Évolution de la rotation des étoiles de type précoce au cours de la séquence principale 

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Une première clarification du débat

La difficulté principale lorsque l’on cherche à déterminer analytiquement la vi-tesse angulaire telle que la gravité totale à la surface de l’étoile est nulle, provient de la modélisation de l’accélération radiative, et en particulier celle du flux radiatif. Pour ce faire, Maeder (1999) se base sur le théorème de von Zeipel (1924), c’est-à-dire le flux radiatif à une latitude θ donnée est directement proportionnel à la gravité effective correspondante : F pθq9geff pθq. C’est l’assombrissement gravitationnel. Plus précisément, le flux radiatif s’écrit F “ χrT , (2.10)
où χ “ 4acT 3{p3κρq est la conductivité thermique radiative, a “ 4σ{c est la constante de densité de rayonnement, et σ est la constante de Stefan-Boltzmann. En considérant que l’étoile est barotrope, c’est-à-dire que P “ P pρq9P pT q, et en équilibre hydrosta-tique, il vient F “ ´ρχdP geff . dT (2.11).

Le modèle ω

Pour dériver leurs vitesses angulaires critiques, Maeder (1999) et Maeder & Mey-net (2000) se sont basés sur le théorème de von Zeipel (1924). Or, comme indiqué dans la section précédente, il n’est pas vérifié observationnellement. L’assombrisse-ment gravitationnel semble en réalité plus faible que ce que ne laisse entendre ce théorème. Il s’agit donc de déterminer une expression analytique du flux radiatif sans faire l’approximation que les variations horizontales des paramètres stellaires dues à la rotation sont de faible amplitude. Nous présentons ici le modèle ω de Espinosa Lara & Rieutord (2011) dont l’objet est la description analytique des variations latitudi-nales du flux radiatif. Ce modèle fait trois hypothèses : la distribution de la masse est représentée par le modèle de Roche, le flux radiatif et la gravité effective sont anti-parallèles, et la rotation différentielle latitudinale est négligée. La première hypothèse suppose que la masse de l’étoile est concentrée en son centre, ce qui est généralement une bonne approximation pour l’étude des étoiles massives dont l’enveloppe peut être modélisée par un polytrope d’indice n “ 3. La deuxième est vérifiée, même pour les étoiles proches de la rotation critique, à moins d’un demi-degré près par les modèles ESTER à 2D (Espinosa Lara & Rieutord, 2011). Ce non-alignement des isobares et isopycnes, même faible génère toutefois un couple barocline prP ˆ rρq{ρ2 suffisant pour induire un écoulement méridien du fait des forts gradients de densité et de pres-sion dans les intérieurs stellaires. La troisième est certainement la plus forte car la rotation différentielle en surface modifie la brillance du disque stellaire Delaa et al. (2013). Notons que le cas où la rotation différentielle à la surface de l’étoile est prise en compte a été étudié par Zorec et al. (2017). Dans ce cas, la distribution surfacique du flux radiatif fait cependant intervenir des paramètres libres. Supposons donc que le flux radiatif s’écrive F “ ´fpr, θqgeff , (2.27).
où fpr, θq est une fonction que l’on cherche à déterminer. Nous pouvons déjà remar-quer que ce modèle du flux radiatif, contrairement à celui de von Zeipel et à celui de Maeder (1999), permet au rapport F {geff de varier latitudinalement. Cette différence fondamentale aura une influence sur la dérivation de la vitesse angulaire à la limite ΩΓ. Dans l’enveloppe radiative d’une étoile massive où il n’y a aucune source de chaleur, la fonction fpr, θq est déterminée à partir de la conservation du flux radiatif r ¨ F “ 0 , (2.28).

