Etude spectrale d’une transformation linéaire par morceaux avec deux paramètres

Bifurcation

Un des problèmes fondamentaux pratiques de la dynamique non linéaire est l’étude des bifurcations dans l’espace des paramètres. Une bifurcation correspond à un changement qualitatif du comportement du système quand le paramètre Φ traverse une valeur critique Φb . Une bifurcation peut correspondre à l’apparition ou la disparition de nouvelles singularités, un changement dans la stabilité du système ou dans la forme d’un attracteur chaotique.
La Figure 1.6(a) illustre le comportement des orbites de la logistique en variant le paramètre β entre (0, 4). Ce diagramme de bifurcation est généré par ordinateur en répétant la procédure suivante : – Choisir une valeur de β en commençant par β = 0. – Choisir x 0 au hasard dans (0, 1). – Calculer l’orbite L(x0 ). – Ignorer les 100 premières itérations et tracerl’orbite commençant par l’itération 101. -Incrémenter β .
Après 100 itérations, les points tracés convergent vers un point fixe ou un cycle d’ordre-n ou un attracteur étrange. Le diagramme de bifurcation nous permet de voir la naissance, l’évolution et la disparition des points d’attractions .

Caractérisation des solutions d’un système dynamique discret

Certains systèmes dynamiques sont très sensibles aux petites variations de leur condition initiale. Ces variations peuvent rapidement prendre d’énormes proportions.
Le mathématicien russe Alexander Lyapunov a introduit une quantité permettant de mesurer la vitesse à laquelle ces petites variations peuvent s’amplifier. Cette quantité appelée « exposant de Lyapunov » mesure le degré de sensibilité d’un systèmedynamique. Plus formellement, nous disons que l’orbite x(n, x 0 ) est sensible aux variations des conditions initiales s’il existe d > 0 telle que toute la région N∆ (x0) contient un point x vérifiant |Fk(x) − F k (x 0 )| ≥ d pour tout k ∈ N. Une façon pratique et opérationnelle pour vérifier la sensibilité  aux conditions initiales des orbitesse fait par la détermination de l’exposant de Lyapunov λ. L’exposant de Lyapunov mesure la vitesse moyenne de divergence entre deux orbites proches. Comme dansl’évaluation de la stabilité des orbites périodiques, le calcul de h se fait via (1.6). Si la limite existe, le nombre de Lyapunov est défini par :

Densité de probabilité invariante d’une transformation chaotique

Une autre notion qui peut être utilisée pour caractériser les signaux chaotiques est la densité de probabilité. Puisque les signaux chaotiques sont caractérisés par la SCI, on ne peut pas prédire le signal après une courte période de temps [19]. Ainsi, dans les systèmes pratiques, il est intéressant de considérer ces signaux comme aléatoires [24,25]. Pour cela, il est extrêmement utile de connaître la probabilité de visite de chaque intervalle, c.à.d. la densité invariante du signal dans l’intervalle U .
L’orbite chaotique d’une transformation quelconque, avec des conditions initiales différentes, donne des comportements distincts dans le domaine temporel. D’autre part, les points qui composent chaque trajectoire sont distribués à peu près de la même manière dans le domaine U [24]. La densité invariante peut être construite en simulant plusieurs histogrammes avec différentes conditions initiales et ensuite enfaisant la moyenne de plusieurs orbites.

