Filtre de Kalman étendu grand gain adaptatif: application à une station d’épuration biologique

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Diagnostic des systèmes dynamiques

le diagnostic est un système d’aide à la décision qui permet de localiser les composants ou les organes défaillants d’un système et éventuellement de déterminer ses causes. En parcourant la littérature, on se rend compte immédiatement que la terminologie dans ce domaine n’est pas cohérente. De nombreuses définitions d’un même mot sont trouvées. Afin d’enlever toutes am-bigüités, le comité technique SAFEPROCESS de l’IFAC (International Federation of Automatic Control) ont essayé de standardiser cette terminologie. Un rappel de ces définitions est données dans l’annexe D.

Différents type de défaut

Un défaut est défini comme étant un écart non permis entre la valeur réelle d’une caractéristique du système et sa valeur nominale. Comme le montre la figue (2.1), trois types de défauts sont distingués: défaut actionneur, défaut capteur et défaut procédé (ou défaut composant).
Chacun de ces défauts ainsi que leurs influences sur le processus sont décrits brièvement dans le paragraphe ci-dessous.

Défauts composants

Les défauts composants sont des défauts qui affectent les composants du système lui même. Ce sont les défauts qui ne peuvent pas être classifiés ni parmi les défauts actionneurs ni parmi les défauts capteurs. Ce type de défaut provoque un changement de la dynamique du système suite à un changement de ces paramètres. La représentation mathématique des défauts composants est souvent difficile à déterminer et demande des essais expérimentaux extensifs. En général, ils se traduisent par un changement dans l’équation d’états. Ce changement peut être soit paramé-trique soit structurel/fonctionnel. Ces défauts induisent une instabilité de système.
Les défauts peuvent être classés selon leurs évolutions temporelles [Isermann et al., 2002]:
– Abrupt: ce type de défaut se caractérise par un comportement temporel discontinu. Cette évolution, si elle ne correspond pas aux évolutions dynamiques normales attendues pour la variable (changement de consigne), est caractéristique d’une panne brutale de l’élément en question: arrêt total ou partiel de connexion. Une représentation mathématique de ce défaut est donné par: − = > Où− 0 < est le comportement temporel du défaut et est un seuil constant.
– Intermittent: c’est un défaut caractéristique de faux contact ou de panne intermittente des capteurs. Ce type de défaut est un cas particulier de défaut abrupt avec la propriété particulière qu’il revient de façon aléatoire à sa valeur normale.
– Graduel: c’est un défaut caractéristique d’une usure d’une pièce ou d’un encrassement. Il est très difficile à être détecté à cause de son évolution temporelle qui peut être confon-due à une modification paramétrique lente représentant la non stationnarité du procédé. Son évolution au cours du temps peut être exprimée par cette relation : − = 1 − 0 ≥ < 12.

Méthodes à base de modèle

L’utilisation des modèles pour le diagnostic date du début des années 70. Depuis de nombreux travaux ont été proposés [Willsky, 1976 ; Chow et Willsky, 1984 ; Basseville, 1988 ; Patton et al., 1989 ; Gentil, 1997 ; Isermann et Balle, 1997 ; Fussel et Isermann, 1998]. Une étude com-plète sur les méthodes à base de modèles peut être trouvée dans l’article [Frank, 1996 (b)] ou des livres récents comme [Patan, 2008 ; Chiang et al., 2001]. Ces méthodes sont des alternatives de la redondance physique ou matérielle. La structure générale de la plupart de ces méthodes se fonde sur l’idée de la redondance analytique [Chow et Willsky, 1984]. Le principe des méthodes à base de modèles est d’identifier l’écart entre le système réel et son modèle. Ces méthodes s’appuient sur des modèles comportementaux explicites du système soumis au diagnostic. Ces modèles peuvent être classés en deux catégories quantitatives ou qualitatives. Les méthodes à base de modèles sont plus performantes que celles basées sur les traitements de données ou sur les approches relationnelles [Frank, 1998]:
– le coût de développement et de maintenance est faible,
– les symptômes et les défauts ne doivent pas être anticipés,
– il s’agit des connaissances de conception plutôt que d’exploitation,
– la connaissance du système est découplée de la connaissance de diagnostic,
– seule l’information du comportement normal est prise en compte.

