Étude semiclassique des modes de pression chaotiques 

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1.2 Modes de pression dans les pulsateurs classiques en rotation rapide

Dans cette section, nous nous intéressons aux pulsateurs en rotation rapide et plus particulièrement aux δ Scuti. Nous verrons que les spectres d’oscillation des δ Scuti ont des propriétés très variées en terme de gamme, de nombre et d’amplitudes des fréquences observées. Pour mieux les comprendre d’un point de vue théorique, il faut résoudre un certain nombre de dicultés posées par la rotation rapide. Nous présenterons les principaux eets de la rotation susceptibles d’impacter les modes d’oscillation et les progrès réalisés pour modéliser ces eets. Finalement, nous présenterons des observations récentes qui montrent la présence de régularités dans les spectres de certaines étoiles delta Scuti, ces détections étant compatibles avec les résultats théoriques.

1.2.1 Étoiles en rotation rapide
Les δ Scuti

Les δ Scuti sont des étoiles de masse intermédiaire, situées à la transition entre les étoiles de faible masse (M ≤ 1M ) ayant un c÷ur radiatif et une enveloppe convective et des étoiles plus massives (M > 2M ) ayant un c÷ur convectif et une enveloppe radiative (Bowman and Kurtz, 2018). Sur le diagramme HR de la Fig. 1.1 elles occupent la région correspondant au croisement de la séquence principale et de la bande d’instabilité des Céphéides. Du point de vue des oscillations ce sont des pulsateurs classiques, avec des modes excités principalement par l’action du mécanisme κ au niveau de la couche d’ionisation de He II (voir table 1.1 pour les caractéristiques typiques des
oscillations observées)

2.3 Recherche de régularités dans les δ Scuti

Les études théoriques suggèrent qu’un type de modes présentant des régularités, les modes d’îlot, devraient être présents dans les rotateurs rapides. Pour aller plus loin, Reese et al. (2008) montre dans le cas de modèles polytropiques que la grande séparation ∆ν des modes d’îlot et la densité moyenne ρ¯ sont reliés par une loi d’échelle, qui dépend faiblement de la rotation. Cette nouvelle grande séparation est donc potentiellement, comme dans les pulsateurs de type solaire, une observable cruciale permettant de remonter aux paramètres fondamentaux des étoiles. Parallèlement, la détection d’écarts réguliers en fréquence dans les δ Scuti (García Hernández et al., 2009; García Hernández et al., 2013; García Hernández et al., 2015; Paparó et al., 2016; Michel et al., 2017), rendue possible par les données photométriques ultra précises de l’astérosismologie spatiale, a constitué une étape importante pour conrmer la validité des résultats théoriques (malgré les basses fréquences d’oscillation dans ces étoiles).
La détection de régularités constitue en soi un résultat important. Pour maximiser les chances de trouver des régularités parmi la multitude de δ Scuti observées, des analyses récentes cherchent à isoler préférentiellement des étoiles jeunes avec des pulsations de haute-fréquences pour se rapprocher du régime asymptotique (Michel et al., 2017). García Hernández et al. (2015) vont plus loin en examinant la relation qui lie ∆ν à ρ¯. Les sources astrophysiques sélectionnées dans cette étude sont des systèmes binaires (`eclipsing binaries’) avec une composante de type δ Scuti. En eet les systèmes binaires permettent de déterminer les densités moyennes de manière able et indépendante du modèle d’intérieur stellaire ou de pulsation (la méthode utilisée consiste à calculer la densité à partir de l’approximation du modèle de Roche (Kippenhahn and Weigert, 1990; Maeder, 2009), en considérant que les rayons mesurés correspondent au rayon équatorial). Grâce à cette méthode, la relation suivante (¯ ρ=ρ¯ ) = 1:55(∆ν=∆ν )2:035; (1.15) a pu être établie observationnellement pour les δ Scuti en rotation (voir aussi Fig. 1.13, panneau de gauche). La binarité a aussi l’avantage de permettre une estimation de la rotation. En supposant que l’axe de rotation de l’étoile est perpendiculaire au plan orbital, il sut d’avoir accès à la mesure du rayon et de la vitesse projetée v sin i pour remonter à la vitesse de rotation, qui est mesurée en unité de Ωk = (GM=Req)1=2 correspondant à la rotation Képlerienne 3. Sur le panneau de droite de la Fig. 1.13, on constate que la relation entre la grande séparation et la densité est indépendante de la rotation.