Analyse spectrale

Les recherches de Pecora et Carroll sur la synchronisation chaotique ont été le point de départ pour les applications de la synchronisation dans le domaine des télécommunications [26]. Grâce à ces recherches, beaucoup d’applications possibles ont vu le jour dans la modélisation analogique et la codification numérique, la cryptographie et plusieurs autres applications qui sont citées dans les références [12–14].
Un exemple intéressant d’application pratique de signaux chaotiques dans le domaine des télécommunications est l’étalement de spectre à séquence directe (DS-SS).
Puisque les signaux sont à large bande et dépendent de la sensibilité aux conditions initiales, il est possible de générer des séquences infinies avec une faible intercorrélation qui peut être maîtriséedans les systèmes conventionnels pour certaines situations.
Un facteur fondamental doit être connu pour la conception des systèmes de communication, c’est le spectre des signaux utilisés et en particulier la bande passante occupé. Avec le grand nombre de systèmes sans fil actuellement utilisés, la disponibilité des fréquences de transmission et réception devient de plus en plus rare pour les communications sans fil. En particulier, des limites liées à la bande passante dusignal existent.
Malgré la grande quantité de travaux publiés, il y a peu d’études concernant les caractéristiques spectrales des signaux chaotiques. La densité spectrale de puissance des signaux chaotiques est illustrée graphiquement dans quelques travaux, mais il n’y a pas d’études détaillées systématiques. Par exemple, l’article [28] présente la densité spectrale de puissance des signaux chaotiques à temps continu, généré pardes circuits électriques du troisième ordre, vu à travers un analyseur de spectre.
La même étude est donnée dans [29] pour des signaux générés par des circuits électriques du quatrième ordre. Dans [30] on observe des diagrammes de DSP de signaux modulés en temps continu en utilisant des signaux chaotiques. Dans [31] des signaux chaotiques sont utilisés comme séquences chaotiques d’étalement par la technique DS-SS. Dans [14] la DSP des signaux chaotiques est étudiée en utilisant la DS-SS pour des signaux à temps discret. Dans [32], les auteurs présentent sous forme de graphiques la DSP des signaux modulés à l’aide de chaos qui sont utilisés dans la communication de systèmes optiques. Dans [33], une étude propre de la DSP des signaux chaotiques avec intermittence.
Dans [16], S.Tsekeridou et al ont détaillé le calcul de l’auto-corrélation et du spectre de signaux issus de la Transformation Bernoulli pour une utilisation dans le tatouage. Le tatouage avec la transformation Bernoulli peut être généré avec des propriétés spectrales bien définies pour résister aux attaques passe-bas. Dans [34], M.Eisencraft et al. ont étudié la Skew Tent Map avec un seul paramètre. Ils ont constaté que lorsque le paramètre de bifurcation varie alors il y a des modifications du spectre entre passe-bas, large-bande et passe-haut. Ensuite, ils ont appliqué ces résultats à de la modulation et démodulation. Dans [1], M.Eisencraft et al. ont obtenu des expressions analytiques de la séquence d’auto-corrélation (SAC), de la densité spectrale de puissance (DSP) et de la bande passante de signaux chaotiques générés par la Skew Tent Map. Ils ont déduit que la bande passante dépend des exposants de Lyapunov (la bande passante est plus large lorsque l’exposant de Lyapunov augmente).
L’analyse spectrale des signaux est utilisée dans plusieurs domaines pour extraire l’information et vérifier la distribution d’énergie ou de puissance dans le domaine fréquentiel [7]. Des modèles spectraux sont utilisés dans de nombreux processus de modulation, traitement de la parole, compression et reconnaissance vocale [6].
En médecine, l’analyse spectrale des électrocardiogrammes et des électroencéphalogrammes peut fournir des informations utiles au diagnostic [7]. L’analyse spectrale des signaux est cruciale dans ledomaine des télécommunications. Les spectres doivent être connus et bien définis, en raison de l’insuffisance des fréquences disponibles pour la communication et la limitation des bandes de fréquences dans les médias guidées. Pour étudier le spectre d’un signal chaotique, on peut le considérercomme un signal en temps discret à la fois déterministe et aléatoire. Les principales références utilisées pour le calcul du spectre d’un signal chaotique sont [7,35,36].

