Soutenance mémoire
Études des ondes sismiques fondées sur l’homogénéisation
Dans le domaine de la propagation des ondes élastiques, cette technique est initialisée par [Backus, 1962] pour le modèle laminaire composé des couches minces. L’idée principale de cette approximation de Backus consiste à [voir Berryman, 1998, par exemple pour les couches isotropes] réarranger la relation élastique contrainte-déformation (l’équation (2.1) ultérieurement exprimée) sous une forme particulière où les variables quasi-statiquement constantes (à savoir σ13, σ23, σ33, ∈11, ∈22 et ∈12 sont constants en raison de la continuité entre les couches) sont isolées puis d’évaluer les moyennes de nouveaux coefficients. L’homogénéisation peut être appliquée au préalable, puis une méthode d’optique géométrique permet de prédire la propagation des ondes. Il convient de noter que dans cette méthode, le milieu effectif devient anisotrope. Des illustrations pour ce cas de figure peuvent être trouvées dans les travaux de [Backus, 1962, Berryman, 1979, Thomsen, 1993, Berryman, 1998, Chang and Gardner, 1997] où un modèle laminaire des couches minces isotropes ou anisotropes peut être remplacé par un milieu effectif isotrope transverse homogène.
Études des ondes sismiques fondées sur la théorie de la diffraction simple
Pour des perturbations des vitesses et de la densité volumique de masse suffisamment faibles, la plupart de l’énergie diffractée arrive au point d’observation après avoir subi un seul évènement de diffraction. Le champ d’onde peut être adéquatement modélisé par l’approche de diffraction simple, connue dans la littérature sous le nom de l’approximation de Born ou bien de la théorie de Chernov. Une hypothèse forte et fondamentale de cette approche est que malgré leur passage à travers les zones de perturbation, les ondes directes sont inchangées. Le champ total, qui est la somme des ondes directes et des ondes diffractées, est par conséquent d’énergie supérieure à l’énergie émise à la source. Cette approximation est donc seulement valide quand l’énergie des ondes diffractées est petite devant celles des ondes principales. Les éléments bibliographiques concernant la théorie de la diffraction simple peuvent être trouvés dans [Wu, 1985, Sato and Fehler, 1998, Shearer, 2007].
La théorie de la diffraction simple peut fournir la puissance moyenne des ondes diffractées en fonction du type d’onde (i.e., P ou S), de la puissance de l’onde incidente, de l’hétérogénéité locale et de la fréquence. L’application la plus importante de cette théorie est proposée par [Aki and Chouet, 1975] pour prédire le taux de décroissance de la coda des séismes locaux.
L’approximation par diffraction simple est également fondamentale dans plusieurs études de la géophysique interne (de la Terre profonde) en termes de modèle de diffraction par des hétérogénéités aléatoires. Ces études regroupent l’interprétation du précurseur ou de la coda des observation de différentes phases sismiques comme les précurseurs de la réflexion PKP [Haddon and Cleary, 1974, Doornbos, 1976, par exemple], de la réflexion PP [King et al., 1975] et de la réflexion P’P’ [Vinnik, 1981] ou bien des codas de la phase Pdif f [Earle and Shearer, 2001] ou de la réflexion PKiKP [Vidale and Earle, 2000]. L’approximation de Born est également utilisée comme modèle de prédiction de la variation du temps de parcours des ondes balistiques traversant les zones à vitesse aléatoirement perturbée [voir Spetzler and Sneider, 2001, Baig et al., 2003, par exemple].
Études des ondes sismiques fondées sur la théorie de la diffraction multiple
Quand l’énergie du champ d’ondes diffractées représente une partie importante du champ d’onde totale, les imprécisions faites par l’approximation de Born deviennent intolérables. Une approche plus adéquate est nécessaire pour prendre en compte la réduction de l’énergie des ondes balistiques due à de multiples événements de diffraction dans le parcours d’onde. Des études bibliographiques assez complètes de la diffraction multiple lors de la modélisation ou de l’interprétation des ondes sismiques peuvent être trouvées dans [Herraiz and Espinosa, 1987, Sato and Fehler, 1998, Shearer, 2007]. Les premières idées [Kopnichev, 1977, Gao et al., 1983] pour la diffraction multiple consistent naturellement à considérer consécutivement les résultats de la diffraction simple. Cependant, la plupart des études actuelles pour synthétiser le phénomène de diffraction multiple des ondes sismiques sont fondées sur la théorie du transfert radiatif [Wu, 1985, Wu and Aki, 1988, Weaver, 1990, Margerin et al., 1998, Sato and Nishino, 2002] et son approximation par l’équation de diffusion [Kopnichev, 1977, Ryzhik et al., 1996, Turner, 1998, Margerin et al., 2000, Shapiro et al., 2000].
