuée en simulation afin de limiter les éventuels échecs. Sur les systèmes complexes, la validation met souvent à jour des imp erfections et nécessite des retouches du processus de conception. Les différentes étapes précédentesonts alors revues et affinées.

Utilisation de la retouche de correcteur :

Cette démarche peut être utilisée suite à une modification dans une des étapes ci-dessus. Dans le cas où les conditions de la synthèse sont modifiées, elle permet d’éviter le recours à de nouvelles synthèses qui peuvent être très couteuses en reformulation et calculs, voir impossibles à mener par de s méthodes classiques suite à une complexification du cahier des charges. Actuellement, c’est dans ce contexte que les outils de retouche de correcteurs sont en cours de développement. Ils sont d’une importance croissante pour certains systèmes, comme les avions, dont la conception même est de plus en plus imbriquée avec le développement des lois decommande qui les équiperont. Différentes circonstances peuvent motiver une retouche : modification du modèle de synthèse (par exemple amélioration de la connaissance du système suite à une campagne d’identification) ;

propagation du réglage d’une loi faite autour d’un point de fonctionnement donné, à un autre point de fonctionnement ;

introduction de nouveaux objectifs dans un cahier des charges. La retouche de correcteurs peut alors être considérée comme une étape dans une synthèse multicritère ;

adaptation du correcteur à une évolution de sa structure (structure complexe ne pouvant être prise en compte par des approches classiques).

Lorsqu’on raisonne à structure de correcteur fixée, la retouche peut être vue comme une simple optimisation de gains. Elle est en fait beaucoup plus et peut être un outil puissant pour prendre progressivement en compte un cahier des charges complexe et permettre la mise en œuvre des structures de commande originales. Dans l’idéal, les procédures de retouche doivent travailler dans un voisinage du correcteur où le maintien de la stabilité est garanti, l’estimation de directions de modification du correcteur assurant le maintien de caractéristiques acquises (performance, robustesse) ou leur amélioration.

Les étapes ci-dessus, bien qu’elles soient toutes décisives pour une bonne conception de lois de commande, n’ont pas connu le même essor. La majorité des travaux de recherche en Automatique s’intéresse aux problèmes de modélisation et identif cation des systèmes ainsi qu’à la synthèse des lois de commande. Ceci est certainement dû à la difficul té de formuler “la conception d’un cahier des charges + loi de commande” d’une manière précise et générique.

Comme exemple de ce type de difficulté, nous pouvons citer le problème du choix de la structure de commande : c’est une des problématiques les plus difficiles lors de l’élaboration d’un cahier des charges qui peut avoir des conséquences directes sur les performances du système bouclé. En particulier, l’amélioration des performances observée en modifiant la structure de commande peut être beaucoup plus importante que celle observée en modifiant les réglages d’une loi de commande particulière.

Le problème fondamental de la commande

Le problème fondamental de la théorie de la commande peut être énoncé comme suite [Boy91] : Etant donné un système à commander, une configuration de commande et un cahier des charges donné, trouver une loi de commande qui répond aux pécifications ou prouver son inexistence. L’aspect décisif de ce problème fondamental ressortsurtout de l’existence ou l’inexistence d’une loi de commande et donc, de manière équivalente, de lafaisabilité ou non du cahier des charges avec une configuration de commande donnée.

Les spécifications d’un cahier des charges

Les objectifs d’un problème de commande sont souvent formulés sous forme d’un cahier des charges contenant toutes les spécifications désirées. En gén ral, il est difficile de définir un cahier des charges pour un problème de commande, du fait d’une part de la méconnaissance de performances que peut atteindre le système bouclé, et d’autre part de lanature contradictoire de certains objectifs tels que les critères de performances et de robustesse. Pour un cas donné, le dimensionnement des spécifications est initialement issu d’une connaissance qualitative du système étudié. Le cahier des charges est ensuite retouché (durci ou relâché) à l’issue de quelques essais de synthèse. Pour ce faire, il faut formuler ses spécifications sous forme de critèresmathématiques permettant de définir l’ensemble des signaux de sortie désirés, l’erreur tolérée entreesl signaux réels de sortie et les signaux désirés, l’ensemble des signaux de commande admissibles, l’e nsemble des signaux de perturbation, etc.

