Formulation du problème de la capacité portante sismique des fondations circulaires

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Forces d’inertie dans le sol

On va présenter dans ce paragraphe une brève analyse pour la prise en compte des forces d’inertie dans le problème de la capacité portante sismique des fondations superficielles. Les forces d’inertie sont introduites dans (2.19), au moyen de la quantité sans dimensions Fh , qui est donné pour les sols cohérents et les sols frottants par les équations (2.22) et (2.23) respectivement.
L’équation (2.19) a été obtenue en considérant que les forces d’inertie sont uniformes dans le volume de sol. La validité de cette hypothèse, ainsi que d’autres aspects sur le paramètre Fh , seront examinés dans la suite.

Création de la sollicitation sismique

Lors d’un séisme, le sol est traversé par des ondes provenant de la source sismique. La propagation de ces ondes dans le sol de fondation lui impose des déformations et entraîne la création de forces d’inertie dans le volume du sol. De plus, le mouvement du sol est transmis à la fondation en engendrant dans la superstructure des forces inertielles. Ces forces sont fonctions des caractéristiques de la sollicitation incidente et de celles de la superstructure, ainsi que de l’interaction entre le sol et la structure. Les forces inertielles de la superstructure se retransmettent sous la forme de charges au niveau de l’interface sol – fondation. Ces charges sont variables en fonction du temps. La détermination des charges « potentiellement supportables » doit, par conséquent, se référer aux charges provenant de la superstructure et aux charges qui existent dans le sol. Dans l’équation (2.19), les charges provenant de la superstructure sont décrites par les paramètres de chargement normalisés N,V,M et les forces qui existent dans le sol par le paramètre normalisé Fh qui se réfère aux forces d’inertie horizontales. On note que les forces d’inertie verticales uniformes n’interviennent pas dans la capacité portante dans le cas de sols purement cohérents (décrits par le critère de Tresca avec résistance à la traction). Dans le cas des sols frottants (décrits par le critère de Coulomb), la prise en compte de forces inertielles verticales s’effectue au moyen de la quantité v a , dans l’expression (2.23).
Dans ce qui suit, on utilise le symbole Fh pour la quantité normalisée, utilisée dans l’expression de l’Eurocode 8, et le symbole Fh pour les forces volumiques dans le sol ; l’unité de Fh est densité×accélératon : kg×m−2 ×sec−2 .

Description de Fh

Le paramètre de chargement Fh est en général, une variable fonction du temps et de l’espace : (2.24) ( ) h h F = F x,y,z,t
L’objectif de construction d’un domaine de chargements potentiellement supportables nous permet de considérer uniquement des valeurs maximales. Il en résulte que dans la suite la variabilité par rapport au temps dans (2.24) ne sera pas prise en compte. Ainsi, on peut écrire : (2.25) ( ) h h F = F x,y,z.
On peut encore simplifier la description de Fh , en admettant une hypothèse assez habituelle en génie parasismique : Le sol ne présente d’hétérogénéités que dans la direction verticale, c’est-àdire horizontal du sol (et par conséquent, les forces d’inertieFh ) est engendré par une onde de cisaillement à vitesse de propagation verticale.
Si l’on considère aussi que l’interaction avec la fondation est négligeable, il s’ensuit que Fh ne dépend que de la coordonnée verticale : (2.26) ( ) h h F = F z
La variation de Fh en fonction de la coordonnée verticale peut être théoriquement déterminée en connaissant la sollicitation incidente et les caractéristiques géométriques et mécaniques de la stratification du sol. La considération la plus simple se réfère à la vibration libre d’un profil de sol homogène suivant le mode fondamental de la couche de sol. L’accélération est décrite comme une fonction sinusoïdale, de même que les forces d’inertie horizontales .

