Focalisation non linéaire des ondes de choc de cisaillement dans les solides incompressibles

Un type d’ondes non linéaires peu exploré

La focalisation est un processus majeur d’utilisation des ondes dans de multiples applications. Pour les ondes acoustiques, la focalisation peut être obtenue géométriquement avec des sources incurvées [107, 109, 31] ou des réflecteurs, ou au moyen de lentilles, de réseaux déphasés, de renversement temporel [44] ou de métamatériaux [43]. Les dimensions de la tache focale sont inversement proportionnelles à la longueur d’onde. Ceci implique que les ondes de choc, contenant des hautes fréquences, peuvent être focalisées assez efficacement. La première application de la focalisation des ondes de choc a été la lithotripsie, qui est maintenant la méthode courante (85% des patients) de traitement des calculs rénaux, avec des millions de patients traités depuis le premier essai clinique en 1980 [23]. Au contraire, la focalisation d’une onde de choc en milieu extérieur est un enjeu environnemental important, en particulier dans le cas du bang sonique où la focalisation dans la phase d’accélération transsonique est une contrainte supplémentaire pour la conception d’un avion supersonique [14].

En théorie linéaire des ondes, la focalisation est décrite par la théorie des catastrophes [131, 10] classifiant les caustiques structurellement stables. Les deux caustiques les plus simples sont les caustiques « pli » décrivant par exemple l’arc-en ciel et la caustique cuspidée. Les formes locales de la diffraction de ces deux caustiques sont données en régime fréquentiel, respectivement par les fonctions d’Airy et de Pearcey. Notons que la focalisation ponctuelle n’est pas décrite par la théorie des catastrophes, étant structurellement instable. Cependant, les ondes de chocs sont des processus ondulatoires intrinsèquement non linéaires. Même pour les chocs de faibles amplitudes, il a été montré que les effets non linéaires jouent un rôle fondamental autour du point focal, en limitant l’amplitude totale du champ [55]. Cela a été étudié en détail, théoriquement, numériquement et expérimentalement en cuve à eau aux fréquences ultrasonores, pour les caustiques « pli » [83, 85] et les caustiques cuspidées [84]. Plusieurs études se sont intéressées à la focalisation ponctuelle d’ondes de choc, dans le cadre notamment des applications à la lithotripsie [4].

Depuis 2003, un nouveau type d’onde de choc est maintenant accessible à la mesure : les ondes de choc de cisaillement dans les solides mous [20]. En effet, pour la plupart des solides quasi-incompressibles, comme les tissus biologiques, les ordres de grandeur des paramètres élastiques relatifs à la compression sont de six ordres de grandeur (de l’ordre du GP a) plus élevés que ceux pour le cisaillement (de l’ordre du kP a). Ceci conduit à des différences de trois ordres de grandeur sur la vitesse des ondes de cisaillement comparée à celle des ondes de compression : cL est de l’ordre de 1500m/s pour un milieu majoritairement composé d’eau, et cT de l’ordre de quelques m/s. Cette différence de trois ordres de grandeur, a permis avec le développement des techniques d’imagerie échographique ultrarapides [70], la mesure de la propagation des ondes de cisaillement par le biais de celles de compression, un procédé à la base de l’élastographie ultrasonore [6, 8]. De plus, la faible vitesse de l’onde de cisaillement en fait un candidat idéal pour l’étude des ondes de choc : les effets non linéaires sont proportionnels au carré du nombre de Mach, lui-même inversement proportionnel à cT . En outre, les non-linéarités des ondes planes de cisaillement dans un milieu isotrope s’avèrent cubiques, au lieu de quadratiques pour les ondes de compression [77, 136, 79]. Cela conduit en particulier à l’existence de chocs aussi bien « positifs » que « négatifs » : le champ de vitesse juste avant le choc peut être aussi bien plus grand que plus petit que celui après le choc. Au contraire, seuls les chocs de compression sont thermodynamiquement admissibles pour les ondes de compression. Cette combinaison unique de nouveaux types d’ondes de choc, avec un comportement fondamental spécifique (non-linéarité cubique, nombre de Mach proche de 1), couplé avec les nouvelles techniques expérimentales d’imagerie ultrarapide, a mené aux premières observations expérimentales des ondes de choc planes de cisaillement par Catheline et al. [20]. Ce travail a été suivi par une série d’études i) modélisant les ondes de choc de cisaillement en mécanique des milieux continus [60, 137, 133], ii) mesurant les paramètres élastiques non linéaires [49, 117], iii) modélisant les réflexions non linéaire de Mach pour les ondes de choc de cisaillement [110]. Cependant, les observations expérimentales des ondes de choc de cisaillement sont restées rares [69] et, à notre connaissance, la focalisation des ondes de choc de cisaillement n’a jamais été étudiée. C’est cette observation théorique, numérique et expérimentale des chocs de cisaillement focalisés, qui constitue l’objectif du présent travail.

