Formation du réseau poreux et perméabilité de  la glace de mer

Formation du réseau poreux et perméabilité de  la glace de mer

EQUATIONS FONDAMENTALES DU MODÈLE

La glace de mer et les milieux continus

La glace de mer est un milieu poreux à deux phases constitué d’une matrice solide de glace pure et d’une solution saline appelée saumure. La géométrie du réseau de canaux à l’intérieur duquel s’écoule la saumure est trop complexe pour qu’il soit avantageux, voire même possible, de résoudre l’écoulement à l’intérieur de ces conduits. De ce fait, la glace de mer est décrite par une approche macroscopique. Le domaine formé par les phases solide et liquide de la glace de mer est modélisé comme un milieu continu décrit par des variables continues et réelles sur l’ensemble du domaine étudié telles que la perméabilité, la porosité, la température et la salinité. Ces grandeurs caractéristiques sont déterminées au centroïde des volumes élémentaires à l’intérieur desquels l’ensemble formé par les phases solide et liquide est traité comme un milieu homogène. Cette approche a un certain nombre d’implications au niveau de la représentation physique de la thermodynamique de la glace de mer, particulièrement au niveau de l’applicabilité de l’hypothèse d’équilibre thermodynamique à la glace de mer. Cette hypothèse est présentée à la section 2.7 et discutée plus en détail en annexe.
La description mathématique des milieux poreux à deux phases fut originellement développée dans le domaine de la métallurgie vers la fin des années 60 pour les alliages de métaux [53] . Ce n’est que tout récemment que la théorie fut appliquée aux glaces de mer. Il fut démontré [11] que les équations fondamentales décrivant les milieux poreux à deux phases forment une base solide pour prédire l’évolution de la glace de mer durant la fonte et que, sous certaines conditions d’approximation, le système d’équations se réduit au modèle de glace développé par Maykut et Untersteiner [31] . Le modèle développé dans le cadre de ce projet est complètement défini par les équations différentielles de conservation de la masse, du mouvement, des sels et de la chaleur. Conformément aux hypothèses posées par Worster [53] pour la description des milieux poreux idéaux à deux phases, la saumure est considérée dans notre modèle isotropique, hétérogène, incompressible et de viscosité constante. De plus, les effets d’expansion et de contraction volumique induits par les variations de température et de salinité du fluide sont négligés. Enfin, la matrice solide est considérée hétérogène.

Loi généralisée de Darcy

La loi de Darcy est une loi de comportement qui fut développée en 1856 par Henry Darcy à partir d’expérimentations réalisées sur des écoulements verticaux d’un fluide homogène s’écoulant à travers un milieu poreux également homogène [4]. De nombreuses extensions ont par la suite été proposées afin de généraliser cette équation de mouvement pour la description des écoulements tridimensionnels de fluides hétérogènes et compressibles s’écoulant à l’intérieur de milieux poreux hétérogènes et anisotropes. L’équation généralisée de Darcy est valide pour les écoulements dont les vitesses sont suffisamment faibles pour que les forces inertielles soient négligeables face aux forces de friction visqueuse à l’intérieur des canaux tortueux et étroits de la matrice poreuse [4]. Sous cette condition, l’équation généralisée de Darcy stipule que le flux volumique par unité de surface (q) , communément appelé vitesse de Darcy, d’un fluide s’écoulant à l’intérieur d’un milieu poreux est proportionnel à la perte de charge. Cette loi est valide lorsque l’approche des milieux continus est utilisée, c’est à dire lorsque l’écoulement est moyenne sur une maille beaucoup plus grande que la taille des pores [53]. La vitesse de la saumure à l’intérieur du réseau poreux appelée vitesse de pore (Vb) est liée au flux volumique par unité de surface (q) et à la porosité (q) par la relation: q = qVb (4)
L’expression infinitésimale de l’équation du mouvement en milieux poreux décrivant un écoulement tridimensionnel à travers une matrice poreuse hétérogène et anisotrope d’un fluide hétérogène de masse volumique pb dont la viscosité dynamique (JJ) est constante est telle que: où k est le tenseur de perméabilité, p la pression et g l’accélération gravitationnelle. Il est intéressant de mentionner que l’équation de Darcy n’est pas directement dépendante du temps. Cette particularité sera importante lors de la résolution numérique présentée au chapitre 3.
La perméabilité k est un tenseur de second ordre qui dépend des propriétés du milieu poreux. Pour le modèle développé dans le cadre de ce projet, nous avons imposé une dépendance exclusive de la perméabilité à la porosité locale du milieu poreux tel que proposé par Eicken [10] . À partir d’une série de mesures de la perméabilité verticale (kzz) et de la porosité locale (/]) de la glace réalisée sur deux années complètes, ces derniers ont proposé une relation empirique donnant une relation exclusive entre la perméabilité verticale de la glace et la porosité de cette dernière: II a été démontré à partir de mesures prises en laboratoire que la perméabilité horizontale (kXK) de la glace est non nulle et peut être exprimée en fonction de la perméabilité verticale telle que kxx = 0.1kzz [13] . Cette relation empirique fut utilisée dans quelques travaux de recherche réalisés sur la perméabilité de la glace au cours de la dernière décennie et a montré des résultats satisfaisants [9][10][14]. Nous supposerons également que les perméabilités verticale et horizontale selon les axes x et z sont déterminées de telle sorte qu’elles correspondent aux orientations principales du domaine. Cette hypothèse est raisonnable considérant l’orientation des réseaux de canaux principaux et secondaires tel que présenté à la section 1.2. Ainsi, les termes de perméabilité kxz et kzx seront considérés nuls dans le tenseur de perméabilité k.