.1 Intégrabilité et chaos dans les systèmes Hamiltoniens

Les équations de la mécanique Hamiltonienne sont présentes dans de nombreux domaines de la physique. Elles permettent de résoudre aussi bien des problèmes de mécanique classique, comme la chute d’un point matériel dans un champ de pesanteur,que des problèmes d’optique géométrique, ou encore de décrire les lignes de champ magnétique dans un plasma (Ott, 2002). La mécanique Hamiltonienne fourni des concepts proliques, comme la notion de variables conjuguées, qui servent de socle à la formulation traditionnelle de la mécanique quantique (voir section 2.2.1). Dans cette section, nous allons d’abord reprendre les concepts fondamentaux qui permettent de se familiariser avec les systèmes Hamiltoniens. Dans un second temps, nous introduirons les notions d’intégrabilité et de chaos.

2.1.1 Rappels sur les systèmes Hamiltoniens

En mécanique analytique sans dissipation, toute l’information sur le système dynamique considéré est contenue dans une unique fonction scalaire, le Lagrangien (formulation Lagrangienne) ou le Hamiltonien (formulation Hamiltonienne). Dans les deux formulations, les positions sont exprimées dans les coordonnées généralisées fqig, dé- nies comme N coordonnées indépendantes, où N correspond au nombre de degrés de liberté du système. Pour illustrer le concept de coordonnées généralisées, examinons le cas du pendule simple. La masse, xée au bout d’une corde rigide de longueur ‘, décrit un mouvement plan. On peut repérer la position de cette masse en utilisant les coordonnées cartésiennes x(t) et y(t), mais ce choix n’est pas économe car x(t) et y(t) sont liées par la contrainte ‘ = px2 + y2. Dans ce système, l’angle θ(t) entre la corde et la normale est l’unique degré de liberté. La coordonnée généralisée est donc q = θ.
L’état d’un système Hamiltonien est décrit par deux variables, son moment p = fpig et sa position q = fqig, où i = 1::: N. L’état se modélise donc par un point dans l’espace des phases de dimension 2N. Cela signie que la donnée de ces deux variables à un instant t, ajoutée à la donnée des paramètres constants comme la charge électrique d’une particule, est susante pour connaître tous les états antérieurs et futurs du système. L’évolution du système, qui se traduit par une trajectoire (p(t); q(t)) dans l’espace des phases, est entièrement déterminée par le Hamiltonien H(p; q; t), suivant les équations de Hamilton @H @pi = _ qi @H @qi = –p_i; (2.1) où le point exprime la dérivée temporelle. La forme de ces équations est dite canonique.
De même, tout jeu de variables (p¯; q¯) qui préserve la structure des équations, au prix d’un changement de Hamiltonien H ! H¯ , est dit canonique et les variables p¯ et q¯ sont dites conjuguées.
Soit x le vecteur des coordonnées dans l’espace des phases, par exemple x = (p; q). Dans l’étude des systèmes dynamiques, on distingue les systèmes en temps continu d dt x = F (x); (2.2)
où F est appelée le ot, des systèmes en temps discret.

.2.3 Intégrabilité et chaos en physique quantique

Nous venons de voir que dans les systèmes classiquement mixtes les états quantiques se construisent soit sur les tores des régions intégrables, soit sur la mer chaotique. Le fait que les états quantiques sont localisés dans des zones dynamiquement indépendantes a d’importantes répercussions sur leurs propriétés spectrales. Dans le cas classiquement intégrable les spectres suivent génériquement une distribution de Poisson, comme le proposèrent Berry and Tabor (1977). Quant aux spectres chaotiques, leur distribution est modélisée par les valeurs propres des matrices aléatoires (ensembles statistiques présentés dans la section 2.2.4), en accord avec la conjecture de Bohigas, Giannoni et Schmit (Bohigas et al., 1984).
Notons que de nombreux systèmes, comme les chaînes de spin, n’admettent pas d’analogues classiques. Là encore, les statistiques observées sur les niveaux d’énergie des systèmes complexes (en interaction ou ayant de nombreux degrés de liberté) reproduisent de manière quasi-universelle les distributions des matrices aléatoires (Kollath et al., 2010; Kos et al., 2018). Ces éléments tendent à montrer qu’il existe bien un équivalent quantique aux notions d’intégrabilité et de chaos, bien qu’il soit dicile d’en formuler une dénition satisfaisante (Caux and Mossel, 2011).
Dans cette section, nous allons passer en revue les méthodes de la physique semiclassique. Nous aborderons d’abord les règles de quantication des systèmes classiquement intégrables. Puis nous introduirons les concepts fondamentaux du chaos quantique, qui seront mis en application dans le chapitre 5. Nous procéderons en trois temps : nous présenterons la formule des traces qui relie la densité spectrale aux orbites périodiques du système classique, puis nous présenterons les propriétés spectrales universelles des systèmes classiquement chaotiques et enn nous discuterons cette notion d’universalité.