Densité spectrale de puissance

Dans la partie pratique du domaine de l’ingénierie des systèmes, les signaux sont considérés comme étant aléatoires. Dans d’autres cas, le signal utile est ajouté à un signal non désiré et qui est considéré comme aléatoire (bruit). Ces signaux peut être évalués grâce à la moyenne, la variance et la corrélation [25]. Mathématiquement, ce signal est décrit comme étant une séquence aléatoire qui se compose d’un ensemble de réalisations possibles et tel que chaque signal a une probabilité d’occurrence [7,37].
Ces séquences forment un processus stochastique ou aléatoire. La TFTD d’un signal aléatoire n’existe pas puisque le signal ne possède pas une énergie finie. Un signal aléatoire a généralement une puissance moyenne finie, alors il peut être caractérisé par S (w) une densité spectrale de puissance moyenne (DSP) [7]. La moyenne d’un processus aléatoire est prise sur l’ensemble de fonctions échantillonnées. Si, de plus, les moyennes temporelles sont identiques aux moyennes d’ensemble on dit que le processus est ergodique. Dans ces conditions, le phénomène est entièrement décrit par une seule réalisation.
Les signaux chaotiques générés par une transformation linéaire par morceaux peuvent être considérés comme issus d’un processus stochastique ergodique. Pour une valeur fixe de β , une fonction peut être associée à une condition initiale x0 pour générer une sequence chaotique par itérations de F (.). Alors, la détermination dela séquence d’auto-corrélation peut permettre de calculer la DSP [1, 38]. L’autocorrélation R(k) d’unentier k est défini par :

Conclusion

L’objectif de ce chapitre était d’introduire quelques notions sur les systèmes dynamiques chaotiques, les caractéristiques du chaos et également d’étudier le spectre des signaux obtenus à partir d’un système dynamique discret. Les travaux [1, 34] nous ont donné l’idée de chercher d’autre types de transformation qui ont les mêmes caractéristiques que la skew tent map et d’essayer de calculer leur spectre. Dans le chapitre suivant, nous étudions plusieurs types de transformations linéaires par morceaux dont le but est de généraliser les résultats obtenus dans [1, 34] ou de trouver d’autre types de spectre comme un passe bande et un coupe bande.

Etude spectrale de quelques transformations linéaires par morceaux

Introduction

La méthode de calcul du spectre proposée dans les travaux [1, 34] et présentée dans la section 2.2 nous a motivé pour trouver d’autres types de transformations chaotiques et faire des recherches concernant le spectre et la bande passante dont le but de généraliser les résultats obtenus ou d’obtenir d’autres types de spectres.
Dans ce chapitre, nous nous sommes intéressés à des transformations linéaires par morceaux dépendant d’un seul paramètre. Puisque la méthode de calcul proposée dans [1] ne peut être appliquée que sur des transformations linéaires par morceaux, alors nous avons utilisé la même méthode de calcul. Dans la section 2.2, nous détaillons les calculs d’auto-corrélation et de densité spectrale de puissance appliquée à une skew tent map [1]. Ensuite, nous étudions plusieurs types de transformations linéaires par morceaux.

Etude spectrale d’une transformation linéaire par morceaux avec deux paramètres

Introduction

Nous étudions dans ce chapitre quelques propriétés associées à la bifurcation collision de frontière d’une transformation linéaire par morceaux PWLM définie par trois pentes et dépendant de deux paramètres. Les PWLMs ont un grand intérêt parce que les études précédentes ont montré que le chaos existe dans tous les intervalles de paramètres et il est facile d’obtenir des séquences chaotiques en itérant une telle PWLM.
Nous donnons les expressions analytiques de l’auto-corrélation et de la densité spectrale de puissance (DSP) des signaux chaotiques générés par notre transformation linéaire par morceaux. Mais, il n’est pas évident de déterminer les expressions analytiques de la SAC et de la DSP des transformations linéaires par morceaux. La complexité du calcul augmente avec le nombre de pentes de la transformation. Nous montrons l’existence d’une forte relation entre les paramètres de bifurcations et les différents types de densité spectrale de puissance (passe-bas, passe-haut et passebande). Nous constatons également une relation entre le type de spectre et l’ordre des cycles attractifs qui sont situés après la bifurcation de collision de frontière quiconduit au chaos.