Une application potentielle : les lésions traumatiques cérébrales

Un enjeu de santé publique

Les lésions cérébrales liées à des traumatismes crâniens représentent un enjeu majeur de santé publique mondial. En Europe, entre 1980 et 2003, les lésions cérébrales traumatiques ayant mené à une hospitalisation concernent en moyenne 235 personnes sur 100.000, avec un taux de mortalité de 11% [127]. Des études récentes indiquent que, chaque année aux Etats-Unis, 1.1 million de personnes sont soignées aux urgences pour des traumatismes crâniens, 235.000 sont hospitalisées pour des lésions cérébrales non mortelles, et 50.000 cas de décès sont enregistrés [30]. Cependant, le nombre de traumatismes signalés ne pourrait représenter qu’une petite partie du total. Par exemple, jusqu’à 3,8 millions de traumatismes se produisent chaque année aux USA à l’occasion d’activités sportives [57]. En général, l’épidémiologie des traumatismes crâniens est un exercice difficile, le résultat dépendant fortement de la méthode choisie. Les résultats s’avèrent assez disparates suivant les lieux et les méthodes retenus. Les études, synthétisées dans la référence [127], se basent sur les différents symptômes référencés suivant les normes [105] :
— ICD-9 code 800-804 : fracture du crâne.
— ICD-9 code 850-854 : lésions intracrâniennes.

Si les traumatismes crâniens ont une prévalence aussi importante dans la population, cela vient de leurs causes. En effet, ils résultent majoritairement d’accidents de la vie courante [29, 87]. Les cas les plus graves sont dus aux accidents de la circulation (cf Tab. 1.1) tandis que pour les cas de plus faible gravité, les chutes et les activités sportives représentent un nombre équivalent (cf Tab. 1.2). Au niveau mondial, l’incidence des lésions traumatiques cérébrales est en forte augmentation, principalement en raison de l’utilisation croissante de véhicules motorisés [82]. Ces lésions représentent une proportion importante des décès résultant de traumatismes [95]. Chez les enfants et les jeunes adultes, elles sont responsables de 25% des incapacités de longues durées [25]. Etant donné cette prévalence chez les populations jeunes, ces lésions sont responsables d’un grand nombre des incapacités à long terme dans l’ensemble de la population, et ce dans des proportions plus importantes que n’importe quelle autre cause [82]. Ainsi, la prévalence des résidents des Etats-Unis avec des incapacités liées à ces lésions est de 3,2 millions [30].