Capacité portante sismique des fondations circulaires

Introduction

On développe dans ce paragraphe le traitement du problème de la capacité portante sismique des fondations superficielles circulaires. Le paragraphe est divisé en sept sections ; la première présente un résumé des résultats déjà disponibles sur le problème. Ensuite, la formulation du problème est donnée dans le formulaire du calcul à la rupture ; on définit la géométrie, les critères de résistance adoptés et la configuration des chargements étudiée. Le problème est traité par l’approche cinématique du calcul à la rupture. On y présente une méthode récente permettant le traitement des champs de vitesse virtuels tridimensionnels, ainsi que la description détaillée des champs choisis. Les résultats sont présentés sous forme de surfaces ultimes dans l’espace des paramètres de chargement. On donne aussi des diagrammes d’interaction entre deux paramètres de chargement, qui facilitent l’exploitation pratique des résultats. Finalement, on propose une expression analytique approximant nos résultats et permettant leur obtention rapide ainsi qu’une comparaison de ces résultats à d’autres résultats existants, théoriques ou expérimentaux.

Capacité portante des semelles circulaires : Rappel des résultats connus

Premiers résultats

Comme on l’a vu, la méthode des lignes de glissement a permis le traitement de problèmes plans et axisymétriques où le nombre des quantités inconnues est égal au nombre des équations disponibles. Concernant les problèmes axisymétriques et leur traitement, les critères de résistance habituels (Tresca/Coulomb)1 permettent aussi l’adoption de l’hypothèse de Haar – Karman (1909), qui rend possible l’utilisation de la méthode des lignes de glissement. Selon cette hypothèse, si l’on note par {r,θ,z} les coordonnées cylindriques où z désigne l’axe de symétrie axiale, on a :
• σθθ est contrainte principale
• σθθ est égale à l’une des contraintes principales situées dans le plan méridien.
Le système d’équations aux dérivées partielles a été formulé par Berezancew (1952) pour un milieu homogène et Salençon (1977) pour un milieu non homogène. Levin (1955) a présenté des bornes supérieures de la capacité portante d’une semelle rigide circulaire, reposant sur un sol homogène purement cohérent, soumise à l’action d’une force verticale centrée N, tandis que Shield (1955) a construit un champ de contrainte complet sous la semelle dans le cas d’une interface sol – semelle lisse. La force maximale supportée par une semelle de rayon r est : (2.32) N cA A r2 max = 5.69 , = π.

Commentaire des résultats

Les diagrammes présentés aux pages précédentes constituent un ensemble de résultats qui permet la détermination de la capacité portante sismique (sous les hypothèses introduites) d’une semelle circulaire sur un sol cohérent hétérogène. Ce paragraphe fournit un commentaire sur ces résultats en discutant parmi d’autres : l’erreur induite par les bornes supérieures minimales établies par rapport à des valeurs exactes connues ou des résultats expérimentaux, les différences entre les deux cas d’un sol de type Tresca avec et sans résistance à la traction, quelques conséquences immédiates des résultats sur la pratique de la conception de fondations et finalement l’introduction d’une modification très simple de l’expression de l’Eurocode 8 (destinée aux semelles filantes) qui permettra l’extension de son utilisation dans le cas des semelles circulaires et des sols hétérogènes.
Erreur induite par les bornes supérieures optimales
Les bornes supérieures optimales présentées constituent une approximation par excès des charges ultimes supportées par le système de fondation, par conséquent elles ne sont pas du côté de la sécurité. Il est ainsi essentiel d’évaluer l’erreur induite par les bornes supérieures, pour qu’il soit possible d’estimer la valeur du coefficient de sécurité, dit du modèle (cf. §2.6.2.3), qui corrigera
cette erreur lors de la conception. À cette fin, on présente dans le Tableau 2.7 et sur la Figure 2.54,
une comparaison des bornes supérieures établies dans cette étude avec des valeurs exactes de la capacité portante statique de la semelle 0 Nmax , en fonction du degré d’hétérogénéité k. On rappelle que la quantité 0 Nmax correspond à la force verticale maximale supportée par la semelle, lorsque les autres paramètres de chargement sont nuls: V = 0, M = 0, Fh = 0