En général, on distingue trois types de spécifications : les spécifications en performances, les spécifications en robustesse et les spécificationsde loi de commande. Afin d’introduire ces différents types de spécifications, la boucle fermée de la figure 1.4 sera caricaturée par un schéma fonctionnel plus simple qui récapitule avec suffisamment d’exhaustivité les différentes situations courantes (cf. figure 1.5). Sauf mention contraire, les notations de ce schéma bloc seront adoptées dans la suite dece chapitre et tout au long de ce manuscrit. re _ ubv+ε _y ++ KG ++ d

Dans ce schéma fonctionnel, les blocs G et K désignent respectivement le système à commander et le correcteur. Dans le cas général, ils sont définis uasens des opérateurs. Dans le cas particulier des systèmes linéaires invariants, G et K sont explicitement définis par leurs matrices de fonctions de transfert et seront notés Gp et Kp où p désigne la variable de Laplace. Ces transferts sont définis respectivement par : Gp = CpIn − A−1B + D et Kp = Ck ( pInk − Ak )−1 Bk + Dk où les quadruples A, B,C, DetAk , Bk , Ck , Dk définissent leurs formes d’état respectives : & Ax BuAB x G ⇔ G (1-6)

 K k k ⇔ K k (1-7)
On désigne par :

x ∈ R n le vecteur d’état du système à commander

xk ∈ R nk le vecteur d’état du correcteur

u ∈ R m la commande issue du correcteur Kp

v ∈ Rm la commande effective

y ∈ R p le vecteur des signaux de sortie

r ∈ R p le signal de référence que doit suivre la sortiey

b ∈ R m les perturbations affectant la commande u

d ∈ R p les bruits de mesure

De manière générale, il s’agit de faire suivre, dans la mesure du possible, la sortie du système à

un signal de référencert appartenant à un ensemble bien défini. L’erreur de suivi de trajectoire est désignée parεt rt− yt. La façon dont la sortie du système suit la trajectoire de référencert peut être exprimée par le fait queεt doit appartenir à un ensemble bien déterminé.

Cette spécification doit être réalisée malgré laésencepr de perturbations bt qui agissent sur le système (ramenées en entrée de celui-ci) et des bruits dt sur la mesure de la sortie yt . Même si les perturbations et/ou les bruits ne sont pas mesurés,on sait a priori que ces signaux appartiennent à d es ensembles déterminés.

De plus, la commande ut appliquée doit être raisonnable par rapport à l’aplication considérée (elle ne doit pas solliciter de façon trop importante les actionneurs). Ici encore, cela revient à dire que l’on a défini pour ut un ensemble admissible : la loi de commande doit assurer que ut appartient bien à cet ensemble. Cela constitue les objectifs de loi de commande.

Stabilité externe des systèmes linéaires

Définition 1.1 (temporelle)Un système linéaire invariant à temps continu est EBSB (ou BIBO-stable)

si et seulement si sa réponse impulsionnelle est absolument intégrable, i.e. si sa norme L1 existe (finie) ∞ ∫ htdt ht ∞ (1-9)

Cette condition dans le domaine temporel impose que la transformée de Laplace de la réponse impulsionnelle soit définie en 0 . Par conséquent, 0 est dans le domaine de convergence de Hp.

En ce qui concerne sont utilisation pour l’optimisation : même type de remarque que pour la stabilité E/S.

Définition 1.2 (fréquentielle)Soit le système linéaire invariant à temps continu défini par la matrice de fonctions de transfert rationnelles irréductibles Gp . Le système est EBSB-stable si et seulement si tous les pôles de Gp sont à partie réelle négatives : Repi 0 ∀i .

Ce critère peut être estimé en temps fini et de façon très efficace. Il peut être utilisé en optimisation non linéaire. Malheureusement il ne concerne que les systèmes linéaires.

La stabilité au sens de Lyapunov (stabilité interne)

Contrairement à la notion de stabilité EBSB qui s’intéresse seulement au comportement externe du système et exige que l’énergie des signaux en sortie y soit bornée dés que l’énergie fournie en entrée

est bornée, la stabilité interne exige que tous les signaux du système y compris les états internes soient stables. Cette seconde notion est donc plus restrictive et implique la stabilité externe.

Soit le système autonome continu de dimension finie décrit par l’équation différentielle non-linéaire:

1-9 Bxe ,τ & n (1-10)

Un vecteur xe ∈ ℜn est dit point ou état d’équilibre du système (1-10)si fxe = 0 . Ce point d’équilibre peut être ramené à l’origine par un simple changement de variable x ← x − xe . Donc, sans perte de généralité, les définitions et les théorèmes quiiventsu seront établis en considérant xe = 0 . Une question importante est de connaître le comportement des trajectoires initialement voisines de l’équilibre; pour cela, on définit la notion de stabilité interne d’un point d’équilibre au sens de Lyapunov [Kha02].