Un phénomène complexe

L’étude des traumatismes crâniens est rendue difficile car les mécanismes des lésions cérébrales sont complexes, et peuvent induire des effets différents, sur les cellules du cerveau : dérèglement fonctionnel, modification de la pression osmotique, problèmes de perméabilité des parois, etc [52]. Cependant, ils se caractérisent tous par une charge mécanique sur la tête, donnant lieu à une déformation des tissus, qui crée ensuite une cascade neurochimique au niveau cellulaire [47, 96]. Ces voies de formation des lésions posent des difficultés d’analyse et de modélisation car elles mettent en jeu des échelles totalement différentes [28, 27, 90]. Ainsi, il existe des études se concentrant sur la modélisation du cerveau par la mécanique des milieux continus (avec une ou plusieurs phases), et des modèles prenant également en compte la chimie du cerveau. Si l’on ne prend en compte que les hypothèses mécaniques, les lésions cérébrales traumatiques peuvent ainsi être le résultat d’un mouvement du cerveau, tel que la compression, la tension ou le cisaillement dus à un impact direct sur la tête, ou à une accélération violente. La mesure de la dynamique du cerveau durant l’impact est une tâche compliquée. L’accélération de la tête pouvant être facilement obtenue avec des accéléromètres, les études des cinquante dernières années ont été principalement basées sur le seul mouvement global de la tête. Ainsi, les critères actuels de gravité des lésions reposent sur les accélérations mesurées lors de l’impact. Le mouvement est ensuite résumé par un indice appelé Head Injury Criterion (HIC) [101]. Les accélérations linéaire et rotationnelle sont parfois considérées séparément [118, 54]. Cependant, les contributions de ces différentes accélérations n’ont pas encore été établies [56].

Le point de vue mécanique

En considérant uniquement le problème du point de vue mécanique, la modélisation des lésions cérébrales peut s’effectuer sous plusieurs hypothèses, dépendant chacune de l’échelle considérée. En effet, le cerveau peut être vu comme une seule phase solide ou, au contraire, comme un milieu poro-élastique avec une phase liquide. Le modèle monophasique, le plus simple, est le plus souvent utilisé. Ainsi, les premières études biomécaniques ont cherché à caractériser expérimentalement le module complexe de cisaillement d’un cerveau de singe, dans le cadre d’un modèle visco-élastique incompressible en petites [42] puis en grandes [41] déformations. Par la suite, les caractérisations se sont concentrées sur le cerveau humain avec des études rhéologiques du cisaillement [124]. Elles travaillent souvent sur un petit échantillon du cerveau soumis à des déformations pour différentes fréquences et différents taux de déformation. Des tests rhéologiques sur des disques de cerveau, pour des fréquences inférieures à 20Hz, ont été réalisés par Bilston et al [11]. D’autres caractérisations avec parfois des modèles plus complexes, prenant par exemple en compte l’anisotropie du milieu, ont été effectuées. Ainsi, Arbogast et al ont présenté en 1998 un calcul du module de cisaillement complexe du tronc cérébral pour des fréquences de 20 à 200Hz, à des déformations de 2.5, 5 et 7.5% [1]. Ce type d’études peut aussi prendre en compte les non-linéarités du milieu comme avec les tests de cisaillement de 0.5 à 200Hz effectués par Darvish et al [35]. La synthèse de ces résultats montre une très grande disparité dans les propriétés mécaniques du cerveau [21], celles-ci pouvant dépendre de l’espèce étudiée, ou de l’âge de l’organe. Afin de passer outre ces difficultés, certains travaux essaient d’effectuer des études statistiques. Par exemple, Jin et al ont réalisé des tests de compression, tension et cisaillement sur 240 cerveaux humains (96 seulement dans le cas du cisaillement) à des taux de déformation différents [72].