méthodes quantitatives

Ces méthodes reposent sur les relations mathématiques qui existent entre les variables. Ces mo-dèles sont développés en utilisant les lois fondamentales de la physique (bilan de masse, d’énergie, de quantité de mouvement, ..) ou des relations de type entrée sortie. Selon Frank, les méthodes de diagnostic à base de modèles quantitatifs se décomposent en trois grands groupes [Frank, 1998]: les approches par espace de parité, les approches d’estimation paramétrique, et les approches d’estimation d’états.
– Espace de parité : l’objectif de cette méthode est la vérification de parité (la cohérence) des modèles du procédé avec les mesures issues des capteurs et des entrées connues (consignes, signal de commande,..). Les premières évocations et utilisations de l’approche par espace de parité ont été réalisées à partir des relations analytiques statiques [Evans, 1970 ; Potter et Suman, 1977 ; Daly et al., 1979]. Ces notions ont été ensuite généralisées par [Mironovski, 1980], puis par [Chow et Willsky, 1984]. Dans le cadre général, l’approche consiste à réali-ser une redondance analytique (en mode temporel ou fréquentiel) entre les entrées et les sorties du système et cela indépendamment des états du système. La matrice de parité est définie comme étant une matrice de projection de la matrice d’observabilité, ce qui revient à éliminer l’influence des états sur les résidus.
– Estimation paramétrique: Le principe de l’estimation paramétrique est d’estimer en continu les paramètres du système, en utilisant les mesures d’entrées et de sorties. Le résidu est alors la différence entre cette estimation et les valeurs de référence de l’état normal du pro-cédé. Les premières applications de cette approche ont été faites par [Isermann, 1984]. Cette technique a été appliquée pour la détection des défauts pour les systèmes non-linéaires [Isermann, 2006]. De nombreuses applications ont été réalisées dans le domaine de l’automobile [Constantinescu et al., 1995 ; Dinca et al., 1999], ou pour un modèle non-linéaire d’un satellite [Jiang et al, 2008].
– Estimation d’états: Le principe de base de diagnostic par observateur consiste à estimer la sortie du système à partir des connaissances de la commande (ou partie de la commande), et des mesures (ou partie des mesures). Le vecteur résidu est ainsi construit comme l’écart entre la sortie estimée et la sortie mesurée. Ces résidus doivent servir d’indicateurs fiables du comportement du processus.
Plusieurs techniques d’observations ont été appliques au diagnostic:
· Filtre de détection de défaut: cette méthode a été initiée par [Beard, 1971], puis a été formalisée par [Massoumnia, 1986] en 1986. L’objectif de cette approche est de cons-truire des espaces de détection associés à chacun des défauts. Différents travaux trai-tent les méthodes des filtres de détection, parmi elles, retenons les travaux (Edel-mayer et al. ,1996 ; Frank et al , 1999 ; Rank et Niemann., 1999; Zhong et al., 2003…) pour le diagnostic robuste.
· observateur de détection de défaut: plusieurs travaux ont été menés dans le cadre des systèmes linéaires: les observateurs à entrées inconnues vise à annuler l’erreur d’estimation d’une ou plusieurs combinaisons linéaires des états du système étudié, et ce, indépendamment de la présence d’entrées inconnues [Chen et al., 1996]. Une pre-mière utilisation des observateurs à entrées inconnues pour le diagnostic remonte à [Viswanadham et al., 1987]. [Magni et Mouyon, 1994] ainsi que [Staroswiecki et al., 1991] apportent des précisions sur la mise en place d’un observateur pour la détec-tion de défauts. Dans le cadre des systèmes non-linéaires: [Adjallah et al., 1993] ainsi que [Hammouri et al., 1999 (a) ; 1999 (b)] synthétisent des observateurs pour des systèmes non-linéaires. La détection de défaut à base d’observateur non-linéaire cons-titue l’objectif principal de cette thèse. Une brève description des méthodes de géné-ration des résidus par observateur pour des systèmes non-linéaires fera l’objet de la section (2.2.3).

