Extension du cadre Arlequin au régime dynamique 

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Les méthodes multi-échelles classiques

Dans la littérature, on trouve plusieurs méthodes multi-échelles, dont l’application varie selon l’intérêt. Certaines méthodes ont prouvé plus d’efficacité que d’autres pour traiter des problèmes à plusieurs échelles en statique ou en dynamique. Ces méthodes peuvent être classées sous différentes catégories qu’on rappellera, les plus utilisées en mécanique des solides, en ce qui suit.
Pour des raisons de simplicité, et sans perte de généralité, le problème générique considéré consiste à déterminer l’équilibre d’une structure tridimensionnelle occupant l’adhérence de l’ouvert connexe cette structure est encastrée, tandis que sur une partie distincte x, elle subit l’action d’un champ de forces surfaciques Fd. En outre, elle est soumise sur tout son volume, à un champ de forces volumiques f v.

Méthodes multi-grilles

Historiquement, les premiers développements de ces méthodes ont été faits par Southwell [Sou35] et Brandt [Bra77] sur des systèmes linéaires elliptiques à une et deux dimensions.
Depuis, de nombreux travaux étudiants et améliorants les différents éléments des méthodes et leurs adaptabilités aux différents problèmes de la physique (équation de Poisson, Navier Stokes, …) ont été effectués. La littérature à ce sujet est très exhaustive et on peut se référer aux travaux [BM+00, DL00, Hem90, Ket82, McC82] pour plus de détails sur les méthodes multi-grilles et leurs applications.

Description et principe des méthodes multi-grilles

Après une discrétisation du problème linéaire (}loc stat) par la méthode des éléments finis, le système linéaire est mis sous une forme matricielle. Les méthodes multi-grilles reposent, principalement, sur une résolution itérative du problème linéaire introduisant un paramètre de relaxation. Soit h une triangulation du domaine par des éléments de taille h. L’approximation du déplacement sur les N point de la discrétisation h est noté Uh.
La résolution de l’équation 1.5 revient à résoudre le système1.4. La résolution du système 1.4 se fait moyennant des méthodes itératives. Le principe des méthodes multigrilles à deux niveaux pour la résolution du système linéaire se pose sur 2 grands principes :
1. La réduction des hautes fréquences de l’erreur par une méthode de relaxation, comme la méthode Jacobi à titre d’exemple, sur une grille fine à travers une décomposition en série de Fourrier et vérifiant une propriété de lissage. Cette propriété permet de réduire les hautes fréquences de l’erreur mais, elle a du mal à éliminer ses basses fréquences. La vérification de cette propriété de la méthode de relaxation se fait à travers une analyse de Fourrier.
2. La réduction des basses fréquences avec une correction par une grille grossière qui se fait, en première étape par résolution directe ou par une méthode de relaxation de l’équation 1.5 sur une grille grossière. Ensuite, la solution est interpolée sur la grille fine pour la solution fine. Cette étape est appelée « correction par grille grossière ».
La résolution présentée ci-dessus considère seulement deux grilles, mais il est possible de l’effectuer d’une manière récursive sur plusieurs grilles, en considérant à chaque fois la grille fine comme une grille grossière. L’augmentation de nombre de grilles permet de diminuer la taille du domaine fréquentiel correspondant aux hautes fréquences pour chaque résolution. Dans ce cas, un large choix de grilles peut être fait et il est croissant avec le nombre de grilles considérés comme le montre la figure 1.2. Plusieurs autres algorithmes de résolution multi-grilles plus complets et complexes peuvent être trouvées dans les travaux [TOS01].

Applications et critiques

Afin de couvrir un large rayon d’application, plusieurs algorithmes ont été développés depuis la création des méthodes multi-grilles. Hackbusch [Hac85] a détaillé dans son livre différentes applications des méthodes multi-grilles et succédé par plusieurs autres travaux qui ont étendu le champs d’application de ces méthodes pour des problèmes de la mécanique linéaires et non linéaires.
On distingue des méthodes multi-grilles géométriques et algébriques. Les premiers sont très faciles à mettre en oeuvres sur des maillages structurés. Lorsque le maillage devient non-structuré, il est difficile de définir une grille grossière. Dans ce cas, les méthodes multi-grilles dites « algébrique » sont utilisées où la grille grossière est définit au sens algébrique.
L’avantage des méthodes multi-grilles algébrique est qu’elle donne une résolution plus rapide, robuste et très effective pour des solveurs séparés. Cependant, elles sont plus coûteuses en termes de mémoire de stockage à cause de la définition des grilles grossières.
Les opérations de passage entre grilles engendrent des coûts supplémentaires et sont difficiles à paralléliser. De plus, des solveurs couplés ne sont pas bien adapté aux algorithmes multi-grilles algébriques.