Il faut cependant noter que les tests rhéologiques sont nécessairement effectués in vitro. Or, des études récentes ont montré que les différences entre les propriétés mécaniques in vivo, in situ (sur animal mort) et in vitro du cerveau sont possiblement différentes [93, 46]. Dans tous les cas, les expérimentations ont montré un comportement non linéaire pour le cisaillement [38, 67]. Les résultats ont été confirmés sur des cerveaux de porcs et d’humains adultes pour la compression, et mesurés pour le cisaillement (modèle viscoélastique non linéaire) [114]. Les différences de comportement mécanique entre in vivo et in vitro d’une part, et les difficultés à caractériser le cerveau en fonctionnement d’autre part, ont amené à ne plus seulement utiliser des méthodes de mesure in vitro mais aussi à développer des méthodes de caractérisation des tissus in vivo. De nos jours, les études mécaniques s’appuient de plus en plus sur des méthodes d’élastographie par résonance magnétique du cerveau. Cette méthode a été développée par Muthupillai et al en 1995 [99], et a rapidement été améliorée pour le cerveau [120, 53, 141]. Notons que toutes ces études ne donnent pas nécessairement des résultats concluants pour l’étude de la propagation des ondes de cisaillement non linéaires. En effet, les tests rhéologiques sont effectués sur des échantillons très petits, ne donnant pas lieu à une propagation d’ondes. De plus, les fréquences utilisées sont généralement inférieures à 200Hz, en-deçà des hautes fréquences présentes en cas de chocs. Dans les cas de l’élastographie par résonance magnétique, les déplacements utilisés sont très faibles et ne permettent ainsi que de mesurer les paramètres linéaires du milieu. Toutefois, des mesures des caractéristiques mécaniques pour les ondes de cisaillement dans le cerveau ont été effectuées très récemment au moyen de méthodes d’imagerie échographique à haute cadence [71]. Il y a cependant peu de recherches sur les déplacements dans le cerveau et leurs relations aux lésions. Les mesures précédentes de ces déplacements se faisaient en plaçant les cerveaux étudiés dans des gels optiquement transparents avec maillage et filmés avec une caméra ultra-rapide [86, 91], ou bien avec des marqueurs implantés ex vivo dont les mouvements étaient suivis par rayon X à haute cadence [61]. Plus récemment, l’imagerie par résonance magnétique a été également utilisée pour des mesures non invasives de faibles déplacements du cerveau [5, 26]. L’imagerie à résonance magnétique de la tête est complètement non invasive et utilisable pour l’imagerie in vivo du corps humain. Cependant, cette technique a une faible cadence d’imagerie. De plus, l’excitation de la tête (impact par exemple) doit être répétée pour chaque ligne d’acquisition. De plus grandes cadences d’imagerie sont donc nécessaires pour observer des événements rapides, dont les échelles de temps sont plus courtes que l’intervalle de temps entre deux acquisitions. Les études expérimentales les plus récentes concernent même des ondes de souffle. Ainsi, Shridharani et al. présentent en 2012 des expériences utilisant des tubes à choc [123] auxquels des porcs sont soumis, afin de vérifier l’impact et les effets des ondes de choc sur les cerveaux.

Dans le même temps, les études expérimentales sont couplées à des études numériques basées sur différents modèles du cerveau. Les méthodes numériques pour les modèles biomécaniques de la tête sont dominées par les méthodes d’éléments finis, celles-ci permettant de modéliser précisément et facilement les structures détaillées du crâne et du cerveau en supposant des modèles mécaniques plus ou moins complexes. Dans les premières études, les déformations de cisaillement étaient ainsi modélisées par des méthodes d’éléments finis dans le cadre de l’élasticité linéaire [125, 66]. Certaines modélisations de traumatismes crâniens ont ensuite été basées sur des modèles de viscoélasticité linéaire combinés à des approches en grandes déformations [139, 130], et d’autres sur des modèles hyperélastiques de milieu quasiincompressible en grandes déformations[104, 94]. Certaines études ont essayé d’inclure des phénomènes de viscoélasticité non linéaire [16]. Cependant, la plupart de ces modèles ne semblent pas prendre en compte la formation des ondes de choc de cisaillement, la plupart se restreignant aux non-linéarités géométriques dues aux grandes déformations dans le cas du cisaillement. L’étude de la formation d’ondes de choc de cisaillement dans le cerveau reste donc à entreprendre. En raison de la géométrie de la boîte crânienne, une propagation en ondes planes apparaît peu réaliste, et les effets de focalisation peuvent entrer en jeu. C’est dans cet objectif que la présente étude a été entreprise.