Méthodes qualitatives

La communauté d’Intelligence Artificielle (IA) a proposé un raisonnement qualitatif (ou semi-qualitatif) basé sur l’établissement de relations causes à effets. En effet, le diagnostic est typi-quement un système causal puisqu’il consiste à établir des hypothèses sur les composants défail-lants qui sont l’origine du dysfonctionnement observé. Le raisonnement qualitatif exprime le lien entre un composant et les formules décrivant son comportement. Parmi les méthodes les plus utilisées, on peut citer:
– Les graphes causaux (ou graphes d’influence): ils déterminent les composants défectueux qui peuvent expliquer le fonctionnement anormal observé. Le diagnostic basé sur un graphe causal consiste à rechercher la variable source dont la déviation est suffisante pour expli- quer toutes les déviations détectées sur d’autres variables [Travé-Massuyès et al., 97]. Deux principaux types de structure causale sont proposés: le premier type lie la causalité aux équations décrivant le système (analyse globale) [Pons et Travé-Massuyès, 1997; Blanke et al., 2006] tandis que le deuxième axe lie la causalité à la structure du système (analyse lo-cale).
– La logique floue: la logique floue est une théorie mathématique introduite par [Zadeh, 1965], qui permet de tenir compte des incertitudes et permet une fusion des informations. L’idée de l’approche floue est de construire un dispositif, appelé système d’inférences floues, capable d’imiter les prises de décision d’un opérateur humain à partir des règles verbales traduisant ses connaissances relatives à un processus donné. Trouver une relation mathé-matique entre un défaut et ses symptômes s’avère souvent difficile. Cependant, en s’appuyant sur leur expérience, les opérateurs humains sont capables de déterminer l’élément défaillant
qui est à l’origine des symptômes observés. Ce type de savoir peut être exprimé à l’aide de règles de la forme : SI condition ALORS conclusion. Où la partie condition comporte les symptômes observés et la partie conclusion l’élément défaillant. Ainsi le problème de dia-gnostic est considéré comme un problème de classification. Le vecteur des symptômes du classificateur, élaboré à partir des grandeurs mesurées sur le système, peut être vu comme une forme, qu’il s’agit de classer parmi l’ensemble des formes correspondant à un fonction-nement normal ou non.

Analyses comparatives des méthodes de diagnostic

Comparer les méthodes de diagnostic est une tache très difficile. En effet, la décision de choix d’une méthode de détection de défaut dépend de plusieurs facteurs: connaissance à priori dispo-nible sur le système, présence ou non d’un modèle mathématique de processus à diagnostiquer, type de défauts à détecter, présence ou non d’entrées inconnues (bruit, incertitude), non-linéarité, système en boucle fermé ou ouvert…
Par exemple, pour les systèmes électriques et mécaniques, il est simple de concevoir un modèle mathématique. Le choix des méthodes de diagnostic à base de modèles sera préféré. Par contre, pour les processus industriels chimiques, la modélisation est difficile à mener car même si un modèle mathématique est obtenu, il est complexe. Dans ce cas, les méthodes de détection de défauts sans modèle de référence peuvent être appliquées. [Isermann, 2006] a proposé une étude comparative entre les méthodes de diagnostic par redondance analytique. Il est à signaler que de nombreuses méthodes sont nées du couplage de plusieurs stratégies de diagnostic dont le but est de combiner les avantages de chaque stratégie. Quelques approches combinées sont présentées dans [Isermann, 2006].
Dans notre cas, l’intérêt des méthodes utilisant des modèles mathématiques (section 2.2.2 (a)) est plus grand que celui n’en utilisant pas (section 2.2.2 (b)), et cela du fait de l’existence d’un modèle des stations d’épuration biologiques par boues activées (équation (3.9)). Parmi les mé-thodes de diagnostic à base de modèle mathématique: approche par estimation d’état et ap-proche par estimation paramétrique. Ces deux approches se complémentent et s’opposent à la fois. D’après ce qui précède, les méthodes d’estimation paramétrique donnent confiance aux données provenant des capteurs et d’actionneurs et met en défaut les paramètres du modèle. En revanche, pour les méthodes par estimation d’état les paramètres du modèle sont supposés cor-rects et les défauts sont dus aux capteurs et actionneurs. Ainsi le choix entre ces deux méthodes est difficile. Nous pouvons nous diriger vers une approche d’estimation d’état en supposant que les paramètres soient connus et que les défauts soient expliqués par un dérèglement des mesures des capteurs et actionneurs. Dans le cas contraire, nous nous dirigeons vers une approche par estimation paramétrique.
Les méthodes à base d’observateur et celles par espace de parité diffèrent dans la manière de générer des résidus. L’approche espace de parité est une méthode de génération de résidus di-recte, basée sur une élimination des inconnues à l’aide de la redondance. Par contre, la généra-tion est indirecte à l’aide de méthodes à base d’observateur basée sur le calcul de l’erreur d’estimation. [Frank, 1990] a prouvé sous certaines hypothèses l’équivalence entre l’espace de parité et les résidus utilisant des observateurs. L’approche par espace de parité, utilise une ma-trice, appelé matrice de parité. La difficulté principale de l’approche par espace de parité réside dans la recherche de la matrice de parité.
Après l’exposition des méthodes de diagnostic, nous retiendrons les méthodes de diagnostic à base de modèles quantitatifs et en particulier nous nous concentrons sur les méthodes à base d’observateurs.
Le tableau (2.1) propose une analyse comparative synthétique des approches de détection et de diagnostic que nous venons d’exposer.