Application à la formulation de la capacité portante sismique

Introduction du coefficient partiel de chargement

Comme indiqué précédemment, le chargement du système sol – fondation est décrit par le vecteur des paramètres de chargement : k ( k , k , k , hk ) Q = N V M F où l’indice k désigne les valeurs caractéristiques des actions N,V,M,Fh . Pour tout paramètre de chargement, on peut introduire un coefficient partiel de chargement distinct et définir le vecteur de chargement de dimensionnement : (2.78) ( ) sd h h Q = γNNk , γVVk , γMMk , γF F k
Dans (2.78) les coefficients partiels de chargement h , , ,F γN γV γM γ se réfèrent aux paramètres de chargement N,V,M,Fh respectivement. Les valeurs des coefficients partiels de chargement sont déterminées principalement en prenant en compte :
a. L’incertitude concernant la définition de la valeur caractéristique des paramètres de chargement Nk ,Vk ,Mk ,Fhk .
b. Le fait que l’action des paramètres de chargement peut être favorable ou défavorable relativement au mécanisme virtuel utilisé pour l’évaluation de la capacité portante. Si l’action d’un certain paramètre de chargement est défavorable, le coefficient partiel de chargement correspondant doit être plus grand que 1.00. Dans le cas d’action favorable, le coefficient de chargement doit être pris plus petit que 1.00 :
Action favorable : γf < 1
Action défavorable : γf > 1
Pour établir l’effet favorable ou défavorable d’un paramètre de chargement, on se réfère directement à la formulation de l’approche cinématique du calcul à la rupture, au moyen de laquelle, on a établi la surface ultime de notre système. Comme présenté par Salençon (1994), en introduisant l’équation fondamentale de l’approche cinématique : ( )( ) ( ) e rm P Q,Uˆ ≤ P Uˆ et en écrivant explicitement le terme de la puissance des efforts extérieurs : (2.79) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 2 2 2 , , rm ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ γf Qk q? U + γf Qk q? U +…+ γf nQk nq?n U ≤ P U on peut déterminer si l’effet d’un paramètre de chargement spécifique Qk,i est favorable ou défavorable à l’aide du signe de la contribution , γf iQk ,i qˆ?i du paramètre dans la puissance des efforts extérieurs :
– si le signe de , γf iQk ,i qˆ?i dans (2.79) est positif, l’effet de Qk,i est défavorable et l’on doit prendre la valeur maximale de γf ,i : γf ,i > 1 .
– si le signe de , γf iQk ,i qˆ?i dans (2.79) est négatif, l’effet de Qk,i est favorable et l’on doit prendre la valeur minimale de γf ,i : γf ,i < 1 .
Il est important de noter que le caractère favorable ou défavorable d’un paramètre n’est pas une caractéristique intrinsèque mais dépend du mécanisme virtuel utilisé dans (2.79).
Une fois la surface ultime établie, le caractère favorable ou défavorable d’un paramètre de chargement, suivant un trajet de chargement spécifique, est déterminé au moyen du vecteur unitaire normal n au point où ce trajet de chargement atteint la surface ultime. Dans le contexte de l’approche cinématique du calcul à la rupture, la direction de n coïncide avec la direction du vecteur q?(Uˆ) , où Uˆ est le champ de vitesse virtuel qui correspond au point de la surface ultime 130 2. Analyse à la rupture considéré. Le signe de chaque terme dans le produit scalaire Q ⋅ n indique le caractère favorable ou défavorable des éléments du vecteur Q .
À titre d’exemple, la Figure 2.62 met en évidence le caractère défavorable du moment et de la force horizontale pour un chargement radial dans le plan VM.

