Formulation du couplage comportement / endommagement

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 Discrétisation temporelle

Le système d’équation de la formulation faible, qui vient d’être présenté, doit être satisfait à chaque instant de la discrétisation temporelle. Pour cela, l’espace de temps total ( Ttotal ) de la simulation numérique est décomposé en N intervalles à partir du pas de temps ∆t :U[ ]k ,1 NTtotal i t,t i t== + ∆
A l’instant t, la configuration est connue. Le logiciel Forge2005® est basé sur une formulation Lagrangienne réactualisée. C’est-à-dire que la nouvelle configuration (instant t+ ∆t ) est calculée à partir de l’instant précédent t et non t0 comme dans le cas d’une formulation
Lagrangienne totale. Le pas de temps doit être choisi suffisamment faible pour que l’hypothèse des petites déformations (<1% par incrément) soit vérifiée.
Le schéma d’intégration temporelle utilisé est de type Euler implicite : Xt+∆t = Xt + Vt∆t ( 2.25)
Le logiciel Forge2005® permet également d’utiliser un schéma d’intégration d’ordre 2 de type Runge-Kutta pour lequel le calcul d’une configuration intermédiaire (t + ∆ 2/t ) est nécessaire. Ce schéma est plus performant mais très coûteux en temps de calcul. L’erreur commise est notamment proportionnelle à (∆ )t 3 contre (∆ )t 2 pour un schéma d’Euler ce qui permet une meilleure précision ([Boyère99]).

Gestion du contact

Dans le logiciel Forge2005®, le contact est géré par la méthode de pénalisation. Pour cela, il est nécessaire d’introduire la notion de distance δk entre un nœud k et le point le plus proche de la surface de l’outil. Cette distance correspond à la distance de pénétration. La convention suivante est alors utilisée :
– 0 δk > si le nœud est à l’extérieur de l’outil, – 0 δk = si le nœud est sur la surface de l’outil, – 0 δk < si le nœud est à l’intérieur de l’outil.
Durant un incrément de temps, aucun nœud ne peut pénétrer dans les outils. Cette condition de non pénétration est alors imposée et peut s’écrire : ∀k = ,1 …, nbnoe δk ≥ 0 ( 2.26)
Pour cela, une contrainte normale σk n est imposée au nœud k ayant pénétré l’outil dans le but de le ramener sur la surface de celui-ci : σk n = -ρcδ+ kn( 2.27)
où ρc est le coefficient de pénalisation, n est la normale extérieure à la surface du lopin. δ+ k est défini par :
– 0δk + = si le nœud k est à l’extérieur de l’outil,
– δk + = δk si le nœud k est à l’intérieur ou à la surface de l’outil.

Intégration d’une loi de comportement élastoplastique endommageable

Equations de base sans endommagement

On se place ici dans le cadre d’un écrouissage isotrope avec une plasticité de von Mises. Le tenseur des vitesses de déformation ε& est fonction du champ de vitesse v et est défini par : (grad( ) grad( )T ) ε& = v + v ( 2.38)
Ce tenseur se décompose en une partie élastique réversible ε& e et une partie plastique incompressible et irréversible ε&p : ε& = ε& e + ε& p ( 2.39)
Le tenseur des vitesses de déformation ε& est également couramment décomposé en une partie déviatorique e& et une partie sphérique tel que :ε e trace(ε) Id& = & + & De la même façon, les tenseurs ε& e et ε&p se décomposent en deux parties .

Couplage faible avec endommagement isotrope

Comme nous l’avons vu précédemment, le couplage fort nécessite la résolution d’un système non linéaire de deux équations à deux inconnues. Ceci nécessite l’intégration et la modification de nombreuses routines au cœur même du logiciel Forge2005®, ce qui n’est pas permis aux utilisateurs de base.
Cependant, une deuxième possibilité de couplage existe par le biais des routines utilisatrices. Ces routines sont accessibles et modifiables par chaque utilisateur de Forge2005®. Celles-ci permettent notamment de coupler l’endommagement au comportement mais par le biais d’un couplage faible. Ce couplage entre l’endommagement et le comportement est réalisé en multipliant la fonction d’écrouissage R et le module de Young E par le facteur (1– Dn+1). A la différence du couplage fort, l’incrément d’écrouissage ( ∆r ) et l’endommagement Dn+1 ne sont pas calculés simultanément. Dans un premier temps, seul l’incrément d’écrouissage est calculé en résolvant l’équation relative au critère de plasticité : f1 = qTn+1 – 3µ∆r – 1( – Dn )R n+1 = 0 ( 2.92)
Puis l’incrément d’endommagement ∆D est déduit par la relation suivante : 1( D )rYSDnbn 0 ∆-   ∆ = ( 2.93)
Finalement l’endommagement à la fin de l’incrément (instant n+1) est calculé : D D D n+1 = n + ∆ ( 2.94)
Le couplage faible est donc un peu moins précis que le couplage fort mais il reste beaucoup plus simple à implémenter dans le logiciel Forge2005®. Une comparaison entre ces deux types de couplage est présentée dans le paragraphe 2.3.