Détection, localisation et identification des défauts à base d’observateur non-linéaire

Les systèmes ont en général un comportement non-linéaire. Une solution pour remédier à la complexité des outils de FDI aux systèmes non-linéaires est de se ramener au cas linéaire (en utilisant par exemple un modèle linéaire autour d’un point de fonctionnement) afin d’utiliser les méthodes de FDI linéaire qui sont bien maitrisées. Néanmoins, ce type de méthodes soulève des problèmes de généricité. En effet, considérons le cas où le générateur de résidus se base sur un modèle linéarisé autour d’un point de fonctionnement. Lorsque l’état s’écarte sensiblement de ce point de fonctionnement, des dérives importantes peuvent être observées, à cause de ce caractère non-linéaire du comportement [Maquin et al., 1997]. Le principal inconvénient de ces méthodes est qu’elles ne peuvent pas s’appliquer que sous des conditions très restrictives [Xu, 2002]. De plus elles peuvent augmenter les taux de fausses alarmes [Frank et Ding, 1997]. Ces limitations des techniques linéaires de diagnostic ont motivé les recherches des techniques de FDI non-linéaires représentant au mieux le comportement du processus. Parmi ces approches nous retien-drons celles qui se basent sur les modèles mathématiques puisqu’elles offrent un grand nombre d’informations sur le système. Comme indiqué dans le paragraphe 2.2.2 (b), parmi ces méthodes, on a l’estimation d’état, l’espace de parité et l’estimation des paramètres. Un intérêt particulier sera accordé aux méthodes à base d’observateurs.
Dans la section suivante, une étude bibliographique sur les méthodes de détection et de généra-tions des résidus à base d’observateurs non-linéaires est donnée. Ainsi une présentation des mé-thodes d’évaluation des résidus est évoquée par la suite.
Cette méthode de diagnostic est composée de trois fonctions de base: la génération des résidus, la détection, la localisation et éventuellement l’identification.