Solution unique pour la vitesse angulaire critique

Nous avons remarqué que l’une des différences majeures entre le modèle de flux radiatif de Maeder (1999) et Maeder & Meynet (2000), et celui obtenu par le modèle ω est la divergence, ou non, du rapport F {geff . Nous montrons ici que celle-ci im-plique l’unicité de la vitesse angulaire critique, quelle que soit la valeur du paramètre d’Eddington Γ.
La composante radiale de la gravité effective à l’équateur peut être réécrite comme suit geff pπ{2q “ ´ReqΩK2p1 ´ ω2q , (2.46) et celle de l’accélération radiative à la surface de l’étoile et à l’équateur g π 2 κpπ{2qL ` 1 ´ ω2 ˘ ´2{3 g π 2 . (2.47) radp { q “ ´ 4πcGM eff p { q La gravité totale adimensionnée par ReqΩ2K s’écrit donc g˜totpπ{2q “ ω2 ` Γeqp1 ´ ω2q1{3 ´ 1 , (2.48).
où Γeq est le paramètre d’Eddington évalué à l’équateur. D’après l’équation (2.47), nous remarquons qu’à l’équateur, le rapport grad{geff croît comme p1 ´ω2q´2{3 lorsque ω augmente. Cela implique que si la gravité effective approche 0 quand ω approche l’unité, grad tendra aussi vers une valeur nulle, mais plus lentement que geff . Nous illustrons cet effet avec la figure 2.3 représentant la gravité totale équatoriale sans dimension, ainsi que ses deux composantes, en fonction du rapport des vitesses angu-laires ω pour Γeq “ 0.5. La gravité totale à l’équateur possède deux zéros, la première racine correspond à la solution ΓΩpπ{2q “ 1 et la seconde à geff pπ{2q “ 0. Pour des vitesses de rotation sous-critiques, c’est-à-dire pour gtot ă 0 (ou |geff | ą grad), l’étoile est gravitationnellement liée. À mesure que l’on augmente ω, la gravité effective et l’accélération radiative diminuent en valeur absolue et s’approchent de zéro. Cepen-dant, comme susmentionné, l’amplitude de grad décroît plus lentement que celle de geff jusqu’à ce qu’inévitablement |geff | “ grad, c’est à dire jusqu’à ce que ΓΩpπ{2q “ 1. Lorsque cette égalité est atteinte, la gravité totale à l’équateur est nulle, i.e. l’étoile est marginalement liée gravitationnellement, et la vitesse angulaire critique est atteinte. À ce stade, une augmentation supplémentaire de ω impliquerait que l’accélération radiative surpasse la gravité effective en valeur absolue, et donc une gravité totale positive dans la direction radiale. L’étoile ne serait donc plus gravitationnellement liée en s’approchant de la seconde solution ω “ 1 (ou geff “ 0). Bien sûr, ce régime n’est pas physique et la seule solution pour la limite ΩΓ lorsque l’augmentation de ω est pilotée par l’évolution séculaire de l’étoile est ΓΩpπ{2q “ 1.

Vitesse angulaire critique d’après le modèle ω

Contrairement au modèle pour le flux radiatif de Maeder (1999), le rapport F {geff est fonction de la latitude et diverge à l’équateur proche de la rotation képlérienne. Même dans le cas extrême où l’opacité serait contrôlée uniquement par la diffusion Thomson, la criticité serait donc nécessairement atteinte à l’équateur en premier, et de manière générale la dépendance latitudinale de l’opacité n’est donc pas importante pour déterminer la latitude critique. Considérons maintenant l’unique solution pour la criticité ΓΩ π 2 q “ κpπ{2qL 1 ´ Ωc2 ¸ ´2{3 “ 1 , (2.49).
c’est-à-dire b Ωc “ ΩK 1 ´ Γ3eq{2 . (2.50).
Cette dernière équation montre que la vitesse angulaire critique Ωc est égale à la vitesse angulaire képlérienne multipliée par un coefficient qui est d’autant plus grand que le paramètre d’Eddington équatorial est petit. Rappelons que Maeder & Meynet (2000) arrivent à une conclusion similaire lorsque le paramètre d’Eddington a est supérieur à 0.639 avec Ωc9ΩK 1 ´ Γeq. Remarquons aussi, que dans ces deux modèles Ωc » ΩK lorsque Γeq ! 1, c’est-à-dire que l’on vérifie que la limite pertinente lorsque l’accélération radiative est négligeable est la limite Ω.