Méthodes de raffinement de maillage adaptatif

Pour capter des phénomènes locaux qui apparaissent de manière quelconque au cours du temps, des méthodes vairées de raffinement de maillage ont été développées. Chacune de ces méthodes prouve son efficacité pour un problème bien spécifique. Donc, il convient de choisir la méthode la mieux adaptée au problème à traiter.
Plusieurs méthodes ont été développés dont on rappelle, brièvement, les plus utilisées :
1. Méthode p : Le même maillage est considéré, ayant un nombre de noeuds fixe.
Le raffinement, dans ce cas, est obtenu en augmentant l’ordre des fonctions d’interpolation des éléments finis dans la zone critique où une forte précision est requise. Cette solution a été développée par Basu [BP83] dans le cadre continue dans des écoulements fluides. Elle est très utilisée dans le cadre des éléments finis, mais reste difficile à utiliser dans la cadre discontinue à cause de l’instabilité des schémas d’ordre élevé (cf. [Bak97]).
La figure 1.3 montre la déformation apporté sur un maillage régulier par la méthode p.
3. Méthode h : Cette méthode consiste à fixer l’ordre du schéma, et varier le maillage et le nombre de noeuds au cours du temps. Des noeuds sont rajouté sur les zones considérés critiques et des noeuds sont éliminer sur les zones où le maillage est considéré très fin. Cette méthode est la plus utilisée dans la communauté scientifique.
Elle a été développée, d’abord, par Berger [BC89] pour des écoulements incompressibles. Elle a été employé pour traiter des problèmes de mécanique de la rupture [MM00] et la mécanique vibratoire [FDAG02] ou encore pour modéliser le comportement des matériaux élastoplastiques [HW00].
La figure 1.5 donne un exemple de raffinement par la méthode h d’un maillage initial structuré.
Une combinaison entre ces méthodes peut être faite pour avoir plus d’avantages. Ainsi, d’autres méthodes font apparition telles que la méthode hp [GB86] et la méthode rh [SZ92].

Méthodes de décomposition de domaine

La méthode de décomposition de domaine consiste à créer des sous domaines i dont l’union constitue le domaine
. Cette technique donne la possibilité de résoudre un système sur plusieurs processeurs. Ainsi, plusieurs possibilités de décompositions de domaine sont envisageables qu’on peut classer en deux grandes catégories : les méthodes sans recouvrement et les méthodes avec recouvrement.

Méthodes sans recouvrement

Les méthodes sans recouvrement sont fréquemment utilisées en Mécanique des milieux continus. Ces méthodes sont dérivées historiquement des travaux de Przemienieski en 1963 pour des calculs aéronautiques. Principalement, ils reposent sur la décomposition d’un domaine en deux sous-domaine 1 et 2 disjoints, voire plus, dont la liaison est assuré par l’interface S12, comme le montre la figure 1.6.
Figure 1.6 – Décomposition en 2 sous-domaine sans recouvrement
Le raccord entre les deux sous-domaine est assuré par une relation de continuité des efforts et des déplacement sur l’interface S12. Après formation du complément de Schur par rapport aux variables intérieures, un système portant sur les variables d’interface est résolu en premier lieu puis les inconnues intérieures sont déduites. La résolution du problème se fait moyennant une méthode de Schur primale, duale ou FETI.

