Formulation de problème de solidification

Formulation de problème de solidification

Formulation de problème de solidification

ce chapitre, nous donnons la formulation mathématique du problème de solidification, basé sur la méthode d’enthalpie dans les deux cas de changement de phase : iso-thermique et non iso-thermique avec les hypothèses simplificatrices. Le mécanisme de changement de phase dans un tissu biologique a été discuté ainsi que la formulation de congélation cryogénique d’un tissu de poumon.

Phénomènes physiques au cours de processus de changement de phase liquide/solide

Les deux phases solide et liquide sont caractérisées par la présence des forces de cohésion qui maintiennent les atomes en grande proximité. Dans un solide,les molécules vibrent autour des positions fixes d’équilibre, tandis que dans un liquide, les molécules sont libres et peuvent bouger entre ces positions. La manifestation macroscopique de cette énergie vibrationnelle est appelée « énergie thermique ». Les atomes dans la phase liquide sont plus énergétiques que dans la phase solide. Le phénomène de fusion de solide nécessite une certaine quantité d’énergie pour surpasser les forces de cohésion qui maintiennent la structure solide. Cette énergie est connue sous le nom de « chaleur latente de fusion » du matériau et qui représente la différence dans les niveaux d’enthalpie entre l’état solide et liquide. La solidification d’un liquide exige l’enlèvement de cette chaleur latente et la structuration des atomes dans des réseaux plus stable.
La région de transition de phase où les deux phases solide et liquide coexistent est appelée l’interface. L’épaisseur de cette région peut varier de quelques angströms à quelques centimètres et sa microstructure est très complexe. Pour la majorité des matériaux purs, avec des conditions ordinaires de solidification à une température fixe , l’interface apparait localement sous une forme planaire avec un épaisseur négligeable et peut être considérée comme une interface pointue (surface) séparant la phase solide de la phase liquide à une température . Dans les autres cas, la région de transition de phase peut avoir une épaisseur apparente connue comme « la zone étroite » ; cette région résulte typiquement d’un super-refroidissement du à la présence des composants multiples (alliages), et sa microstructure peut apparaitre comme étant dendritique (voir figure 2.1).
Plusieurs mécanismes existent au cours de changement de phase liquide/solide. Ce type de changement de phase implique le transfert de masse et de chaleur, le super-refroidissement, l’absorption ou le dégagement de la chaleur latente, la variation des propriétés physiques et les effets de surface, … etc. [46].
Figure 2.1 : différentes microstructures de l’interface liquide/solide.

Transfert thermique et de masse

Il existe trois modes de transfert thermique dans un matériau : conduction, convection et rayonnement. La conduction est le transfert de l’énergie cinétique entre les atomes par collision et par mouvement des électrons où il n’y a pas un écoulement ou transfert de masse de matériau ; c’est le cas du transfert thermique dans les solides opaques. Dans le cas des liquides, le transfert de chaleur s’effectue par écoulement des particules ou par convection. Le rayonnement est le seul mode qui peut apparaitre dans le vide (il ne nécessite pas la participation d’un support matériel).

Variation de la température de changement de phase

La transition d’une phase à une autre, qui se manifeste par l’absorption ou le dégagement de la chaleur latente, apparait à une certaine température dont la stabilité d’une seule phase se décompose en faveur de l’autre selon l’énergie disponible. Ce changement de phase dépend de la pression. Pour une pression constante, est une constante caractéristique du matériau (par exemple, pour la congélation d’eau pure sous la pression atmosphérique), ou une fonction d’autres variables thermodynamiques (par exemple, en fonction de concentration de glycol dans les mélanges anti-congélation).

Super-refroidissement

La majorité des solides ont une structure cristalline où les particules (atomes, molécules ou ions) sont arrangées dans des réseaux répétitifs qui s’étalent dans des distances atomiques significatives. Dans ce contexte, les atomes sont assimilés à des sphères de 2 à 6 Angströms. Puisque la formation d’un Crystal peut exiger le mouvement des atomes à l’intérieur du réseau du
solide, la température du matériau doit être réduite en dessous de sans la formation de l’état solide. Un super refroidissement du liquide en dessous de peut apparaitre dans un état thermodynamique métastable [46]. Quand la cristallisation commence, si la chaleur latente dégagée au cours de solidification est suffisante pour changer la température à , la phase liquide n’est pas assez refroidie et la température retourne rapidement à la température de fusion . La phase liquide est hyper-refroidie à une température très basse où la chaleur latente n’est pas suffisante pour changer la température à .

Variation des propriétés thermo-physiques

La majorité des propriétés thermo-physiques d’un matériau varient légèrement en fonction de la température et subissent soudainement des grands ou des petits changements à la température . Par exemple, la chaleur massique de l’Aluminium subit un changement de 11 % à sa température de fusion .Par contre on a seulement un changement de 0.3 % dans le cas de silicone ( ). Ces discontinuités dans les propriétés thermo-physiques compliquent les modèles mathématiques du problème de changement de phase à cause des discontinuités induites dans les coefficients des équations différentielles. Cependant, les effets les fondamentaux et les plus prononcés sont dus au changement de la densité (masse volumique) [46].