En résumé

Avant de poursuivre, il est important de résumer certains résultats importants associés au modèle ω.
1. Les étoiles massives n’atteignent jamais la vitesse angulaire képlérienne. En effet, la solution pour laquelle la gravité effective et l’accélération radiative se compensent exactement est toujours atteinte avant que la gravité effective soit réduite à zéro, c’est-à-dire pour une vitesse angulaire plus faible que la vitesse angulaire képlérienne.
2. Cet équilibre entre accélération radiative et gravité effective est toujours atteint à l’équateur en premier, et ce à cause de la divergence du rapport F {geff proche de la vitesse angulaire képlerienne en cet endroit.
3. Le théorème de von Zeipel (1924) et sa revisite par Maeder (1999) résultent en une criticité dont la latitude est celle où l’opacité est maximale. Cette latitude n’est pas nécessairement l’équateur pour les étoiles en rotation rapide.
Nous avons émis, plus haut, quelques réserves quant à la validité des hypothèses de Maeder & Meynet (2000) concernant la limite ΩΓ et sa vitesse angulaire critique associée. Il semble donc logique de mettre, à son tour, le modèle ω à l’épreuve, et de discuter sa validité à la lumière des modèles ESTER à deux dimensions.

La limite ΩΓ avec les modèles 2D ESTER

Retour sur les observations interférometriques

Revenons rapidement sur les observations interférométriques d’étoiles en rota-tion. Nous avons vu précédemment que si l’on considère une loi de puissance entre le flux radiatif et la gravité effective F 9geff4β, alors le coefficient d’assombrissement gravitationnel β ď 1{4. De plus, plus la rotation de l’étoile est rapide (ou, de manière équivalente, plus son coefficient d’aplatissement est grand) et plus β est petit. Nous pouvons interpréter ces deux constatations comme étant le résultat de la divergence du rapport F {geff à l’équateur lorsque l’on s’approche de la criticité. En effet, plus la gravité effective est réduite par la rotation, moins le flux radiatif va l’être : si β ă 1{4, le rapport F {geff diverge proche de la criticité.

Précision du modèle ω

Rappelons les hypothèses à la base du modèle ω : le flux radiatif est considéré anti-parallèle à la gravité effective, la distribution de masse est approximée par le modèle de Roche, c’est-à-dire que l’on considère que la masse de l’étoile est concentrée en son centre, et la vitesse angulaire est prise uniforme latitudinalement.
Les modèles ESTER à deux dimensions ne font aucune de ces hypothèses, il est donc intéressant de leur comparer les prédictions du modèle ω afin de justifier, ou non, la validité relative de ses hypothèses. Une telle comparaison a déjà été réalisée de ma-nière qualitative par Espinosa Lara & Rieutord (2011), en particulier la comparaison de la distribution surfacique de la température effective ainsi que la relation entre température effective et gravité effective à la surface de modèles d’étoiles en rotation. Cette étude montre un bon accord entre les modèles ESTER et les prédictions du modèle ω, ainsi qu’une surestimation de l’assombrissement gravitationnel par la loi von Zeipel (voir Fig. 2.4). En ce qui nous concerne, nous nous concentrons sur l’écart relatif entre les deux prédictions pour le flux radiatif. Pour ce faire, nous résolvons  l’équation (2.27) et utilisons les sorties des modèles ESTER pour la luminosité de l’étoile, sa masse, sa vitesse angulaire, son rayon et sa gravité de surface. Dans un premier temps, nous considérons des modèles à la ZAMS de masses 15 et 40 Md, et mesurons la différence relative entre les flux δF “ |FESTER ´ F | , (2.51).