Introduction du coefficient partiel du matériau γm

On a uniquement étudié la capacité portante sismique des fondations superficielles sur des sols purement cohérents en introduisant deux paramètres de résistance : la cohésion à la surface du sol C0 et le gradient vertical de cohésion G. Les résultats de la section précédente ont révélé l’influence du gradient vertical de cohésion sur la forme de la surface ultime au moyen de la quantité normalisée : k = rG /C0 . Le même effet a été étudié par Gouvernec & Randolph (2003). Dans le cas où un coefficient partiel du matériau unique est introduit pour la cohésion à la surface C0 et pour le gradient vertical de cohésion G, la quantité k reste invariante ainsi que la forme de la surface ultime. L’introduction du coefficient partiel du matériau γm conduit à une réduction homogène de la surface ultime comme présenté sur la Figure 2.64, c’est-à-dire, d’un point de vue géométrique, à une homothétie par rapport à l’origine.

Introduction du coefficient partiel du modèle γRd

L’application de l’approche cinématique du calcul à la rupture conduit à l’établissement de bornes supérieures des chargements extrêmes. Ainsi le coefficient partiel du modèle γRd prend un sens physique immédiat : il désigne la marge entre les bornes supérieures établies et les valeurs exactes de chargements extrêmes. Dans l’analyse suivante, on suit les arguments présentés par Salençon (1994).
En combinant les équations (2.75) – (2.77) on obtient : (2.80) Ed ≤ Rd ⇒ γRdEd ≤ R.

Outil numérique pour le traitement du problème

Généralités

Comme on l’a vu, pour l’évaluation de la capacité portante sismique des fondations superficielles, un nombre de champs de vitesse virtuels ont été examiné et une procédure d’optimisation a permis  a sélection de la borne supérieure optimale pour les combinaisons ultimes des charges sur la semelle ainsi que la détermination du mécanisme de rupture virtuel optimal. Les résultats ont été présentés dans la section §2.5.5 sous formes de diagrammes d’interaction entre deux paramètres de chargement particuliers. Ces diagrammes peuvent être utilisés, dans un premier temps, dans la conception parasismique des fondations superficielles par le praticien.
En parallèle, un outil de calcul a été créé dans l’environnement de la plateforme de calcul scientifique MATLAB ©, sous la forme d’une interface graphique. Cet outil comporte toutes les routines développées pour l’optimisation des mécanismes virtuels de rupture considérés et offre plusieurs options pour l’étude de fondations superficielles. Les guides suivantes sont destinées à
expliquer la structure et les potentialités de l’outil de calcul développé.

Installation

L’outil informatique « BearingCapacity » peut être utilisée comme une fonction sous l’environnement de la plateforme scientifique MATLAB ©. L’outil est lancé en tapant: >> BearingCapacity dans la fenêtre des commandes (Command Window) de MATLAB. Une interface graphique apparaît sur l’écran de l’utilisateur, comme celle présentée sur la Figure 2.66. Cette interface est destinée à faciliter la définition des données du problème en question. L’utilisateur peut définir la géométrie de la fondation, les critères de résistance du sol et de l’interface sol-interface, le type de la superstructure et du problème en question et finalement, les valeurs connues des paramètres de chargement de la configuration examinée. Ces possibilités sont expliquées ci dessous.

Définition de la géométrie

L’utilisateur définit d’abord la géométrie de la fondation examinée. Deux cas sont inclus : la semelle rectangulaire et la semelle circulaire. En choisissant « Rectangular footing », l’utilisateur doit définir les deux dimensions de la semelle B et L (cf. Figure 2.67a). On note que B désigne toujours la petite dimension de la semelle et L la grande dimension de la semelle. En choisissant « Circular footing », l’utilisateur est invité à définir le diamètre D de la semelle (cf. Figure 2.67b).
Les unités de toutes les quantités de longueur sont en [m]. On note que la semelle est fondée à la surface du sol. La considération d’une profondeur d’encastrement n’est pas incluse, pour le moment, dans les potentialités de l’outil.

