Fluctuations de fonctionnelles spectrales de grandes matrices aléatoires

Comportement global du spectre de grandes matrices aléatoires

   La théorie des grandes matrices aléatoires s’intéresse, entre autres, aux propriétés macroscopiques du spectre des matrices aléatoires, telles que le comportement asymptotique global du spectre, le comportement asymptotique des valeurs propres extrêmes, la loi jointe des valeurs propres, etc. Cette théorie a connu un grand succès dans différentes branches de la physique théorique et des mathématiques. Une des raisons du succès de la théorie des matrices aléatoires est sa propriété d’universalité: le comportement asymptotique du spectre est indépendant de la distribution initiale des entrées de la matrice aléatoire en question. Ce constat a été réalisé par Wigner en 1958 lorsqu’il a abordé l’étude spectrale des grandes matrices aléatoires pour résoudre des problèmes de la mécanique quantique. Wigner étudia le modèle dit du GUE (Gaussian Unitary Ensemble), et son théorème affirme que la limite du spectre des matrices GUE, quand la taille de la matrice, tends vers l’infini, est une loi déterministe (loi du demi-cercle). Ce résultat a été étendu par plusieurs mathématiciens pour d’autres modèles de matrices aléatoires. Citons entre autres modèles, les matrices de Wigner à entrées indépendantes non identiquement distribuées, les matrices de Wishart, les matrices de Gram (cf [53]). Le régime au bord du spectre corrobore ce constat d’universalité. En fait, Tracy et Widom ( [77], 2002) ainsi que Soshnikov ( [76], 1999) ont démontré, entre autres, que la convergence en distribution de la plus grande valeur propre d’une matrice de Wigner converge, en un certain sens, vers la loi de Tracy-Widom. Ces propriétés ont fait, entre autres, de la théorie des matrices aléatoires, aux yeux des mathématiciens et des physiciens, un outil prometteur pour la résolution des problèmes théoriques aussi bien que pratiques

Régime d’évanouissement lent: Slow fading environment

   L’évanouissement lent d’un canal est dû aux phénomènes de masquages et d’ombrage qui peuvent se présenter entre l’émetteur et le récepteur. Dans ce cas, le canal peut être considéré comme constant pendant la période d’utilisation. L’évaluation des performances des canaux MIMO se fait à travers l’étude de ses indices de performances tels que la capacité du canal de transmission, la probabilité de dépassement d’un seuil donné pour l’information mutuelle, le taux d’erreur en sortie d’un récepteur, le rapport signal sur bruit.. L’étude mathématique de ces indicateurs tire profil du fait que la plupart de ces indicateurs s’expriment comme des fonctionnelles spectrales de la matrice-canal.

Analyse mathématique de l’information mutuelle

   Telatar [80] et Foschini [22] sont les premiers qui ont considéré le scenario d’une matricecanal Yn aléatoire. Dans leurs travaux, le modèle étudié est celui de Rayleigh: une matricecanal d’entrées qui s’écrivent sous la forme Yn,k = αn,kexp(jθn,k), où (αn,k)n,k est une suite de variables aléatoires independantes (v.a.i.) suivant une loi de Rayleigh, et (θn,k)n,k est une suite de v.a.i. distribuées selon une loi uniforme, autrement, les entrées sont complexes i.i.d gaussiennes dont la partie réelle et la partie imaginaire de chaque entrée sont indépendantes centrées et de variance 1/2. Dans ce cas, il est possible de trouver une expression explicite de l’information mutuelle I(tn, rn|Yn) mais cette expression reste tout de même peu exploitable vu la difficulté de pouvoir en tirer des informations sur l’influence des paramètres du canal sur sa performance. Telatar [80] a donc procédé à la recherche des équivalents de cette statistique en espérant qu’ils soient plus facile à calculer et à interpréter. En faisant l’hypothèse que les trajets entre chaque antenne d’émission et de réception sont indépendants, Telatar a prouvé que la capacité théorique du canal MIMO croit linéairement avec le minimum des nombres d’antennes à l’émission ou à la reception. la figure 1.2 confirme le fait que la capacité augmente avec le nombre d’antennes pour des SNR croissants