La limite ΩΓ avec les modèles 2D ESTER

Le modèle ω permet une modélisation des variations du flux radiatif sur la sur-face des étoiles massives en rotation. Cependant, le déterminer quantitativement re-quiert la connaissance des paramètres stellaires. C’est ici qu’interviennent les modèles ESTER à deux dimensions. Nous représentons dans un premier temps le paramètre d’Eddington local en fonction de la colatitude pour deux modèles ESTER à la ZAMS, l’un d’une étoile de 15 Md, l’autre de 40 Md, pour plusieurs valeurs de ω que nous re-définissons comme ω “ Ωeq{ΩK, et pour une métallicité solaire Z “ 0.02. Les résultats sont présentés en figure 2.6.
Concentrons nous, dans un premier temps, sur le modèle ESTER de 15 Md à la ZAMS. Il est intéressant de remarquer que lorsque l’on considère des modèles en rotation, le paramètre d’Eddington local tend à décroître avec la colatitude, et lorsque la rotation s’approche de la criticité, ce paramètre augmente brutalement dans la région équatoriale. La décroissance relativement modeste de ΓΩ provient de la dépendance de l’opacité vis-à-vis de la densité à la surface de l’étoile, qui elle diminue avec la colatitude. Quant à l’augmentation proche de l’équateur pour les rotations les plus rapides, elle est l’effet de la divergence de la fonction fpr “ 1, θq.
Cependant, le résultat le plus important est la valeur de ω nécessaire pour atteindre la solution ΓΩ “ 1. En effet, pour ce modèle ESTER de 15 Md à la ZAMS, la criticité requiert ω “ 0.997 soit une vitesse angulaire critique extrêmement proche de la vitesse angulaire képlérienne.
Nous avons vu que plus le paramètre d’Eddington à l’équateur est grand, c’est-à-dire plus l’accélération radiative à l’équateur est importante, et plus la différence entre vitesse angulaire critique et vitesse angulaire képlérienne est grande. Nous me-surons donc la vitesse angulaire critique d’un modèle d’étoile de 40 Md à la ZAMS dont la luminosité est bien supérieure à celle du modèle de 15 Md, et nous trouvons cette fois 96% de la vitesse angulaire képlérienne. Encore une fois, la vitesse angulaire critique est très proche de la vitesse angulaire képlérienne. Précisons tout de même que modéliser une étoile de 40 Md si proche de la rotation critique nécessite de s’ap-procher des limites actuelles du code ESTER en terme de résolution 2. Les résultats quantitatifs apportés par ce modèle sont donc moins précis que pour le modèle de 15 Md. Il indique toutefois une proximité entre Ωc et ΩK. Ainsi, le rôle de l’accéléra-tion radiative sur la vitesse angulaire critique semble infime. L’équation (2.50) nous permet de déduire directement la valeur du paramètre d’Eddington à l’équateur et à la criticité. Nous trouvons Γeq “ 0.033 pour le modèle de 15 Md et Γeq “ 0.18 pour celui de 40 Md. Notons que ce sont des valeurs extrêmement faibles pour des étoiles massives. En effet, nous voyons en Fig. 2.7 que le paramètre d’Eddington est fortement réduit en direction de l’équateur, en particulier pour les étoiles en rota-tion quasi-critique. Ainsi, parce que le coefficient d’assombrissement gravitationnel β est très inférieur à 1/4, la rotation rapide réduit l’opacité à l’équateur tel que le paramètre d’Eddington équatorial proche de la criticité, et donc l’écart entre vitesse angulaire critique et vitesse angulaire képlérienne, est très faible. Bien sûr, comme rappelé précédemment, l’opacité possède une valeur minimale dictée par la diffusion Thomson et ne peut donc pas être réduite à zéro par la rotation. Contrairement à la détermination de la latitude critique où l’opacité ne joue pratiquement aucun rôle (cf. Sect. 2.5.1), le rapport Ωc{ΩK en dépend quasi-exclusivement.
Nous pouvons tout de même nous demander si une étoile plus évoluée peut voir sa vitesse cinétique critique sensiblement réduite par la radiation. Pour cela, nous fai-sons évoluer deux modèles ESTER à 2D de 15 Md, l’un sans rotation l’autre avec une vitesse de rotation à la ZAMS ωi “ 0.5. Ici, l’évolution sur la séquence principale se fait sans considérer une quelconque perte de masse et/ou de moment cinétique (voir Sect. 5.1 et l’Annexe A pour plus de détails sur l’évolution temporelle avec ESTER).