Diffraction multiple sans considération de la conversion des modes
Les premières applications de la méthode de marches aléatoires pour les ondes sismiques ne tiennent pas compte de la conversion entre les modes d’onde (i.e., P et S), elles suivent la procédure appliquée pour les ondes acoustiques [Gusev and Abubakirov, 1987]. Il s’agit consécutivement de l’étude de Abubakirov and Gusev [1990] pour les codas de l’onde S dans les évènements sismiques enregistrés à Kamchatka, des études de Hoshiba [1994, 1997] pour les ondes SH avec considération de la variation du niveau de diffraction en fonction de la profondeur, de l’étude de Margerin et al. [1998] pour la diffraction de l’onde S dans un modèle d’une couche sur un demi-espace et enfin de l’étude de Bal and Moscoso [2000] avec prise en compte de la polarisation des ondes S concluant par contre à la dépolarisation de ces dernières sous la diffraction multiple. En particulier, il convient de rappeler ici les résultats fournis par les simulations bidimensionnelles effectuées dans [Margerin et al., 1998]. Dans ce travail, la couche lithosphérique est modélisée comme une couche diffractante d’épaisseur H (limitée par la discontinuité de Moho) et les parties inférieures de la Terre sont modélisées comme un demi-espace homogène .
Les auteurs retrouvent le régime de diffusion avec la stabilisation de l’énergie à la valeur théorique. Cette procédure est réutilisée plus tard dans [Margerin and Nolet, 2003a,b] pour modéliser la propagation et la diffraction multiple des ondes sismiques dans la Terre profonde. Un modèle similaire est proposé dans [Shearer and Earle, 2004] prenant en compte les contrastes aux niveaux de la surface libre, du Moho, des interfaces CMB et ICB ainsi que la variabilité spatiale à travers des structures de corrélation de type exponentiel pour différentes probabilités de diffraction. En ce qui concerne les observation réelles, Shapiro et al. [2000] proposent d’évaluer les densités d’énergie par le biais de la séparation des mouvements irrotationnels et rotationnels respectivement pour les ondes P et S . Les opérateurs Div et Curl sont en fait estimés à partir des données fournies par un réseau de capteurs sismiques installé sur un site à Mexico [voir Shapiro et al., 2000, Margerin et al., 2000, Trégourès et al., 2002, pour plus de détails]. Ces auteurs observent également la stabilisation du rapport d’énergie mais à une valeur différente de celle prédite par l’expression . Selon eux, d’une part cette différence est due à la présence de la surface libre et d’autre part l’important est la stabilisation elle-même et non la valeur à laquelle ce rapport se stabilise. Ils concluent ainsi que le régime de diffusion est observé dans ce cas réel de Mexico lors de différents séismes.
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Table des matières
Introduction
1 Approches phénoménologiques
1.1 Facteurs caractéristiques d’échelle
1.2 Études des ondes sismiques fondées sur l’homogénéisation
1.3 Études des ondes sismiques fondées sur la théorie de la diffraction simple
1.4 Études des ondes sismiques fondées sur la théorie de la diffraction multiple
1.4.1 Diffraction multiple sans considération de la conversion des modes
1.4.2 Diffraction multiple avec conversion de modes
1.5 Bilan du chapitre
2 Tenseur d’élasticité et la propagation d’ondes
2.1 Tenseur d’élasticité
2.1.1 Forme matricielle du tenseur d’élasticité
2.1.2 Quantification de l’anisotropie
2.2 Ondes en milieu anisotrope homogène
2.2.1 Comportement élastodynamique linéaire
2.2.2 Visualisation des modes propres d’onde volumique
2.2.3 Effets de l’anisotropie sur le comportement élastodynamique d’un espace homogène infini
2.2.4 Illustration des modes d’onde volumique par type de symétrie
2.3 Onde de Rayleigh dans des milieux anisotropes
2.3.1 Cas des matériaux isotropes
2.3.2 Cas des matériaux anisotropes
2.3.2.1 Formulation de Stroh
2.3.2.2 Onde de Rayleigh et Impédance acoustique à la surface
2.3.3 Illustration des ondes de surface
2.4 Bilan du chapitre
3 Modélisation de champs stochastiques des propriétés élastiques
3.1 Tenseur d’élasticité aléatoire à niveau d’anisotropie contrôlable
3.1.1 Éléments mathématiques sur le tenseur d’élasticité C
3.1.2 Introduction de l’incertitude dans le tenseur d’élasticité C
3.1.2.1 Principe du maximum d’entropie. Modèle de Soize pour les matrices définies-positives
3.1.2.1.a Entropie probabiliste
3.1.2.1.b Maximum d’entropie pour les matrices définies-positives
3.1.2.2 Construction de la loi de probabilité de C par l’approche de maximisation d’entropie
3.1.2.3 Noyau G : Loi de distribution et schéma de mise en oeuvre
3.1.2.4 Modules d’élasticité : Loi de distribution et schéma de mise en oeuvre
3.1.2.5 Propriétés de la variable C
3.2 Champ stochastique de tenseur d’élasticité
3.2.1 Processus stochastique d’une variable scalaire
3.2.1.1 Processus stochastique : Notions de bases et structure de corrélation
3.2.1.1.a Notions de bases
3.2.1.1.b Structure de corrélation
3.2.1.2 Simulation par représentation spectrale de processus stochastiques stationnaires, Gaussiens et univariables
3.2.2 Extension à la simulation de champ stochastique tridimensionnel multivariable : champ du tenseur C(x; δ, δG; ℓ)
3.2.2.1 Simulation
3.2.2.2 Propriétés du champ {C(x; δ, δG; ℓ) | x ∈ Ω}
3.3 Formulation variationnelle stochastique
3.3.1 Modèle déterministe en élasto-visco-dynamique
3.3.2 Modèle stochastique en élasto-visco-dynamique
3.4 Bilan du chapitre
4 Simulations numériques
Conclusion