Rapport Signal à Interférence plus Bruit

  Une des techniques multi-antennes permettant d’augmenter la capacité des systèmes de communications est l’accès multiple par division de codes CDMA (Code Division Multiple Access). La technique CDMA est un mode d’accès multiple dans lequel chaque usager est caractérisé par une séquence codée permettant de restituer le signal qu’il a émis ou celui qui lui est destiné. Le système (1.6) modélise cette technique en supposant que tn représente le vecteur des codes transmis. Le but dans un système CDMA est de pouvoir estimer les symboles transmis à partir du vecteur reçu. Un des estimateurs les plus populaires est l’estimateur linéaire de Wiener, ou encore l’estimateur LMMSE, pour Linear Minimum Mean Squared Error. Supposons qu’on cherche à estimer le premier symbol t1. L’estimateur LMMSE estime t¯1 = g∗r tel que le vecteur g est le vecteur minimisant la quantité: E|g∗r − t1|2. La performance de l’estimateur LMMSE est souvent évaluée en terme du Rapport Signal à Interference-PlusBruit (RSIB) mesuré à la sortie du récepteur.

Contribution analytique et numérique pour le taux d’erreur et la probabilité de dépassement

   La compréhension des fluctuations du SINR permet d’étudier le comportement d’autres indices de performances comme le taux d’erreur (BER pour Bit Error Rate) et la probabilité de dépassement (outage probability). IL a été prouvé que les fluctuations du SINR sont asymptotiquement gaussiennes. Cependant, cette approximation n’est pas efficace pour l’étude du BER et de la probabilité de dépassement vu que la loi normale permet des valeurs négatives. Li et al. [49] proposent une approximation par la loi Gamma généralisée. La loi Gamma généralisée étant positive et admet un moment d’ordre trois non nul, ce qui est important pour le calcul du BER et de l’ outage probability. Cette approximation se révèle pertinente même pour les systèmes de faibles dimensions. Dans notre travail présenté dans le chapitre (3), nous adoptons cette approche pour un modèle gaussien séparable. Nous calculons les trois premiers moments du SINR en utilisant des techniques basées sur la nature gaussienne des entrées de la matrice-canal.

Table des matières

1 Introduction 
1 Comportement global du spectre de grandes matrices aléatoires 
1.1 Résultats du premier ordre: Lois des Grands Nombres
1.2 Résultats de fluctuations: Théorème de la Limite Central (TLC)
2 Matrices aléatoires et communications numériques sans fil 
2.1 Information mutuelle dans un système multi-antennes
2.2 Modèles de Rayleigh
2.3 Modèles de Rice
2.4 Rapport Signal à Interférence plus Bruit
2.5 Taux d’Erreur et Probabilité de Dépassement
3 Contributions de la thèse 
3.1 Etude des fluctuations des formes quadratiques aléatoires
3.2 Contribution analytique et numérique pour le taux d’erreur et la probabilité de dépassement
3.3 Etude des fluctuations de la fonctionnelle spectrale logdet
4 Liste de publications 
2 Central Limit Theorem for quadratic forms
1 Introduction 
2 First Order Results: Deterministic Approximations of Random Quadratic Forms 
2.1 Mathematical tools
2.2 Deterministic approximations of random quadratic forms
3 Second Order Results: Central Limit Theorem for Quadratic Forms 
3.1 Preliminaries
3.2 The main results: Central Limit Theorem for quadratique forms
3.3 Proof of the main theorem
4 Applicative Contexts and Simulations 
4.1 Applicative contexts
4.2 Simulations and numerical results
3 Statistical Distribution of the SINR for the MMSE Receiver Correlated MIMO Channels 
1 Introduction
2 Bit Error Rate and Outage Probability approximations
2.1 Generalised Gamma distribution
2.2 BER approximation
2.3 Outage probability approximation
3 Asymptotic moments 
3.1 Assumptions
3.2 Asymptotic moments computation
4 Proof of the main theorem 
4.1 Notations
4.2 Mathematical Tools
4.2.1 Differentiation formulas
4.2.2 Integration by parts formula for Gaussian functionals
4.2.3 Poincaré-Nash inequality
4.2.4 Deterministic approximations and various estimations
5 Simulation results 
4 A CLT for Information-Theoretic Statistics of non-Centred Gram Random Matrices 
1 Introduction 
2 The Central Limit Theorem for In(ρ) 
3 Controls over the varaince Θ2n
3.1 Controls over Θ2n
3.2 Notations and classical results
3.3 Important estimates
4 Decomposition of In − EIn, Cumulant term in the variance 
4.1 Decomposition of In − EIn as a sum of increments of martingale
4.2 Further decomposition of In − EIn
4.3 Computation of the cumulant term of the variance
5 Identification of the variance as Θ2n
5.1 Study of the gaussian part of the variance
5 Appendices
Bibliography

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