Courbes de bifurcation

Une bifurcation spécifique qui apparaissent dans les transformations linéaires par morceaux, ce type de bifurcations correspondent à un contact entre un ensemble invariant et la limite de la région de differentiabilité [40]. Ces bifurcations sont nommées « Bifurcation Collision de Frontière ». Le terme bifurcation collision de frontière est apparu pour la première fois dans les publications de Nusse et Yorke [41, 42] et il est maintenant largement connu pour les transformations linéaires par morceaux [43]. Parmi les travaux qui concerne ce type de bifurcation, nous pouvons trouver Leonov qui décrit et donne une relation récursive pour trouver l’expression analytique de la séquence de bifurcation qui se produit dans un plan linéaire par morceaux unidimensionnel avec un point de discontinuité [44]. D’autres études sur les transformations linéaires par morceaux peuvent être trouvés dans [45–47].
D’autres auteurs ont décrit la bifurcation collision de frontière mais en utilisant des différents noms et notations [48,49].
La Figure 3.3 montre les courbes de bifurcation du transformation (3.2) dans le plan de paramètre (Φ, β ). Une bifurcation spécifique apparaît dans les transformations linéaires par morceaux et correspond à une bifurcation collision de frontière.
Ce type de bifurcations correspond à un contact entre un ensemble invariant et la limite de la région différentiable [40].
Dans la Figure 3.3, le chaos est indiqué par la couleur noire et les autres couleurs correspondent à des cycles stables (bleu pt fixe, rouge cycle-2, …).
Dans la section suivante, nous allons étudier la densité invariante, les exposants de Lyapunov, la séquence d’autocorrélation et la densité spectrale de puissance des signaux générés par la transformation (3.3) dans le cas β = −Φ et Φ ∈ (−1, 0). Nous avons choisi ces paramètres car :
– le chaos existe dans le plan des paramètres et il est indiqué dans la Figure 3.3.
– il est plus facile de calculer l’auto-corrélation lorsque la densité invariante est uniforme. Nous montrons dans la section suivante que la densité de la transformation T 1 est uniforme dans ce cas.
– la variation du paramètre Φ nous permet d’obtenir une région chaotique limitée par les points fixes et le cycle-2.

Table des matières
Remerciements 
Table des matières 
Table des figures 
Abréviation 
Introduction Générale 
1 Systèmes dynamiques discrets 
1.1 Introduction
1.2 Système dynamique discret
1.2.1 Points fixes
1.2.2 Orbites périodiques
1.2.3 Trajectoires irrégulières
1.2.4 Bifurcation
1.2.5 Caractérisation des solutions d’un système dynamique discret
1.3 Indices de chaos
1.4 Densité de probabilité invariante d’une transformation chaotique
1.5 Analyse spectrale
1.5.1 Densité spectrale de puissance
1.5.2 Etude spectrale de la logistique
1.6 Conclusion
2 Etude spectrale de quelques transformations linéaires par morceaux 
2.1 Introduction
2.2 Skew Tent Map F(.)
2.2.1 Densité de probabilité
2.2.2 Exposant de Lyapunov
2.2.3 Auto-corrélation
2.2.4 Densité spectrale de puissance
2.2.5 Bande passante
2.3 PWLM-1 Maps G(.)
2.3.1 Bifurcation et exposant de Lyapunov
2.3.2 Etude spectrale
2.4 PWLM-2 Maps H(.)
2.4.1 Densité de probabilité
2.4.2 Exposant de Lyapunov et bifurcation
2.4.3 Auto-corrélation
2.4.4 Densité Spectrale de Puissance
2.4.5 Bande passante
2.5 Conclusion
3 Etude spectrale d’une transformation linéaire par morceaux avec deux paramètres
3.1 Introduction
3.2 PWLM-3 Maps T (.)
3.2.1 Points fixes
3.2.2 Cycle d’ordre-2
3.2.3 Cycle d’ordre-3
3.3 Courbes de bifurcation
3.4 Calcul analytique de la DSP pour β = −Φ
3.4.1 Densité de probabilité
3.4.2 Exposants de Lyapunov
3.4.3 Calcul de l’auto-corrélation
3.4.4 Densité spectrale de puissance de T1
3.5 Simulation de l’auto-corrélation et du spectre pour différents paramètres
3.6 Conclusion
4 Application Radar 
4.1 Introduction
4.2 Système radar
4.2.1 L’importance de la bande passante dans les radars
4.2.2 Fonction d’ambiguïté
4.3 Fonction d’ambiguïté de quelques transformations chaotiques
4.3.1 La logistique
4.3.2 Tent Map
4.3.3 PWLM-1 Maps G(.)
4.3.4 PWLM-3 Maps T(.)
4.4 Multiplexage et séparation des signaux chaotiques
4.5 Conclusion
Conclusion Générale et Perspectives 
Bibliographie
Publications 
Résumé
Abstract

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