Analyse et caractérisation des matériaux

Introduction

Au cours des deux premiers chapitres, nous avons présenté les mécanismes physiques ainsi que différents modèles d’endommagement. Afin de mieux comprendre ces phénomènes physiques et de déterminer les paramètres relatifs aux modèles, il s’avère nécessaire d’effectuer des observations à la fois microscopiques et macroscopiques. C’est pourquoi, des analyses ont été réalisées au cœur de la matière par le biais de microscopie électronique à balayage et de tomographie X. De plus, des essais macroscopiques (traction, compression/traction) ont également été réalisés pour caractériser le comportement de nos matériaux.

Analyse microstructurale

Présentation des matériaux

Les matériaux retenus pour l’étude des mécanismes d’endommagement sont deux nuances d’aciers (Nuances 1 et 2) communément utilisées pour des opérations de forgeage à froid. Ces deux aciers ont été produits par l’aciériste Ascometal CREAS. La matière est délivrée sous forme de barres obtenues par un procédé de laminage.
Les informations concernant ces deux aciers sont les suivantes :
– une nuance bainitique (nuance 1) qui est réputée plutôt difficile à forger à froid. Celleci n’a pas subi de traitement analytique mais juste un traitement isotherme pour diminuer sa dureté.
– une nuance ferrito-perlitique (nuance 2) qui est classiquement livrée pour la forge à froid. Celle-ci a subi un traitement analytique et un traitement thermique, ce qui lui confère une bonne ductilité. L’état dans lequel se trouve la matière est le même que celui livré aux différents forgerons. L’ensemble des propriétés de ces deux nuances est alors récapitulé dans le Tableau 3.1.

Etude statistique des inclusions

Conditions opératoires

L’analyse inclusionnaire a été réalisée par le laboratoire de la société Ascometal CREAS. Cette étude de caractérisation a été obtenue en couplant un MEB à un système d’analyse d’images. Ce couplage, MEB FEG – EDS – AI, a été réalisé dans les conditions indiquées par le Tableau 3.2. Le but de cette étude est de caractériser les différentes populations d’inclusion avec une limite de détection de 2.8 microns, et ceci sur une surface d’environ 50 mm².
Les différentes inclusions ont été classées en trois grandes familles :
– les sulfures,
– les oxydes
– les oxydes et sulfures.
Etant donné la très faible teneur en Titane des deux nuances étudiées, il n’y a pas d’inclusion de nitrure de titane. Dans un premier temps, des images en niveau de gris sont acquises avec un MEB dans les zones observées. Un double seuillage est également réalisé pour séparer les phases d’oxydes des phases de sulfure. Puis, des analyses par EDS sont réalisées au centre géodésique de chaque phase distincte. Si le plus petit diamètre de l’oxyde est supérieur à 0.5 µm, l’inclusion sera alors jugée comme biphasée (sulfure+oxyde).

Faciès de rupture

L’observation des faciès de rupture au microscope électronique à balayage a montré des différences notables entre les deux directions de traction et ceci pour les 2 nuances étudiées. En ce qui concerne la nuance 1 (bainitique), la différence est encore plus marquée. Dans le cas d’une sollicitation longitudinale, l’observation microscopique des faciès de rupture montre un aspect rugueux avec la présence de cupules (Figure 3.19b) au centre de l’éprouvette, ce qui est typique d’une rupture ductile par déchirure (tearing mode) [Montheillet86].
Un deuxième mode de rupture coexiste également avec le premier. Cette zone de rupture appelée lèvres ductiles présente un aspect différent (Figure 3.20b), moins rugueux et se situe près des bords de l’éprouvette. Cette rupture correspond à une zone de concentration de la déformation en cisaillement (shearing mode) [Montheillet86]. Les lèvres ductiles suivent alors les plans de scission maximale et sont orientées à 45°.