Type de superstructure et de problème

L’étape suivante consiste à déterminer le type de la superstructure ainsi que le problème à résoudre. L’utilisateur choisit entre deux types de superstructure :
a. Une superstructure à un degré de liberté ; «Single degree of freedom superstructure».
b. Une superstructure générale ; «General superstructure».
Dans le cas d’une superstructure à un degré de liberté de hauteur h connue, le moment, qui est exercé sur la semelle, peut être directement déterminé par la relation M = Vh. Lorsqu’une telle relation peut être établie même pour une superstructure à plusieurs degrés de liberté, l’utilisateur peut choisir «Single degree of freedom superstructure» et définir la hauteur h de la superstructure à un degré de liberté correspondante. Si l’utilisateur choisit «General superstructure», le moment M et la force horizontale V sont définies séparément. Ensuite, l’utilisateur choisit le type de problème. Les possibilités suivantes sont disponibles :
a. «Single degree of freedom superstructure» :
i. « Given N, h, max. horizontal acceleration ? Find V, M ». Dans ce cas, la force verticale N, la hauteur de la superstructure h et l’accélération horizontale sismique maximale ah,max, sont connues et le couple V, M (=Vh) est recherché. L’utilisateur introduit la valeur du poids volumique du sol γ (en [kN/m3]), de l’accélération horizontale maximale ah,max (en [g]) et de la force verticale totale sur la semelle N (en [kN]). Finalement, il détermine le coefficient de sécurité partiel de charge (pour la force verticale N) γf ,N .
ii. «Given N, V, h, max. horizontal acceleration ? Find the Safety Factor». Dans ce cas, tous les paramètres de chargement ainsi que les coefficients de sécurité de charge sont définis par l’utilisateur. L’algorithme implémenté détermine le coefficient de sécurité vis-à-vis d’une rupture par perte de capacité portante. Pour une définition du facteur de sécurité dans le cadre de cette étude, voir la note à la fin de ce paragraphe.
b. «General superstructure»:
i. « Given N, V, max. horizontal acceleration ? Find M». Le problème est similaire au problème (a.i) mais maintenant l’utilisateur définit la force horizontale V (en place de la hauteur
h) et obtient comme résultat la valeur ultime du moment M (en [kNm]).
ii. «Given N, V, M ? Find max. horizontal acceleration». Dans ce cas, le chargement sur la semelle est connu (par exemple, comme résultat de la capacité ultime de la superstructure) et ce qui est cherché c’est le séisme qui entraînera rupture par perte de capacité portante. Ce séisme « ultime » est déterminé au moyen de l’accélération horizontale maximale dans le volume du sol.
L’utilisateur définit les valeurs de N, V, M sur la semelle et les coefficient de sécurité partiels correspondants et il obtient la valeur ultime de ah,max (en [g]).
iii. «Given N, V, M, max. horizontal acceleration ? Find the Safety Factor». Ce problème est similaire au problème (a.ii). L’utilisateur définit séparément la force horizontale V et le moment M sur la semelle.
La Figure 2.69 présente la zone de l’interface graphique destinée à la définition du type de la superstructure et du problème et à l’introduction des données nécessaires pour le problème. Dès que l’introduction des données nécessaires est finie, l’utilisateur doit actualiser les valeurs des paramètres qui sont stockées dans la mémoire du système en appuyant sur le bouton «Update parameters». Il est essentiel qu’il fasse toujours cette action, avant de procéder au lancement de l’algorithme de résolution. Après avoir actualisé les paramètres du problème, l’utilisateur peut lancer la procédure de résolution en s’appuyant sur le bouton «Calculate Bearing Capacity».