Caractéristiques souhaitables d’un système de diagnostic

A partir de la classification des méthodes de diagnostic du paragraphe (2.2.2) de ce chapitre, nous avons mis en avant qu’il est très difficile de comparer ces méthodes. Afin de définir une comparaison, il est utile d’identifier un ensemble de caractéristiques souhaitables qu’un système de diagnostic devrait avoir. Ainsi les différentes approches peuvent être évaluées à partir de cet ensemble commun de conditions.
– La rapidité de détection: c’est la capacité d’un système de diagnostic à détecter et à isoler rapidement une défaillance. La réponse rapide d’un système de diagnostic est de détecter les défauts difficiles à être détecter (graduels, intermittents). Détecter des défauts avant leurs complètes apparitions est très bénéfique pour la sureté de fonctionnement. Cepen-dant, le système de diagnostic sera sensible aux fausses alarmes.
– L’isolabilité: c’est la capacité de localisation d’origine du défaut. Le degré d’isolabilité est lié à la structure du système de diagnostic et aussi à la méthode de conception des rési-dus. Les incertitudes de modélisation et les perturbations limitent les caractéristiques d’isolabilité d’un système de diagnostic. C’est pour cette raison qu’il y a un compromis entre l’isolabilité et le rejet des incertitudes.
– L’identifiabilté d’un défaut: c’est la détermination du type et de la nature du défaut. Ob-tenir une bonne identification du défaut est difficile à réaliser à cause de la présence des perturbations et des incertitudes de modélisation.
– La robustesse: la robustesse peut être définie comme étant le rapport entre une sensibilité maximale vis-à-vis du défaut recherché et une sensibilité minimale vis-à-vis des autres perturbations (bruits de mesures, variations paramétriques, incertitudes de modélisa-tion…)
Une amélioration de la robustesse peut être réalisée par le choix approprié :
· de la méthode de génération des résidus qui dépend des défauts à détecter et des per-turbations,
· des fonctions de prise de décisions en fonction du type de résidus générés (structurés ou directionnels).
– L’adaptabilité: les conditions opérationnelles d’un système changent en raison des modifi-cations des entrées extérieures ou des modifications des conditions environnementales (changement de la qualité des matières premières). Par conséquent, un système de dia-gnostic s’adapte à ses changements dans le but de maintenir les performances de diagnos-tic.
– L’identification des défauts multiples: la capacité d’identifier des défauts et de classer cor-rectement les défauts multiples qui peuvent coexister dans un système. C’est un problème du à l’interaction de la plupart des défauts. Une autre raison est le nombre de combinai-sons différentes de défauts multiples à prendre en compte, ce qui engendre une combina-toire prohibitive pour de grands nombres de processus.
Donc nous pouvons récapituler que ses performances consistent à minimiser (retards à la détec-tion, taux de fausse alarme et de mauvaise détection, et le temps de calcul pour une utilisation en temps réel) et à maximiser (la sensibilité à des défauts graduels et l’insensibilité aux bruits et aux incertitudes sur les paramètres du modèle).
Il est clair que ces critères sont contradictoires, ainsi une optimisation simultanée de ces critères semble difficile. Les méthodes de détection doivent être choisies selon un compromis précisé dans un cahier de charge, en avantageant certains critères et en pénalisant d’autres.
Jusqu’à ce point, nous avons donné une description des méthodes de diagnostic. Aussi, nous nous sommes longuement arrêtés sur les méthodes de diagnostic à base de modèle et les différentes étapes suivies pour le diagnostic: la génération de résidu, la détection, la localisation et l’identification des défauts. À la fin de cette première partie, une présentation des performances des méthodes de diagnostic qui vise principalement à minimiser la sensibilité d’un système de diagnostic aux perturbations et aux incertitudes et à maximiser sa sensibilité aux défauts, a été donnée.
Nous allons maintenant étudier plus en détails l’observabilité des systèmes non linéaires.

Observabilité et observateurs grand gain

Bien qu’elles soient indispensables pour la description mathématique de la dynamique du sys-tème, il arrive souvent que certaines variables d’état ne soient pas accessibles à la mesure.
Pour des raisons techniques et économiques, ce problème est particulièrement prépondérant dans le domaine d’épuration des eaux usées où l’instrumentation des mesures est limitée par le manque de capteurs fiables et peu couteux.
L’accès en ligne de l’état du système constitue un élément essentiel pour la conduite automatisée, la commande ou encore le diagnostic des pannes. L’état du système est composé par un ensemble de variables décrivant l’évolution du processus. Ces variables décrivent généralement un compor-tement physique et peuvent inclure certains paramètres intervenant dans le modèle. Malheureu-sement, dans la plupart des procédés physiques seulement quelques mesures en ligne donnant une information sur l’évolution du système sont à la disposition de l’opérateur. Un des problèmes auxquels sont confrontés les industriels est le manque d’instrumentation en ligne. En particulier, les mesures courantes dans les stations d’épurations biologiques sont réalisées le plus souvent hors ligne et nécessitent des procédures d’analyse engendrant des retards importants.
Une alternative pour pallier à ces limitations consiste à développer des capteurs logiciels, ou en-core appelés observateurs d’état ou estimateurs en termes de l’automatique. Ces outils permet-tent de reconstruire une estimation des variables non mesurées ou des paramètres mal connus, à partir des mesures.