Essais de compression/traction

Lors de la mise en forme par forgeage, la matière subit le plus souvent des trajets de chargement complexes, et non monotones. Les chemins de triaxialité ont notamment été étudiés dans le cadre de cas réels de forgeage proposés par nos partenaires industriels (cf. Chapitre 5). Il ressort de cette étude que la matière est souvent dans un premier temps en compression puis que certaines zones de la pièce sont amenées à passer en traction. Ce sont généralement ces zones, où la matière passe en traction après avoir été en compression, qui sont les plus susceptibles de s’endommager puis de se rompre.
C’est pourquoi, des essais de compression/traction ([Bouchard et al.08], [Bouchard et al.09]) ont été réalisés sur les deux nuances d’acier étudiées : nuance 1 (bainitique) et nuance 2 (ferrito-perlitique). Le but étant de mettre ou non en évidence l’influence de la pré compression sur la rupture en traction et d’étudier également l’influence de la triaxialité sur l’endommagement.
Les essais de compression/traction présentés ici s’appuient sur des travaux antérieurs menés par Bao [Bao03] sur un alliage d’Aluminium (Al2024-T351). Les essais de compression/traction de Bao sur éprouvettes entaillées ont permis notamment de mettre en évidence l’influence de la pré compression sur la rupture en traction. A savoir que pour cet alliage d’aluminium (Al2024-T351), plus la matière est pré comprimée et plus la rupture en traction intervient tôt. La pré compression diminue donc la ductilité de l’alliage Al2024-T351.

Essais in situ

Comme nous venons de le voir, des essais mécaniques de type macroscopique ont été réalisés et ont permis de mettre en évidence l’anisotropie de l’endommagement ainsi que l’influence de la pré compression sur la rupture en traction. Afin de mieux comprendre les mécanismes liés à l’endommagement au niveau de la microstructure (décohésions au niveau d’inclusions, fragmentation d’inclusions, comportement de porosités en compressiontraction, …), une étude a été menée en collaboration avec le laboratoire GEMPPM de l’INSA de Lyon pour réaliser des essais in situ. Pour cela, deux types d’essai ont été effectués :
– des essais in situ au MEB,
– des essais in situ en tomographie X.
Tous ces essais ont été mis au point de manière à observer le comportement de la microstructure au cours des essais ([Bouchard et al.08], [Bouchard et al.09]). Cette étude s’est inscrite dans le cadre d’un mastère effectué au CEMEF et réalisé par Hélène Lachapèle ([Lachapèle07]).

Microscopie Electronique à Balayage (MEB)

Les essais de traction in situ au MEB vont permettre de visualiser les différents mécanismes d’endommagement et de mettre ainsi en évidence les différences d’évolution entre les éprouvettes radiales et longitudinales. Ces essais ont été réalisés uniquement sur la nuance la plus anisotrope à savoir la nuance 1 (bainitique). Ceux-ci ont été effectués sur des éprouvettes plates polies de 1 mm d’épaisseur et dont les dimensions sont indiquées sur la Figure 3.39. Etant donné la faible disponibilité du MEB du GEMPPM (INSA de Lyon), seules trois configurations de traction ont été réalisées comme le montre la Figure 3.38. La première (A) a été effectuée sur une éprouvette prélevée radialement au sens de laminage, la deuxième (B) sur une éprouvette pré comprimée dans le sens de la longueur prélevée longitudinalement au sens de laminage et la troisième (C) sur une éprouvette pré comprimée dans le sens de l’épaisseur prélevée à 45°.

