Fonction de répartition des accroissements conditionnels
Mesures de risque
Dans cette section, nous présentons les différentes mesures de risque dont nous étudierons le comportement au chapitre 4, à la lumière du modèle développé au chapitre 3. Nous commençons d’abord par énumérer les caractéristiques que doit posséder une mesure de risque « cohérente », avant de décrire les mesures de risque en fonction de ces caractéristiques. Dans un contexte actuariel, le but d’employer une mesure de risque est de comparer divers risques entre eux afin d’établir une prime optimale, de prévoir des réserves suffisantes ou, simplement, de choisir lesquels endosser. Un très grand nombre de mesures de risque ont été développées dans la littérature actuarielle, si bien qu’il est nécessaire d’effectuer un choix concernant celles qu’il serait préférable d’employer. Une des qualités les plus importantes que peut posséder une mesure de risque est la cohérence. Pour qu’une mesure de risque soit cohérente, il faut qu’elle soit à la fois monotone, invariante par translation, homogène positive et sous-additive. D’autres qualités souhaitables sont l’invariance en loi, l’additivité comonotone et le chargement non-négatif. Nous les énumérons ci-après.Accroissements du total des réclamations escomptées avec conditionnement sur l’expérience Comme nous l’avons constaté au chapitre 1, le processus de la somme des réclamations escomptées n’a pas réellement été étudié d’une manière dynamique. Après avoir présenté les éléments théoriques nécessaires, en rapport avec les sommes de réclamations escomptées au chapitre 2, nous sommes en mesure de développer un modèle prenant en compte l’expérience des périodes précédentes pour prédire le comportement futur du processus. Dans ce chapitre, nous examinons le comportement de l’accroissement de la somme des réclamations escomptées sur une deuxième période, en fonction du comportement du processus durant la première période. Dans ce qui suit, nous présentons donc les principaux résultats obtenus pour les premiers moments simples et conjoints, ainsi que la transformée de Laplace et la fonction de répartition de ces accroissements conditionnels, illustrés par des exemples dans des cas simples. Nous montrons ces résultats à la fois dans le cas où et sont indépendants, et dans le cas où une certaine dépendance existe entre ces composantes.
Transformée de Laplace de la distribution des accroissements conditionnels
Dans cette section, nous étudions la transformée de Laplace des accroissements conditionnels associés au processus de la somme des réclamations escomptées. Ceci nous amène ensuite à présenter une formule récursive permettant le calcul des moments simples, issue de cette transformée de Laplace. Finalement, nous présentons divers exemples, avec des distributions de temps entre les événements de type exponentiel et Erlang. Pour débuter, nous construisons tout d’abord une équation intégrale permettant d’obtenir la transformée de Laplace des accroissements conditionnels du processus de sommes escomptées. Nous pouvons donc retrouver chacun des moments de l’accroissement conditionnel de notre processus en dérivant la fonction génératrice de moments un nombre approprié de fois. L’expression des différents moments gagnera en longueur à chaque dérivation successive, mais il sera possible d’utiliser ces expressions sans devoir passer par les mêmes étapes que pour les premiers moments présentés plus haut à la section 3.1. De plus, il est possible de transformer l’expression des moments simples obtenue par dérivation de la fonction génératrice de moments en une formule qui utilise les moments récursifs de , ce que nous présentons dans le prochain théorème. Z t La formule précédente repose donc à la fois sur les dérivées de la fonction génératrice des moments du processus conditionnel mais aussi du processus non-conditionnel. Il est donc nécessaire de connaître les moments récursifs de Z t jusqu’à l’ordre m afin d’obtenir le mième moment des accroissements conditionnels.