Table des matières

1. Introduction
1.1. Un type d’ondes non linéaires peu exploré
1.2. Une application potentielle : les lésions traumatiques cérébrales
1.2.1. Un enjeu de santé publique
1.2.2. Un phénomène complexe
1.2.3. Le point de vue mécanique
1.3. Plan de la thèse
2. Propagation des ondes de cisaillement non linéaires dans les solides incompressibles
2.1. Rappels de mécanique des milieux continus
2.1.1. Cinématique dans les solides
2.1.1.1. La représentation de Lagrange
2.1.1.2. Description des déformations
2.1.1.3. Changement d’échelle : du bilan global au bilan local
2.1.2. Lois de bilan en représentation de Lagrange
2.1.2.1. Conservation de la masse
2.1.2.2. Conservation de la quantité de mouvement
2.1.2.3. Conservation de l’énergie en variable d’Euler
2.1.2.4. Conservation de l’énergie en représentation de Lagrange
2.2. Elastodynamique
2.2.1. Loi de comportement d’un milieu élastique
2.2.2. Densité d’énergie interne en élasticité linéaire
2.2.3. Densité d’énergie interne en élasticité non linéaire
2.2.4. Densité d’énergie interne en élasticité non linéaire : cas d’un milieu isotrope
2.2.5. Cas d’un milieu incompressible
2.2.6. Contrainte de cisaillement en milieu incompressible
2.3. Équations des ondes non linéaires en milieu incompressible
2.3.1. L’équation de propagation pour une onde à polarisation linéaire transverse
2.3.2. L’approximation parabolique
2.3.3. L’équation de conservation non linéaire cubique
2.3.3.1. Cas des ondes planes
2.3.3.2. Solution de Poisson et distance de choc
2.3.3.3. Vitesse du choc
2.3.3.4. Condition d’entropie
2.3.3.5. Le problème de Riemann
2.3.4. Visco-élasticité dans les solides
2.3.4.1. Cas des petites déformations
2.3.4.2. Equation de Burgers modifiée
2.3.4.3. Corrections non linéaires
3. Numerical simulation of focused shock shear waves in soft solids and the brain
3.1. Theoretical and numerical model
3.2. Validation
3.2.1. 1D nonlinear case
3.2.2. 2D linear case
3.2.3. 2D nonlinear validation : Guiraud’s self-similarity law
3.3. Nonlinear focused shear waves in brain
3.3.1. Model configuration
3.3.2. Blunt impact
3.4. Conclusion
4. Propagation non linéaire des ondes planes de cisaillement et mesure des paramètres du gel
4.1. Protocole expérimental
4.1.1. Montage global
4.1.2. Le gel
4.1.3. Le système d’émission
4.1.3.1. La source
4.1.3.2. Effets de bord et de diffraction
4.1.3.3. Le pot vibrant
4.1.3.4. Limites du couplage
4.1.4. Système d’acquisition par imagerie ultra-rapide
4.1.5. Traitement des données
4.1.5.1. Estimation adaptative des déplacements
4.1.5.2. Moyennage du signal
4.1.5.3. Discussion sur le second harmonique
4.1.5.4. Elimination de la composante continue
4.2. Détermination des paramètres du gel
4.2.1. Dispersion
4.2.1.1. Méthode fréquentielle
4.2.1.2. Méthode temporelle de corrélation
4.2.2. Atténuation
4.2.2.1. Introduction
4.2.2.2. Méthode générale
4.2.2.3. Application
4.2.3. Coefficient non linéaire
4.2.3.1. Théorie : cas faiblement non linéaire
4.2.3.2. Observation des non-linéarités
4.3. Conclusion : comparaison des paramètres du gel
5. Conclusion

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