Table des matières

Chapitre 1 : Endommagement ductile des métaux
1.1 Introduction au forgeage à froid des métaux
1.2 Les mécanismes d’endommagement ductile
1.2.1 Généralités
1.2.2 Les mécanismes physiques
1.2.2.1 Germination
1.2.2.2 Croissance
1.2.2.3 Coalescence
1.2.2.4 Couplage endommagement/comportement
1.3 Modélisation de l’endommagement ductile
1.3.1 Introduction
1.3.2 Modèles découplés
1.3.3 Modèles couplés de type micromécanique
1.3.3.1 Le modèle de Gurson
1.3.3.2 Le modèle de Gurson, Tvergaard et Needleman (GTN)
1.3.3.3 Le modèle de Gologanu, Leblond et Devaux (GLD)
1.3.4 Modèles couplés de type macromécanique
1.3.4.1 Variables d’endommagement
1.3.4.2 Concept de variables effectives
1.3.4.3 Cadre thermodynamique
1.3.4.4 Potentiel d’état pour endommagement isotrope
1.3.4.5 Formulation du modèle de Lemaitre
1.4 Conclusion
Chapitre 2 : Formulation du couplage comportement / endommagement
2.1 Introduction
2.2 Problème mécanique
2.2.1 Formulation générale du problème continu
2.2.1.1 Equations de conservation
2.2.1.2 Conditions limites
2.2.1.3 Lois mécaniques
2.2.1.4 Formulation faible à deux champs (vitesse/pression)
2.2.2 Formulation du problème discrétisé
2.2.2.1 Discrétisation spatiale
2.2.2.2 Discrétisation temporelle
2.2.2.3 Gestion du contact
2.2.2.4 Résolution du système
2.3 Intégration d’une loi de comportement élasto-plastique endommageable
2.3.1 Equations de base sans endommagement
2.3.2 Couplage fort avec endommagement isotrope
2.3.2.1 Equations de base avec endommagement
2.3.2.2 Résolution incrémentale
2.3.2.3 Module tangent discret
2.3.3 Couplage faible avec endommagement isotrope
2.4 Comparaison entre couplage fort et couplage faible
2.5 Conclusion
Chapitre 3 : Analyse et caractérisation des matériaux
3.1 Introduction
3.2 Analyse microstructurale
3.2.1 Présentation des matériaux
3.2.2 Etude statistique des inclusions
3.2.2.1 Conditions opératoires
3.2.2.2 Résultats
3.3 Essais de traction
3.3.1 Géométries
3.3.2 Résultats – Nuance 1 (bainitique)
3.3.3 Résultats – Nuance 2 (ferrito-perlitique)
3.3.4 Faciès de rupture
3.3.5 Conclusion
3.4 Essais de compression/traction
3.4.1 Géométries et montage expérimental
3.4.2 Résultats – Nuance 1 (bainitique)
3.4.3 Résultats – Nuance 2 (ferrito-perlitique)
3.4.4 Conclusion
3.5 Essais in situ
3.5.1 Microscopie Electronique à Balayage (MEB)
3.5.1.1 Influence du sens de prélèvement
3.5.1.2 Influence de la compression
3.5.2 Tomographie X
3.5.2.1 Principe de fonctionnement
3.5.2.2 Géométrie et montage expérimental
3.5.2.3 Visualisation des porosités dans le volume
3.5.2.4 Visualisation des porosités en coupe
3.5.2.5 Mise en évidence des mécanismes d’endommagement
3.5.3 Conclusion
Chapitre 4 : Développement d’un modèle plus adapté aux chargements complexes en mise en forme à froid
4.1 Introduction
4.2 Modifications apportées au modèle d’endommagement
4.2.1 Prise en compte de l’endommagement en compression
4.2.2 Seuil limite pour une triaxialité négative
4.2.3 Modification du potentiel d’endommagement
4.2.4 Formulation anisotrope
4.2.4.1 Variable d’endommagement tensorielle (3D)
4.2.4.2 Prise en compte de l’orientation des inclusions
4.3 Identification des paramètres par analyse inverse
4.3.1 Introduction
4.3.2 Algorithmes de minimisation
4.3.2.1 Méthodes à direction de descente
4.3.2.2 Méthodes d’ordre 0
4.3.3 Identification des paramètres
4.3.3.1 Paramètres rhéologiques
4.3.3.2 Paramètres d’endommagement
4.4 Conclusion générale
Chapitre 5 : Applications numériques et validations
5.1 Introduction
5.2 Validation à partir d’essais mécaniques simples
5.2.1 Essais de traction uni axiale
5.2.2 Essais TELE (Taux d’Ecrasement Limite Equivalent)
5.2.2.1 Résultats expérimentaux
5.2.2.2 Simulations
5.2.3 Conclusion
5.3 Validation à partir de cas industriels
5.3.1 Forgeage d’un arbre de boîte de vitesse.
5.3.2 Forgeage d’écrous à embase
5.3.3 Conclusion
Conclusions & perspectives
Références bibliographiques

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