Table des matières

1 Introduction 
2 Vitesse angulaire critique et limite
2.1 Définitions et introduction de la problématique
2.2 Une première clarification du débat
2.3 Quelques remarques
2.4 Le modèle
2.5 Vitesse angulaire critique et limite
2.5.1 Latitude critique : l’équateur
2.5.2 Solution unique pour la vitesse angulaire critique
2.5.3 Vitesse angulaire critique d’après le modèle !
2.5.4 En résumé
2.6 La limite
2.6.1 Retour sur les observations interférometriques
2.6.2 Précision du modèle !
2.6.3 La limite
2.7 Résumé
3 Vents radiatifs isotropes 
3.1 Bref historique
3.2 L’accélération radiative
3.2.1 Diffusion Thomson de la radiation sur les électrons libres
3.2.2 Diffusion sur les raies spectrales
3.2.3 La théorie de Sobolev
3.2.4 Paramétrisation de l’accélération radiative par CAK
3.3 Perte de masse globale à 1D
3.4 Correction du disque fini de l’étoile et du degré d’ionisation du vent
3.4.1 Correction du disque fini
3.4.2 Correction du degré d’ionisation du vent
3.5 La limite de bi-stabilité
3.6 Paramétrisation des paramètres et k
3.7 Résumé
4 Vents radiatifs anisotropes 
4.1 Dépendances latitudinales du flux de masse et de moment cinétique
4.2 Les effets de la rotation sur les taux de perte de masse et de moment cinétique
4.3 Observation du saut de bi-stabilité local
4.4 Le rôle de la métallicité
5 Évolution de la rotation des étoiles de type précoce au cours de la séquence principale 
5.1 Evolution temporelle et approximation quasistationnaire
5.2 Evolution à masse et moment cinétique constants
5.2.1 Evolution des paramètres stellaires de surface
5.2.2 Vitesse angulaire initiale minimale pour atteindre la rotation critique durant la séquence principale
5.3 Evolution avec pertes de masse et de moment cinétique
5.3.1 Vitesse angulaire à la limite
5.3.2 Perte de masse sans évolution nucléaire
5.3.3 L’exemple d’un modèle 2D de 15 Md avec !i 0:5
5.4 Résumé
6 Généralités sur les fluides en rotation 
6.1 Les équations du mouvement
6.2 L’écoulement géostrophique
6.3 Couches limites horizontales et circulation d’Ekman
6.3.1 Couche limite plane
6.3.2 Couche limite sphérique
6.4 Couches verticales de cisaillement
6.4.1 La couche d’épaisseur E1{3
6.4.2 La couche d’épaisseur E1{4
6.4.3 La couche d’épaisseur E2{7
6.5 Instabilités hydrodynamiques liées à la rotation
6.5.1 Instabilité de cisaillement
6.6 Stabilité des couches limites horizontales et verticales
6.6.1 Stabilité des couches d’Ekman
6.6.2 Stabilité des couches limites verticales
6.7 Résumé
7 Écoulement de spin-down généré par un vent radiatif 
7.1 Formulation générale
7.2 Méthode numérique
7.2.1 Méthodes pseudo-spectrales
7.2.2 Projection des équations sur la base des harmoniques sphériques
7.2.3 Schéma temporel
7.3 L’écoulement incompressible
7.3.1 L’écoulement transitoire
7.3.2 L’écoulement stationnaire
7.3.3 En résumé
7.4 Le rôle de la stratification thermique
7.4.1 Formulation du problème
7.4.2 Couches limites horizontales
7.4.3 Régime pertinent pour les étoiles massives
7.4.4 Régime de stratification asymptotiquement faible
7.4.5 Régime de stratification asymptotiquement forte
7.4.6 En résumé
7.5 L’écoulement dans une enveloppe polytropique
7.5.1 Formulation du problème
7.5.2 L’écoulement transitoire
7.5.3 L’écoulement stationnaire
7.5.4 En résumé
7.6 Transport d’un scalaire passif
7.7 Résumé
8 Conclusions et perspectives 
Annexes
Annexe A Le code ESTER 
A.1 Les équations à résoudre
A.2 Schéma temporel simplifié
A.3 Méthode numérique
A.3.1 Coordonnées sphéroïdales
A.3.2 Algorithme de Newton
A.3.3 Contrôle qualité
Annexe B Les instabilités centrifuges et baroclines 
B.1 Instabilité centrifuge
B.2 Instabilité barocline
B.2.1 Instabilité de Solberg-Høiland
B.2.2 Instabilité GSF
B.2.3 Instabilité ABCD
Annexe C Tests de convergence et de dissipation 
C.1 Test de convergence
C.2 Test de dissipation
Annexe D L’écoulement de Taylor-Couette sphérique 
Annexe E Approximation linéaire 
E.1 Condition de validité
E.2 Application aux étoiles massives
Annexe F Force d’Euler 
Annexe G Analyse de la couche limite d’Ekman 
Annexe H Formulaire 
H.1 Les harmoniques sphériques
H.1.1 Relations de composition
H.1.2 Opérateurs vectoriels
H.1.3 Autres relations utiles
H.2 Transformations de Legendre
H.3 L’approximation de Tchebyshev
H.3.1 Les polynômes de Tchebyshev
H.3.2 Transformation de Tchebyshev
H.3.3 Quelques opérations
Publications 
Références 

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