Systèmes chaotiques : la formule des traces

Dans un article de 1917, Einstein montre que les règles de quantication de BohrSommerfeld nécessitent la présence de tores invariants dans l’espace des phases du système classique (Stone, 2005). Il note que les systèmes chaotiques, qui sont courants dans la nature, ne possèdent pas ces structures invariantes. On peut comprendre en quoi cela pose problème à la lumière de la méthode de quantication exposée dans la section précédente. Si les trajectoires sont ergodiques, elles se recoupent une innité de fois en chaque point de l’espace des positions et il n’est plus possible d’écrire la fonction d’onde comme une somme nie. Bien que les limitations de la méthode de quantication EBK étaient connues très tôt, le sujet ne ressurgit qu’au début des années 1970 sousl’impulsion de M.Gutzwiller. Ce dernier introduisit une méthode de quantication des systèmes classiquement chaotiques basée sur la désormais célèbre formule des traces (Gutzwiller, 1971).
Comme toute formule semiclassique, la formule des traces est de la forme f(Ej) = g(Ij), où f et g sont respectivement des fonctions des niveaux d’énergies du système quantique et des actions du système classique. Du côté classique, la formule fait intervenir les orbites périodiques du système. Dans les zones ergodiques les orbites périodiques sont les seules structures invariantes avec la surface d’énergie. Toutes ces orbites périodiques sont instables, leur instabilité reétant la divergence des orbites voisines. Avant de présenter la formule, il est utile d’introduire quelques observables utilisées dans la description des spectres.
Les niveaux d’énergie en dessous d’une énergie E sont dénombrés par la fonction de comptage N(E) = X n Θ(E – En); (2.47)

2.5 Universalité dans les systèmes chaotiques

Bohigas et al. (1984) montrent que l’utilité des matrices aléatoires ne s’arrête pas aux systèmes possédant de nombreux degrés de liberté. Les auteurs mettent en évidence les propriétés des matrices GOE dans le spectre d’un système de dimension 2 classiquement chaotique. Leur conjecture s’énonce comme suit : Spectra of time-reversalsymmetric systems whose classical analogues are k-systems show the same uctuation properties as predicted by GOE..
De même que l’hypothèse de Wigner, la conjecture BGS est soutenue par de nombreuses expériences, menées par exemple avec des ondes électromagnétiques microondes en cavité résonante (Stein and Stöckmann, 1992; Kudrolli et al., 1994) ou avec des ondes acoustiques piégées dans une colonne de uide (Chinnery and Humphrey, 1996), ainsi que par de nombreuses simulations numériques e.g. (Baecker et al., 1994).
Un mot sur les symétries s’impose à ce stade. En eet dans les systèmes possédants des symétries spatiales (par exemple les deux axes du stade), les modes propres sontséparés en classes de symétries. Ces classes de symétries forment des spectres indépendants. Il faut séparer ces spectres avant de faire des statistiques.
La conjecture BGS ouvre également la voie, dans le cadre certes restreint des systèmes qui admettent une limite classique, à une justication par des arguments théoriques des propriétés universelles des spectres complexes (voir aussi Kos et al. (2018) pour les systèmes en interaction). De gros progrès en ce sens ont été eectué par Berry (1985). L’idée de Berry consiste à regarder le facteur de forme K(τ) ≡ Z-1 1 dξ exp(2πξτ)h[d(e – 12ξ) – 1][d(e + 1 2ξ) – 1]iE; (2.71) avec en = En d¯(E) les niveaux d’énergie du spectre rectié (d¯(E) étant l’écart moyen entre les niveaux d’énergie) et τ une grandeur adimensionnée qui joue le rôle d’un temps. La moyenne h·iE s’eectue sur un domaine d’énergie qui est grand devant d¯(E) mais petit devant l’énergie E. En utilisant la formule des traces, il remplace la densité d(e) par une somme sur les orbites périodiques et obtient (Berry, 1991) K(τ) ∼ 1 hd¯(E) *Xi Xj AiAj exp ~i (Si(E) – Sj(E)) δ[T – 1 2(Ti + Tj)]+E ; (2.72).