Table des matières

1. Introduction
1.1. Contexte de l’étude
1.2. Motivation
1.3. Objectifs de la thèse
1.4. Présentation du mémoire
2. Diagnostic et observabilité des systèmes non linéaires
2.1. Introduction
2.2. Diagnostic des systèmes dynamique
2.2.1. Différents types de défaut
a. Défauts capteurs
b. Défauts actionneurs
c. Défauts composants
2.2.2. Classification des méthodes de diagnostic
a. Méthodes sans modèle
b. Méthodes à base de modèle
c. Analyses comparatives des méthodes de diagnostic
2.2.3. Détection, localisation, et identification des défauts à base d’observateur non linéaire
a. Génération des résidus
b. La détection
c. La localisation
d. L’identification
2.2.4. Caractéristiques souhaitables d’un système de diagnostic
2.3. Observabilité et observateurs grand gain
2.3.1. Généralité sur les observateurs
2.3.2. Système en considération
2.3.3. Observabilité des systèmes non linéaires
2.3.4. Formes normales d’observabilité
a. Cas où ./ > .1
b. Cas où ./ ≤ .1
2.3.5. Formes normales Multi-entrées Mono-sortie
2.3.6. Observateur à grand gain
a. Observateur à grand gain de type Luenberger
b. Observateur de Kalman étendu grand gain
2.3.7. Observateurs à grand gain adaptatifs
a. Adaptation du gain pour les observateurs de type Luenberger
b. Filtre de Kalman adaptatif
c. Observateur proposé par Busvelle et Gauthier
2.4. Conclusion
3. Filtre de Kalman étendu grand gain adaptatif: application à une station d’épuration biologique
3.1. Introduction
3.2. Épuration des eaux usées
3.2.1. Les étapes principales du traitement des eaux usées
a. Le pré-traitement
b. Le traitement primaire
c. Le traitement secondaire
d. Le traitement tertiaire
3.2.2. Le traitement biologique par boues activées
a. Dégradation des polluants à l’échelle microscopique
b. Fonctionnement à l’échelle réelle
3.3. Modélisation des stations d’épuration biologique
3.3.1. Historique de modélisation des stations d’épuration à boues activées
3.3.2. Modèle de référence ASM1
3.3.3. Modèle réduit
a. Approche de simplification du modèle ASM1: revue bibliographique
b. Modèle réduit Benoit Chachuat
3.4. Implémentation et comparaison entre le FKE, l’OKE grand gain et le filtre de Kalman étendu grand gain adaptatif
3.4.1. Le filtre de Kalman étendu grand gain adaptatif
3.4.2. Système en considération Multi-entrées Multi-sorties
3.4.3. Simulations
a. Le filtre de Kalman étendu
b. OKE grand gain
c. Filtre de Kalman étendu adaptatif
d. Étude comparative entre les trois observateurs
3.5. Conclusion
4. Observabilité des entrées inconnues et reconstruction des défauts
4.1. Introduction
4.2. Méthodes de reconstruction et d’identification des défauts
4.2.1. Méthodes de [Yan et Edwards, 2007]
4.2.2. Méthode de [De Persis et Isidori, 2000 ; 2001]
4.2.3. Approche de [Hou et Patton, 1998]
4.3. Observabilité des entrées inconnues (identification des entrées inconnues)
4.3.1. Généralité
4.3.2. Définitions et systèmes en considération
4.4. Principaux résultats exprimés sous forme normale
4.5. Le cas générique 3-5
4.6. Choix de l’observateur à grand gain pour le cas des systèmes 3-5
4.6.1. Etude préliminaire
4.6.2. Observateur grand gain de Luenberger multi-sorties
4.7. Application et résultats de simulation
4.7.1. Défauts capteurs
4.7.2. Défauts actionneurs
4.8. Schémas de détection et isolation des défauts
4.8.1. Méthode de FDI par banc d’observateur de [Fragkoulis et al., 2011]
4.8.2. Méthode de FDI et résultats de simulation
a. Génération des résidus
b. Détection de défaut
c. Isolation des défauts
d. Résultats de simulation
4.9. Conclusion
5. Conclusion générale
5.1. Conclusion générale
5.2. Perspectives
Annexes
Annexe A. Éléments de mathématiques
Annexe B. Modèle ASM1 complet et réduit
Annexe C. La pollution des eaux
Annexe D. Terminologie
Références bibliographiques

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