Expression des racines d'une

Expression des racines d’une _equation

Le groupe symetrique Soit E un ensemble quelconque.

On munit l’ensemble S(E) des bijections de E sur E de la composition des applications. On sait que la composition est associative et que l’application identique est l’element neutre, comme toute bijection admet une bijection reciproque alors tout element de S(E) est inversible. Donc S(E) est un groupe pour la composition des applications qu’on appelle groupe sym_etrique de E. Dans la suite, on prend E := f1; 2; :::; ng et on note S(E) par Sn : un element de Sn sera dit une permutation. ou la premi_ere ligne repr_esente l’ensemble de depart, et la second ligne l’en- semble d’arrivee, les elements de la seconde ligne etant les images des elements de la premiere ligne par a

L’equation generale de n degre Denition 2.4.1.

On dira que les elements a1; a2; :::; an sont algebriquement ind_ependants sur Q si, et seulement si, ces elements ne satisfont aucune relation de la forme : a coecients non nuls ; on appellera equation generale de degre n sur Q. Il est bien connu depuis le 16eme siecle que l’on peut resoudre par radicaux des equations de degre 4. Par contre, selon un resultat celebre d’Abel, l’equation generale de degre n5 n’est pas resoluble par radicaux. Le probleme de sa resolution consiste a exprimer ses racines a l’aide d’operation rationnelles et de radicaux a partir du corps Q(a0; a1; :::; an

des fractions rationnelles a n ind_etermin_ees sur Q, qui est le plus petit corps contenant les coe_cients. On doit donc introduire la saturation par radicaux de ce corps, mais la dicult_e provient de ce que le corps Q(a0; a1; :::; an1) n’est plus sous- corps de C. On ne peut pas donc partir de ce grand fourre tout qu’est C pour ensuite le diminuer, il faut partir de ce que l’on a et l’augmenter. C’est pour quoi, au lieu de faire la theorie sur les sous-corps de C, on la fera sur un corps K arbitraire.

Demonstration les racines i du polyn^ome P s’expriment algebriquement en fonction des coefficient si, et seulement si, elles sont contenues dans une extension par radicaux successifs du corps engendre par les coecients de P. Equivaut de dire que le corps de rupture du polynôme P est contenu dans la saturation par radicaux du corps engendre par les coeffcients de P, c’est equivalent de dire qu’il existe une extension par radicaux successifs du corps engendre par les coeffcients, dans laquelle le polynôme est totalement factorisable.

Démonstration

Les racines multiples de P sont exactement les racines communes de P et de P0 , ce sont donc les racines du P.G.C.D de polyn^ome P et P0 . Or ce P.G.C.D n’aura pas de racine si, et seulement si, il est constant. D’ou l’equivalence : Le polynôme P n’a que des racines simples , P et P0 sont premiers entre eux. Exemple 3.3.1. On a l’equation de binôme Xn 1 = 0 sur un corps K arbitraire, le derive de Xn 1 = 0 est nXn1. Si n est non nul dans le corps K (le cas si K contient le corps Q ), alors 0 est seul racine de nXn1 et n’est pas racine de Xn 1.

Le polynôme Xn 1 n’aura alors que des racines simples, et il y aura bien n racines niemes de l’unit_e dans K. Si K contient Q, il y aura n racines niemes a tout element non nul x de K, ce qui signie que le symbole n p x represente exactement n element. Remarque 3.3.1. Un cas particulier est donne par un polyn^ome P irreductible sur K. Son derive P0 , s’il n’est pas nul, est de degre strictement inferieur a celui de P, de m^eme que tous ses diviseurs, donc aucun de ceux-ci ne peut diviser P : il en r_esulte que P et P0 sont premier entre eux, et P n’a que des racines simples. Reste le cas ou P0 est nul. Si le corps K contient Q, la nullit_e de P0 exige que P soit constant, et, comme il est non nul, il n’a pas de racine multiple.

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Table des matières

Introduction
1 Rappels
1.1 Groupe
1.2 Anneau
1.3 Id_eal
1.4 polyn^ome irr_eductible
1.5 Corps et sous-corps :
1.6 Extension
1.7 Le groupe sym_etrique
2 Expression des racines d’une _equation
2.1 _Equation alg_ebrique
2.2 R_esolution par radicaux
2.3 Ind_ependance alg_ebrique
2.4 L’_equation g_en_erale de n degr_e
3 Racines et corps de rupture 18
3.1 Corps de rupture d’un polyn^ome
3.2 Factorisation d’un polyn^ome
3.3 Racines multiples
4 Les fonctions sym_etriques
4.1 Polyn^omes sym_etriques _el_ementaires
4.2 R_esultant de deux polyn^omes
4.3 D_eterminant de Sylvester
4.4 Discriminant
Conclusion
Bibliographie