Variation de la densité

Les variations typiques de la masse volumique au cours de changement de phase liquide/solide sont entre 5% et 10% mais peuvent atteindre 30%.
Pour la majorité des matériaux, le solide et plus dense que le liquide, résultant dans des formations possibles des vides en rétrécissement et expansion de l’enceinte solidifié. La variation de la densité avec la température dans le champ de gravité induit l’écoulement par convection naturel, égalisant rapidement la température dans le liquide et affectant considérablement le transfert thermique. Dans l’échelle de microgravité, les phénomènes de convection qui dominent le transfert thermique sont différents, cela est du aux effets des forces capillaires. Tous ces effets peuvent compliquer le processus de changement de phase et notre capacité d’analyse.

 Hypothèses simplificatrices

Le processus de changement de phase considéré dans ce mémoire implique un matériau avec une chaleur latente constante de changement phase ( . Les effets de super-refroidissement ainsi que les effets de nucléation ne sont pas prise en considération.
Les chaleurs massiques , et les conductivités thermiques , sont supposés constantes dans chaque phase en considérant leur discontinuité au niveau d’interface pour tester les performances et la validité de d’algorithme utilisé.
Le transfert de chaleur est considéré seulement par conduction. C’est une hypothèse raisonnable pour les matériaux purs dans les petites enceintes avec des gradients de température modérés.
En outre, les cas des changements de phase étudiés dans ce mémoire sont de type « iso-thermique » et avec « zone étroite » pour tester les performances de l’algorithme numérique utilisé.
La variation de la masse volumique due au changement de phase a été ignorée pour empêcher le mouvement de la partie fluide. Cette hypothèse n’est raisonnable pour tous les cas. Cependant, il aide à construire un solveur moins compliqué de processus de changement de phase liquide/solide pour étudier le comportement de schéma numérique dans les deux cas : convection-diffusion stationnaire et conduction pure instationnaire.

Méthode d’enthalpie

La méthode d’enthalpie est utilisée pour la modélisation de la conduction de chaleur avec changement de phase. Cette méthode permet de traiter l’interface liquide/solide dans la solution sans le suivi explicitement.
Il est intéressant d’un point de vu historique, de noter originellement que cette formulation n’a pas été introduite pour traiter les problèmes de changement de phase. Elle a été utilisée pour la première fois par Eyres et al comme une formulation alternative pour les problèmes de conduction de chaleur où la conductivité thermique varie en fonction de la température.
En considérant que les propriétés thermo-physiques sont constantes dans chaque phase, l’équation de la conduction de chaleur peut s’écrire : ( (2.1) où est la température absolue, est la vitesse dans le cas de mouvement de domaine, est la source interne de chaleur, désigne le temps. , et sont respectivement la chaleur massique, la conductivité thermique et la masse volumique du matériau.
Dans le cas où le régime est stationnaire, l’équation (2.1) devient de type convection-diffusion stationnaire et elle s’adapte avec le cas de moulage continu.

Changement de phase non iso-thermique (avec zone étroite)

Pour ce type de problème, il est nécessaire de définir à chaque point la fraction liquide dans la zone étroite. Comme il est mentionné dans [46], la fraction liquide peut être en fonction d’un nombre des variables au cours de solidification. Dans plusieurs systèmes, il est raisonnable de supposer que la fraction liquide varie seulement en fonction de température

Traitement de cancer de poumon par congélation cryogénique

L’application principale de la cryochirurgie à l’intérieur de poumon est de congeler les métastases secondaires. Une tumeur primaire se trouve souvent dans les organes comme les poumons et le foie. A cause de la taille des tumeurs primaires dans le poumon, ces tumeurs sont enlevées typiquement par des techniques de résection. Cependant, la cryochirurgie par multisonde peut être utilisée comme une alternative. Tandis que la résection est également employée pour enlever les métastases, il a été remarqué que l’ampleur des résections a une influence dans le temps de survie des patients [47]. Donc, l’utilisation de la cryochirurgie pour des métastases multiples est parfois préférable grâce à son non-invahisante. En fait, les taux de survie des patients après la cryochirurgie est 26 % après 5 années [48]. Ce pourcentage comparé au taux de 35 % des patients qui vont subir une résection chirurgique, apparait raisonnable tandis que les patients sélectionnés pour la cryochirurgie sont généralement dans des mauvaises conditions que celles sélectionnées pour la chirurgie traditionnelle.
Due à la différence des propriétés thermo-physiques entre le tissu de tumeur qui est plus dense, et le tissu de poumon de faible densité, le comportement physique associé à la cryochirurgie dans le poumon est unique et intéressant. Dans une étude analytique et numérique faite par Bischof, bastacky et Rubinsky (1992) sur le cancer de poumon, ils ont remarqué d’après leurs résultats que le front de congélation s’accélère comme il part et entre dans la région de tissu sain de poumon de faible densité. Ce résultat obtenu par Bischof, bastacky et Rubinsky peut être employée pour juger la validité des modèles numériques dans la simulation de problème de cryochirurgie de cancer de poumon, surtout dans des configurations multidimensionnelles.