Régime d’écoulement dans la glace

Le nombre de Reynolds (Re) correspond au ratio entre les forces inertielle et visqueuse à l’intérieur d’un écoulement fluide. Il est largement utilisé comme critère pour distinguer les écoulements laminaires des écoulements turbulents. La définition du nombre de Reynolds à l’intérieur des milieux poreux est similaire à celle qui est établie pour les conduits circulaires, à l’exception que la dimension caractéristique de vitesse correspond au flux volumique par unité de surface au lieu de la vitesse nominale du fluide. Pour les milieux poreux, la porosité (q) est donc prise en compte lors de l’évaluation du nombre de Reynolds (Re) qui est alors exprimé en fonction du diamètre moyen des canaux (d) et du flux volumique par unité de surface (qr) par la relation [4]: Re=\q\d/n (7) II a été démontré que pour des écoulements poreux dont le nombre de Reynolds est supérieur à une valeur critique se situant entre 1 et 10, la loi de Darcy s’écarte du comportement réel [4]. À cette limite, l’écoulement demeure laminaire, mais les forces inertielles deviennent significatives par rapport aux forces de friction visqueuses. Le flux volumique par unité de surface n’est alors plus une fonction linéaire du gradient hydraulique et sa valeur réelle est surestimée par la loi de Darcy [14] . Notons que le régime turbulent n’est atteint que pour un nombre de Reynolds se situant entre 10 et 100 respectivement [4].

Table des matières

AVANT-PROPOS ET REMERCIEMENTS
RÉSUMÉ
TABLE DES MATIÈRES
LISTE DES TABLEAUX
LISTE DES FIGURES
LISTE DES SYMBOLES
INTRODUCTION 
CHAPITRE 1 BASES THÉORIQUES ET PROBLÉMATIQUE 
1.1 Masse volumique et point de congélation de  l’eau de mer
1.2 Propriétés de la glace de mer
1.3 Formation du réseau poreux et perméabilité de  la glace de mer
1.4 Réchauffement de la glace et ouverture du réseau poreux
1.5 Rugosité de grande échelle: introduction aux crêtes de pression
1.6 Effet de blocage et champ de pression à  1’interface glace-océan
1.7 Présentation de la problématique
CHAPITRE 2 ÉQUATIONS FONDAMENTALES DU MODÈLE 
2.1 La glace de mer et les milieux continus
2.2 Loi généralisée de Darcy
2.3 Régime d’écoulement dans la glace
2.4 Conservation de la masse
2.5 Équation de transport du sel
2.6 Équation de transport de la chaleur
2.7 Hypothèse d’équilibre thermodynamique de la  glace de mer
CHAPITRE 3 RÉSOLUTION NUMÉRIQUE 
3.1 Présentation de la méthode numérique
3.2 Présentation du domaine
3.3 Résolution de la percolation dans la glace
3.4 Résolution de la fonte
3.5 Conditions d’écoulement aux limites
CHAPITRE 4 RÉSULTATS ET DISCUSSION 
4.1 Cadre de la simulation
4.2 Caractérisation hydrodynamique
4.2.1 Profils des vitesses verticales à l’interface  glace-océan
4.2.2 Écoulements poreux horizontaux dans le pied de  glace
4.2.3 Adaptation hydrodynamique de la colonne de  saumure
4.2.4 Bilans volumiques
4.2.5 Représentation de la condition en surface: une analyse des impacts sur l’écoulement
4.3 Caractérisation thermodynamique
4.3.1 Évolution thermodynamique de la glace de mer
4.3.2 Flux de chaleur équivalent
4.3.3 Représentation de la couche limite sous la  glace: une analyse de l’impact sur la fonte.
4.3.4 Effet de l’évolution thermodynamique de la  glace de mer sur le comportement hydrodynamique de la saumure.
CONCLUSION 
ANNEXE
ÉQUILIBRE THERMODYNAMIQUE DE LA GLACE DE MER
BIBLIOGRAPHIE

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