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Table des matières

Chapitre 0 Introduction
Motivations
Contexte et problématique
Organisation du manuscrit
Chapitre 1 Formalisme d’un cahier des charges générique pour un problème de commande
1.1. La théorie de la contre-réaction
1.2. Vie d’un cahier des charges
1.3. Les étapes d’un problème de commande
1.4. Le problème fondamental de la commande
1.5. Les spécifications d’un cahier des charges
1.5.1. La stabilité
1.5.1.1. Stabilité entrée/sortie (stabilité externe)
1.5.1.2. Stabilité externe des systèmes linéaires
1.5.1.3. La stabilité au sens de Lyapunov (stabilité interne)
1.5.1.4. La passivité
1.5.1.5. Stabilité interne des systèmes linéaires continus invariants
1.5.1.6. Critères de stabilité des systèmes linéaires
1.5.2. Les spécifications en performances
1.5.2.1. Suivi de trajectoire de référence (consigne)
1.5.2.2. Rejet/atténuation de signaux de perturbation.
1.5.2.3. Atténuation des bruits de mesure.
1.5.2.4. Commande modérée
1.5.2.5. Dépendance des spécifications et limite de performances
1.5.2.6. Performances des systèmes linéaires multivariables
1.5.3. Les spécifications en robustesse
1.5.3.1. La robustesse en stabilité
1.5.3.2. La robustesse en performance :
1.5.4. Les spécifications de la loi de commande
1.6. Classification des méthodes de synthèse
1.6.1. Méthodes de synthèse synthétiques
1.6.2. Méthodes de synthèse analytiques
1.6.3. Méthodes de synthèse par optimisation
1.6.3.1. Classification (convexité et dimension du problème)
1.7. Vers une approche d’optimisation non linéaire
1.8. Conclusion
Chapitre 2 Formulation et analyse de cahier des charges par optimisation
2.1. Concepts fondamentaux pour une approche générique
2.2. Cahiers des charges et critères mathématiques
2.3. Traduction du cahier des charges
2.3.1. Expression des contraintes temporelles E/S du système
2.3.1.1. Formulation directe des spécifications temporelles
2.3.1.2. Formulation des spécifications temporelles sous forme de gabarits
2.3.2. Faisabilité des cahiers des charges temporels
2.3.2.1. Etude de la faisabilité des spécifications temporelles par une approche E/S
2.3.2.2. Etude de la faisabilité des spécifications temporelles par une approche paramétrique générale2-20
2.3.3. Expression des contraintes fréquentielles du système
2.3.3.1. Formulation des spécifications fréquentielles à base d’indicateurs de robustesse
2.3.3.2. Formulation des spécifications fréquentielles sous forme de gabarits
2.3.3.3. Formulation des spécifications fréquentielles modales
2.3.4. Faisabilité des cahiers des charges fréquentiels
2.3.4.2. Etude de la faisabilité des spécifications fréquentielles par une approche paramétrique
2.4. Bilan et approche paramétrique générale pour l’analyse de cahiers des charges
2.4.1. Formulation du problème d’optimisation global de l’approche paramétrique générale
2.4.2. Transformation en un problème d’optimisation non linéaire sans contraintes
2.5. Sensibilité des critères et contraintes d’une approche paramétrique générale
2.6. Conclusions
Chapitre 3 Techniques d’optimisation non linéaire
3.1. Contexte du travail
3.2. Principes généraux
3.2.1. Problème d’optimisation
3.2.2. Conditions d’optimalité
3.2.2.1. Conditions d’optimalité en l’absence de contraintes
3.2.2.2. Conditions d’optimalité en optimisation avec contraintes
3.3. Prise en compte des contraintes par pénalisation
3.3.1. Types de pénalisations
3.3.1.1. Pénalisations extérieures
3.3.1.2. Pénalisations intérieures
3.3.1.3. Pénalisations exactes
3.4. Méthodes globales versus méthodes locales
3.5. Méthodes d’optimisation sans contraintes
3.5.1. Les méthodes stochastiques
3.5.1.1. Métaheuristiques
3.5.1.2. Principe
3.5.1.3. Classification
3.5.1.4. Exemples de métaheuristiques
3.5.2. Les méthodes de descente
3.5.2.1. Calcul de la direction de descente
3.5.2.2. Calcul de la longueur de descente (recherche linéaire)
3.5.3. Les méthodes mixtes
3.5.4. Les méthodes de recherche directe
3.5.4.1. Méthodes de recherches par motifs généralisés
3.5.4.2. Directions conjuguées (algorithme de Powell)
3.6. Conclusions