Destruction des cellules de tissu sous les conditions cryogéniques

Le mécanisme d’endommagement de tissu au cours de la cryochirurgie doit être compris afin de relier le procédé de congélation au degré de destruction des cellules dans la tumeur. Les effets destructifs de congélation de tissu peuvent être classés dans deux mécanismes importants : immédiat et retardé. Les causes de la destruction immédiate des cellules sont dues aux endommagements directs des cellules de l’effet de la température, du refroidissement et des procédés de congélation, tandis que la cause qui retarde les endommagements de congélation, pouvant durer plusieurs heures au cours de l’accomplissement d’une cryochirurgie avec la forme la plus dominante de destruction des cellules, est la stasis vasculaire.
Il y a plusieurs mécanismes distincts où la congélation peut provoquer une chirurgie cellulaire à l’intérieur des boules de glace causées par l’application des cryo-sondes. Le changement fondamental au cours de congélation est la conversion de fluide à une glace à l’intérieur des cellules et à son espace intercellulaire [49]. Certains des changements qui interviennent dans une cellule soumise à la congélation sont : (1) le développement de la formation de glace extracellulaire ; (2) le développement de la formation de glace intracellulaire ;
(3) la cristallisation éventuelle des électrolytes ; (4) la déshydratation des cellules ; (5) le choc thermique ; et (6) la dénaturation des complexes de lipoprotéine.
La réponse de tissu varie avec l’intensité de la chirurgie cryogénique. Gage et Baust [50] ont présenté une revue qui a discuté les mécanismes qui mènent à la destruction des cellules dans les tissus. La température la plus faible de provoquant le décès est . Cette valeur a été recommandée comme une référence pour la mort de cellule. Pour une description plus claire de destruction des cellules de tissu par cristallisation intracellulaire et extracellulaire, la figure 2.1 montre la courbe de la forme caractéristique de la signature de survie des cellules qui subit une congélation, et indique deux domaines de la chirurgie associée avec le refroidissement lent et rapide, qui sont combines pour garantir un intervalle intermédiaire des taux de refroidissement dans lequel la survie des cellules est optimale.

Table des matières

Introduction Générale
Chapitre I Etude bibliographique
1. Modélisation de la solidification
1.1. Modèles d’interface pointue
1.2. Modèles d’enthalpie
1.3. Modèles de phase de champs
2. Application de la modélisation de processus de solidification dans le moulage des métaux
3. Application au domaine de la cryochirurgie
4. Objectif du travail
Chapitre II Formulation de problème de solidification
1. Phénomènes physiques au cours de processus de changement de phase liquide/solide
1.1. Transfert thermique et de masse
1.2. Variation de la température de changement de phase
1.3. Super-refroidissement
1.4. Variation des propriétés thermo-physiques
1.5. Variation de la densité
2. Hypothèses simplificatrices
3. Méthode d’enthalpie
4. Changement de phase iso-thermique
5. Changement de phase non iso-thermique (avec zone étroite)
6. Traitement de cancer de poumon par congélation cryogénique
6.1. Destruction des cellules de tissu sous les conditions cryogéniques
6.2. Modèle de changement de phase dans un tissu biologique
6.3. Formulation mathématique par la méthode d’enthalpie
Chapitre III Discrétisation par MEF et traitement algorithmique
1. Formulation de problème de changement de phase
2. Discrétisation par la méthode des éléments finis (MEF)
2.1. Problème de convection-diffusion stationnaire
2.1.1. Méthode de stabilisation
2.1.2Paramètre de stabilisation
2.1.3. Schéma SUPG des éléments finis
2.1.4. Linéarisation relaxée
2.1.5. Forme discrète
2.1.6. Algorithme de résolution
2.2. Problème de conduction instationnaire
2.2.1. Linéarisation relaxée
2.2.2. Forme discrète
2.2.3. Algorithme de résolution
3. Configuration de maillage
4. Organigrammes de calcule
4.1. Cas de convection diffusion stationnaire
4.2. Cas de conduction instationnaire
Chapitre IV Applications, résultats et discussion
1. Tests de validation
1.1. Problèmes de convection-diffusion stationnaire
1.1.1. Influence du nombre de Stefan
1.1.2. Influence du nombre de Peclet
1.2. Problèmes instationnaire
2. Exemple d’application
2.1. Problème de moulage continu avec un refroidissement par nucléation
2.1.1. Résultats et discussion
2.2. Problème de congélation de tissu de cancer de poumon au cours de la cryochirurgie
2.2.1. Résultats et discussions
Conclusion Générale
Références bibliographiques
ANNEXE

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