Le cadre Arlequin

La méthode Arlequin est un cadre plus large des méthodes de décomposition de domaine par recouvrement avec une partition de l’unité. Elle a été développée, il y a une vingtaine d’années dans le laboratoire MSSMat par Hachmi BEN DHIA (cf. [Dhi98]).
Depuis, plusieurs travaux contribuant dans le développement de la méthode et ses applications pour traiter des problèmes industriels ont été réalisés. Dans cette section, on rappelle, synthétiquement, le cadre Arlequin dans sa généralité. A travers une formulation d’un problème Arlequin en statique, on souligne ses différents ingrédients faisant la base de la méthode. Finalement, on présente quelques applications des différents travaux réalisés, tout en appuyant sur sa grande flexibilité à traiter des problèmes multi-échelles et multi-modèles.

Généralité

Étant une méthode de couplage entre modèles/échelles, par des techniques de superposition, la méthode Arlequin s’applique sur des problèmes de la mécanique dont le domaine d’étude peut être partitionné en plusieurs sous-domaines à différentes représentations du matériau. La méthode consiste à mener des calculs multi-échelle, simultanés ou parallèles, en étant flexible et précis, avec un minimum de coût en temps machine. Elle repose, principalement, sur 3 étapes :
1. Superposer des modèles/échelles pour définir des zones de superposition des états mécaniques entre modèles.
2. Partitionner les énergies des modèles sur une zone de couplage afin d’éviter le dédoublement des énergies sur cette zone.
3. Couplage entre les modèles moyennant un opérateur de couplage.
Ces principes constituent la base opératoire du cadre Arlequin. Pour ce faire, il est important de définir les différentes zones de coexistence des modèles. La flexibilité de la méthode donne la possibilité de coupler des modèles non pas sur une interface, mais sur un volume de superposition, où les modèles peuvent se recouvrir partiellement ou totalement. Cette représentation multi-échelle distingue trois différentes opérations de modélisation couplage : la jonction, le zoom et la substitution. Ces opérations de couplage sont illustrés par des exemples de la littérature dans la sous-section 1.3.3.