Chapitre 4 Algorithmes d’optimisation développés
4.1. Algorithme du simplexe modifiée
4.1.1. Algorithme de Nelder-Mead (Simplexe)
4.1.2. Détection et traitement des dégénérescences
4.1.3. Prise en compte des bornes
4.1.3.1. Prise en compte des bornes par projection
4.1.3.2. Prise en compte des bornes par reparamétrisation
4.2. Méthodes du sous-différentiel
4.2.1. Généralisation du gradient
4.2.1.1. Définitions
4.2.1.2. Propriétés
4.2.1.3. Stationnarité
4.2.2. Méthodes de descente non différentiables
4.2.3. Le sous-différentiel de Clarke est ses propriétés
4.2.4. Algorithme du epsilon-sous-différentiel (AESD)
4.2.4.1. Notations
4.2.4.2. AESD
4.2.5. Algorithme du epsilon-sous-différentiel modifié (AESDM)
4.2.5.1. Notations
4.2.5.2. AESDM
4.2.6. Algorithme de gradient Universel
4.2.6.1. Notations
4.2.6.2. AGU
4.3. Évaluation et comparaison des algorithmes développés
4.3.2. Résolution des problèmes test sans contraintes d’encadrement
4.3.2.1. Paramètres des algorithmes
4.3.2.2. Analyse des résultats numériques
4.3.3. Résolution des problèmes test avec contraintes d’encadrement
4.3.3.1. Paramètres des algorithmes
4.3.3.2. Analyse des résultats numériques
4.4. Conclusions
Chapitre 5 Analyse du ε-sous différentiel et calcul du gradient
5.1. Estimation du ε-sous-différentiel de Clarke
5.1.1. Échantillonnage uniforme dans une hyperboule
5.1.2. Choix du nombre d’échantillons m
5.1.3. Détection de zones non différentiables et ouverture d’un ε -sous-différentiel
5.2. Calcul et estimation du gradient
5.2.1. Différences finies
5.2.2. Méthodes de fonctions de sensibilité
5.2.2.1. Sensibilités des systèmes non linéaires
5.2.2.2. Sensibilités des systèmes linéaires
5.2.2.3. Sensibilité paramétrique fréquentielle
5.2.3. État adjoint
5.2.4. Différentiation automatique et code adjoint
5.2.4.1. Mode direct
5.2.4.2. Mode inverse
5.2.4.3. Principes de différentiation automatique par code adjoint
5.2.5. Dérivation complexe
5.2.5.1. Principe de la méthode
5.2.5.2. Approximation des dérivées d’ordre supérieur
5.2.5.3. Procédure d’implémentation (fonctions complexes de base et opérateurs en Matlab)
5.3. Conclusion
Chapitre 6 Analyse et validation de cahiers des charges pour des problèmes de commande
6.1. Problèmes de stabilisation linéaire
6.1.1. Problème de stabilisation pure
6.1.2. Optimisation de l’abscisse spectrale
6.1.3. Problème de stabilisation simultanée (Application au problème de chocolat belge)
6.2. Synthèse H∞ à structure fixe
6.2.1. Problème de synthèse H∞
6.2.2. Problème de stabilisation robuste (optimisation du rayon de stabilité complexe)
6.3. Asservissement PID d’un moteur à courant continu
6.3.1. Présentation du système
6.3.2. Cahier des charges
6.3.3. Formulation du problème
6.3.4. Résolution, simulation et validation expérimentale
6.3.5. Minimisation du temps de réponse
6.3.6. Modification de la structure PID
6.4. Stabilisation robuste d’un système oscillatoire
6.4.1. Présentation du problème
6.4.2. Cahier des charges
6.4.3. Formulation en un problème d’optimisation
6.5. Commande Backstepping d’une suspension magnétique
6.5.1. Modélisation du système
6.5.2. Cahier des charges
6.5.3. Synthèse de la commande Backstepping en vue d’une validation expérimentale
6.5.4. Synthèse de la commande Backstepping
6.5.5. Synthèse de la commande Backstepping par retour de sortie
6.5.6. Synthèse d’une commande Backstepping à action intégrale par retour de sortie
6.5.7. Commande Backstepping par retour de sortie adaptative
6.5.8. Prise en compte de la dynamique de l’actionneur
6.6. Commande d’un système de forage pétrolier
6.7.1. Objectifs de la commande
6.7.2. Modèle du missile
6.7.3. Cahier des charges
6.7.4. Commande du missile par un correcteur PI
6.7.5. Commande linéarisante par retour d’état dynamique
6.8. Conclusion
Chapitre 7 Conclusions et perspectives
Apports scientifiques et originalité du travail
Perspectives
Chapitre 8 Annexes
8.1. Annexe 1 : Commande et observateur par Backstepping
8.2. Annexe 2 : Commande d’une suspension magnétique
8.3. Annexe 3 : Commande d’un système de forage pétrolier
Références Bibliographiques.