Fonction de répartition des accroissements conditionnels
Obtenir la fonction de répartition d’un processus aléatoire a de nombreuses utilités. Il est nécessaire de la connaître pour obtenir la valeur exacte de nombreuses mesures de risque. De plus, si la fonction obtenue est inversible, elle pourra grandement faciliter la simulation du processus. Par conséquent, nous avons tenté de retrouver la fonction de répartition exacte ou approximée du processus dans les cas les plus simples et nous la comparons à la fin de cette section avec les fonctions de répartition du processus obtenues par simulation. ,t n Z h La façon usuelle de procéder afin de trouver la fonction de répartition d’un processus tel que celui que nous étudions est de passer par sa transformée de Laplace (ou sa fonction génératrice de moments). Une inversion à l’aide d’outils informatiques tels que Maple peut alors être effectuée. Dans le cas des temps entre les événements exponentiellement distribués, nous retrouvons une fonction de répartition indépendante de l’âge du processus au temps t. Nous avons alors.Dans les cas plus complexes, comme le cas , il n’est pas aisé d’inverser directement la transformée. Nous privilégions donc dans ces cas une approche différente. Nous approximons la transformée elle-même, puis inversons cette approximation pour obtenir un estimé de la fonction de (sous-)densité de probabilité de l’accroissement conditionnel. Il ne reste alors qu’à intégrer cette fonction pour obtenir une approximation de la fonction de répartition. (2,) Erlang Nous pouvons facilement comparer cette fonction de répartition à celle obtenue par simulation. La figure 5, en annexe, présente la fonction de répartition des accroissements conditionnels du processus présentée plus haut. En rouge, nous avons la fonction approximée avec la méthode de la section 3.2, alors qu’en bleu, nous avons la fonction de répartition obtenue à l’aide 10 000 simulations du processus sur . Nous voyons que les deux fonctions sont très rapprochées, même si notre approximation semble légèrement sous-estimer la véritable fonction de répartition. En raison de la grande probabilité qu’aucun événement ne se produise entre t et t+h (malgré l’âge assez élevé utilisé), nous observons aussi une grande masse de probabilité à zéro; au-dessus de 0.99! Néanmoins, nous notons que notre approximation rend bien la forme et l’échelle de la fonction de répartition.
Prime de type Wang Puisque nous avons développé une méthode permettant d’obtenir, en les approximant, la transformée de Laplace puis la fonction de répartition des accroissements conditionnels de notre processus de sommes escomptées, il nous est aussi possible de calculer la transformée PH décrite au chapitre 2. Si nous reprenons les paramètres de l’exemple 3.7, en plus de spécifier que et , nous pouvons comparer les valeurs de cette mesure de risque pour différents âges et paramètres . Ces valeurs sont regroupées dans le tableau suivant :
Nous observons, comme nous pouvions nous y attendre, des valeurs très faibles pour tous les âges, en raison de l’important poids à zéro des distributions de t ,n Z h . Nous constatons aussi que les valeurs de la transformée PH sont très éloignées du maximum atteint par nos distributions (environ 2), ce qui montre que, peu importe la valeur , la transformée PH n’est pas trop influencée par les valeurs extrêmes, de l’âge ou du processus. De plus, nous remarquons une augmentation des valeurs de la transformée PH qui coïncide à la fois avec l’augmentation du paramètre et avec l’augmentation de l’âge du processus. Puisque plus de réclamations risquent d’être observées lorsque l’âge du processus augmente, et que celles-ci le seront plus tôt, il est logique que la mesure de risque augmente également. Finalement, nous voyons que, comme dans le cas de la plupart des autres mesures de risque, la valeur de la transformée PH est augmentée lorsqu’on introduit le conditionnement. Malgré tout, cette mesure reste peu utile dans un contexte d’assurance, puisqu’on obtient, en l’utilisant, des valeurs inférieures à l’espérance. Lorsque le paramètre est supérieur à 1, un phénomène contraire se produit, comme on peut le voir dans le prochain tableau, qui compare diverses valeurs en fonction de l’âge et de la mesure de risque (avec les paramètres de l’exemple 3.7).
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Table des matières
Résumé
Abstract
Table des matières
Liste des figures
Liste des tableaux
Remerciements
Chapitre 1 Introduction
Chapitre 2 Concepts théoriques préalables au modèle
2.1 Sommes de renouvellement sans escompte
2.2 Sommes de renouvellement avec réclamations escomptées
2.3 Mesures de risque
2.4 Processus de réserve et probabilité de ruine
2.5 Taux de défaillance et dominance stochastique
2.5.1 Taux de défaillance
2.5.2 Dominance stochastique
Chapitre 3 Accroissements du total des réclamations escomptées avec conditionnement sur l’expérience
3.1 Évaluation des premiers moments conditionnels simples et conjoints
3.2 Transformée de Laplace de la distribution des accroissements conditionnels
3.3 Fonction de répartition des accroissements conditionnels
3.4 Accroissements conditionnels dans un contexte avec dépendance entre Xk et τk
Chapitre 4 Applications
4.1 Mesures de risque
4.1.1 Value at Risk
4.1.2 Tail Value at Risk
4.1.3 Prime d’écart-type
4.1.4 Prime de Wang
4.2 Processus de réserve et de ruine
4.2.1 Simulation du processus de réserve et de la probabilité de ruine
4.2.2 Borne de type Lundberg
Chapitre 5 Conclusion
Bibliographie
Annexe
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