Table des matières

Introduction 
1 Bref état de l’art en lien avec les thématiques de la thèse 
1.1 Introduction
1.2 Les méthodes multi-échelles classiques
1.2.1 Méthodes multi-grilles
1.2.1.1 Description et principe des méthodes multi-grilles
1.2.1.2 Applications et critiques
1.2.2 Méthodes de raffinement de maillage adaptatif
1.2.3 Méthodes de décomposition de domaine
1.2.3.1 Méthodes sans recouvrement
1.2.3.2 Méthodes avec recouvrement
1.3 Le cadre Arlequin
1.3.1 Généralité
1.3.2 Ingrédients du cadre Arlequin
1.3.2.1 La zone de superposition
1.3.2.2 La zone de couplage
1.3.2.3 L’espace médiateur
1.3.2.4 L’opérateur de couplage
1.3.2.5 Les fonction de partition des énergies
1.3.3 Applications diverses
1.3.3.1 La jonction
1.3.3.2 La substitution
1.3.3.3 Modélisation d’une fissure sur une plaque 2D
1.3.3.4 Endommagement et propagation d’une fissure en statique
1.3.3.5 Couplage multi-patch d’une aube de turbine multi-perforée
1.3.3.6 Le zoom
1.3.3.7 Couplage discret-continue
1.4 Formulations continues et discrètes du problème d’élastodynamique linéaire
1.4.1 Formulation locale du problème mono-modèle (}loc dyn)
1.4.2 Formulation dynamique faible primale continue du problème (}var dyn)
1.4.3 Discrétisation
1.4.3.1 Semi-discrétisation spatiale – Méthode Galarkin
1.4.3.2 Discrétisation du problème (}faible dyn ) par la méthode des différences finies
1.5 Méthodes numérique pour la mécanique de la rupture
1.5.1 Méthode des éléments finis
1.5.1.1 Méthode de déboutonnage des noeuds
1.5.1.2 Méthode de remaillage
1.5.2 Méthode des éléments de frontière
1.5.3 Méthode sans maillage
1.5.4 Méthode des éléments finis étendue (X-FEM)
1.5.4.1 Les fonctions de niveau
1.5.4.2 Discrétisation spatiale
1.6 Objectifs et positionnement de notre étude, apports et concepts fondamentaux
2 Extension du cadre Arlequin au régime dynamique 
2.1 Introduction
2.2 Formulation Arlequin du problème dynamique
2.2.1 Formulation Arlequin continue équivalente à (}var dyn) : (}arl dyn)
2.2.2 Semi-discrétisation par la MEF du problème (}Arl dyn)
2.2.3 Discrétisation par différences finies du problème (}Arl?sd dyn )
2.3 Choix des paramètres Arlequin en dynamique
2.3.1 Représentation monomodèle du cas test 1D
2.3.2 Représentation Arlequin bi-modèle
2.3.3 Choix de l’espace médiateur
2.3.3.1 Choix d’un espace médiateur fin : blocage des ondes HF
2.3.3.2 Choix d’espace médiateur grossier : entrée des ondes dans la zone de couplage
2.3.3.3 Traitement de la réflexion des ondes dans la zone de couplage
2.3.4 Influence des paramètres de partition des énergies dans la zone c
2.3.4.1 Fonctions constantes
2.3.4.2 Fonctions linéaires et cubiques
2.3.5 Coefficient d’amortissement
2.3.6 Influence de la compatibilité et l’incompatibilité des maillages
2.4 Application en 2D à une propagation simplifiée des ondes sismiques : couplage Gefdyn-Arlequin
2.4.1 Motivations
2.4.2 Description du modèle
2.4.3 tests et résultats numériques
2.5 Conclusion
3 Réduction de modèles de couplage 
3.1 Introduction
3.2 Réduction de l’opérateur de couplage
3.2.1 Forme générique de l’équation du couplage réduit
3.2.2 Appariement de modes propres
3.2.3 Appariement par proximité cinématique des modèles superposés
3.2.4 Couplage par appariement par projection
3.3 Réduction du couplage Arlequin en statique
3.3.1 Formulation continue du problème
3.3.2 Discrétisation du problème
3.3.3 Application numérique
3.3.3.1 Couplage par appariement
3.3.3.2 Couplage par minimisation de l’écart
3.3.3.3 Couplage par accommodation
3.3.3.4 Comparaison entre les 3 approches
3.4 Réduction du couplage Arlequin en dynamique
3.4.1 Formulation du problème
3.4.2 Analyse modale sur la zone de couplage
3.4.3 Adaptation de l’amortissement sélectif
3.4.4 Illustration numérique
3.4.4.1 Couplage par appariement
3.4.4.2 Couplage par minimisation de l’écart cinétique
3.4.4.3 Couplage par accommodation
3.4.4.4 Erreur de représentation modale
3.5 Conclusions
4 Rupture fragile en dynamique : une approche multi-échelle réduite 
4.1 Introduction
4.2 Problème de référence d’un solide fissuré
4.2.1 Formulation continue du problème monomodèle
4.2.2 Fissure fixe ( _a = 0)
4.2.3 Fissure en propagation ( _a 6= 0)
4.2.3.1 Critère énergétique : taux de restitution d’énergie G
4.2.3.2 Calcul de la vitesse de propagation
4.2.3.3 Les FICs en dynamique
4.2.3.4 L’intégrale d’interaction en dynamique
4.2.3.5 Critère global de propagation
4.3 Solide fissuré dans le cadre Arlequin
4.3.1 Modélisation du problème multi-échelle d’un solide fissuré
4.3.2 Formulation Arlequin continue du problème
4.3.3 Discrétisation du problème (}cra arl )
4.3.3.1 Formulation discrète du problème Arlequin avec XFEM
4.3.3.2 Considérations numériques de modélisation du patch initial
4.3.3.3 Calcul numérique du pas d’avance de la fissure
4.3.3.4 Remaillage du patch et projection des états
4.3.4 Algorithme de résolution
4.4 Applications numériques
4.4.1 Poutre fissurée en flexion 3 points : Mode I pur
4.4.1.1 Modélisation
4.4.1.2 Données numériques
4.4.1.3 Analyse des résultats
4.4.1.4 Influence de la géométrie du patch
4.4.1.5 Couplage Arlequin réduit
4.4.2 Modes mixtes
4.4.2.1 Description de l’expérience de Kalthoff et Winkler
4.4.2.2 Modélisation
4.4.2.3 Données numériques
4.4.2.4 Analyse des résultats
4.5 Conclusions
Conclusions et quelques perspectives 
Bibliographie 

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