Table des matières

Présentation
1 Introduction
1.1 Ruptures sismiques des fondations
1.1.1 Séismes « historiques » du génie parasismique géotechnique
1.1.2 Description des ruptures sismiques de fondations
1.1.3 Points récapitulatifs
1.2 Conception parasismique des fondations superficielles basée sur les déplacements
1.2.1 Le modèle de Newmark (1965)
1.3 Méthodes d’interaction dynamique sol-structure
1.3.1 De la source sismique à l’échelle de la structure
1.3.2 Les méthodes de sous-structures
1.3.3 Les méthodes directes
1.3.4 Les méthodes hybrides et le concept du macroélément pour l’IDSS
1.3.5 Résumé
2 Analyse à la rupture
2.1 Revue des méthodes de résolution du problème de la capacité portante des fondations superficielles
2.1.1 Généralités
2.1.2 Méthodes analytiques et numériques. Méthodes mixtes
2.1.3 Méthodes empiriques et expérimentales
2.1.4 Remarques finales
2.2 Résumé de l’approche cinématique du Calcul à la Rupture
2.2.1 Introduction du principe de puissances virtuelles
2.2.2 Introduction de la résistance du matériau constitutif
2.2.3 Mise en oeuvre de l’approche cinématique par l’extérieur
2.3 Semelles filantes : Rappel de résultats existants
2.3.1 Introduction
2.3.2 Traitement dans le cadre de la formulation classique
2.3.3 Surface ultime globale
2.3.4 Vérification expérimentale
2.3.5 Adaptation aux Normes Européennes
2.4 Forces d’inertie dans le sol
2.4.1 Création de la sollicitation sismique
2.4.2 Description de Fh
2.4.3 Valeur critique de h F
2.4.4 Dimensions de la fondation
2.5 Capacité portante sismique des fondations circulaires
2.5.1 Introduction
2.5.2 Capacité portante des semelles circulaires : Rappel des résultats connus
2.5.3 Formulation du problème de la capacité portante sismique des fondations circulaires
2.5.4 Mécanismes virtuels de rupture
2.5.5 Résultats
2.6 Coefficients de sécurité
2.6.1 Généralités
2.6.2 Application à la formulation de la capacité portante sismique
2.6.3 Résumé
2.7 Outil numérique pour le traitement du problème
2.7.1 Généralités
2.7.2 Installation
2.7.3 Définition de la géométrie
2.7.4 Définition du critère de résistance du sol et de l’interface sol-semelle
2.7.5 Type de superstructure et de problème
2.7.6 Procédure de calcul
2.7.7 Résultats
2.7.8 Définition du Facteur de Sécurité global (Problèmes a.ii et b. iii)
3 Approche expérimentale
3.1 Préparation des essais
3.1.1 Besoin d’une approche expérimentale
3.1.2 Travaux expérimentaux existants – Définition des objectifs des essais
3.1.3 Planification des essais
3.1.4 Premiers éléments d’élaboration des essais
3.2 Première séance d’essais
3.2.1 Description de la configuration testée
3.2.2 Présentation des résultats
3.3 Deuxième séance d’essais
3.3.1 Configurations testées
3.3.2 Présentation des résultats
3.3.3 Conclusion
4 Développement du macroélément
4.1 Introduction et état de connaissances
4.1.1 Généralités
4.1.2 Développements initiaux
4.1.3 Les premiers modèles de macroélément
4.1.4 Prise en compte du décollement à l’interface sol-fondation
4.1.5 Le macroélément de Crémer (2001)
4.1.6 Modèles de macroéléments divers
4.2 Présentation du modèle de macroélément
4.2.1 Cadre général
4.2.2 L’idée principale du modèle
4.2.3 Non-linéarité géométrique – modèle élastique non-linéaire pour la description du décollement
4.2.4 Non-linéarité matérielle – modèle de plasticité
4.2.5 Paramètres du modèle. Couplage plasticité – décollement
4.3 Mise en oeuvre numérique et comportement en chargement quasi-statique
4.3.1 Introduction
4.3.2 Mise en oeuvre numérique
4.3.3 Réponse du modèle sous chargements quasi-statiques monotones et cycliques
4.4 Extension aux chargements dynamiques
4.4.1 Éléments introductifs
4.4.2 Application numérique
4.4.3 Conclusion
Conclusions et perspectives
Références bibliographiques

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