.2 Oscillations dans un modèle d’étoile polytropique

3.2.1 Le modèle polytropique

Un modèle d’étoile polytropique est un modèle d’étoile simplié dans lequel une relation polytropique entre la pression et la densité est donnée a priori. Cela évite de résoudre l’équation du transport de l’énergie thermique et permet de réduire les équations décrivant le modèle d’étoile à l’équilibre (données à l’annexe A.1) à trois équations : la relation polytropique, l’équation de l’hydrostatique et l’équation de Poisson
P0 = Kρ1+1 0 =N; (3.16)
0 = –rP0 – ρ0r(φ0 – Ω2d2=2); (3.17)
∆ 0 = 4πGρ0; (3.18)
où K est la constante polytropique, N l’indice polytropique, Ω le taux de rotation que l’on suppose uniforme spatialement et G la constante de Newton. Dans l’équation de l’équilibre hydrostatique intervient la gravité eective qui prend en compte la somme du potentiel gravitationnel et du potentiel centrifuge g0 = –r(φ0 – Ω2d2=2): (3.19) Dans le cas sans rotation, un polytrope d’indice N est une solution de l’équation de Lane-Emden (Hansen et al., 2004), qui est une réécriture de l’équation de Poisson prenant en compte la relation polytropique : avec ρ¯N(ξ) = ρ ρc ; ξ = (n4+1) πGρrP2 c c1=2; (3.21) où ρc est la densité au centre ρc = ρ(r = 0) et Pc est donné par ρc via la relation polytropique. Les solutions ρ¯N(ξ) de l’équation de Lane-Emden découlent des conditions
aux limites suivantes d¯ ρ où ξ = ξs à la surface. Pour certaines valeurs de l’indice polytropique, les solutions ρ¯N(ξ) ont l’avantage d’être analytiques. On choisit comme indice N = 3 car ce choix modélise bien les couches radiatives (Hansen et al., 2004). En eet l’objectif est de se rapprocher des étoiles pulsantes en rotation rapide qui sont pour l’essentiel en équilibre radiatif. Pour N = 3, l’équation de Lane-Emden doit-être résolue numériquement. Pour résoudre les Éqs. 3.16, 3.17 et 3.18 en prenant en compte les eets de la rotation, on introduit la pseudo enthalpie h0 = R dP0=ρ0 = (1 + N)P0=ρ0. Ainsi, en intégrant l’Éq. 3.17, on obtient h0 = hc – (φ0 – φc) + Ω2d2=2; (3.23)

.3.4 Spectres d’oscillation réguliers et chaotiques

La projection des modes dans l’espace des phases montre que ceux-ci sont localisés dans des zones dynamiquement indépendantes. Par conséquent, le spectre en fréquence est composé de sous-spectres indépendants, qui ont chacun leurs propriétés statistiques propres. Une portion de chaque type de sous-spectre est représentée sur la Fig. 3.8. mode `whispering gallery’, Panneau c) mode îlot de période 2 et Panneau d) mode îlot de période 6. Les distributions de Husimi sont représentées par des lignes de niveaux. La ligne de niveau tracée en pointillés contient environ 90 % du mode (valeur obtenue en comparant l’intégrale de la distribution de Husimi à l’intérieur du contour avec l’intégral sur la distribution totale).
Notons qu’aux classes de modes liées à la dynamique s’ajoutent les classes de symétries, axiale et équatoriale, détaillées dans la section 3.2.2. Les spectres associés aux zones quasi-intégrables, i.e. les chaînes d’îlots et `whispering gallery’, sont dits réguliers. Percival (1973) fut le premier à employer la notion de régularité à propos des spectres quantiques. Dans Gutzwiller (1990), les spectres réguliers sont caractérisés par l’existence d’une fonction lisse de N entiers f(n1; n2; :::; nN), avec N degrés de liberté, qui reproduit les spectres. Une telle fonction existe toujours dans un domaine intégrable de l’espace des phases. Le théorème de Liouville-Arnold assure l’existence d’un système de coordonnées dans lequel le Hamiltonien s’exprime en fonction des intégrales du mouvement. Ce sont les coordonnées angle-action introduites dans la section 2.1.2.
L’existence de la fonction f(n1; n2; :::; nN) découle ensuite de la quantication des inté- grales du mouvement sur les tores. En particulier, les spectres associés aux modes d’îlot peuvent être reproduits par des formules empiriques de la forme !n;‘ = nδn + ‘δ‘ + α, où n; ‘ sont des entiers et α est une constante (Reese et al., 2008; Lignières and Georgeot, 2009). En revanche, il n’est pas possible de construire la fonction f(n1; n2; :::; nN) pour les modes chaotiques. On dit que le spectre est irrégulier. Le système dynamique associé étant symétrique par renversement du temps, on attend des modes chaotiques qu’ils suivent la statistique de l’ensemble GOE des matrices aléatoires, en accord avec la conjecture de Bohigas, Giannoni et Schmit (Bohigas et al., 1984). Pour tester cette hypothèse, Lignières et Georgeot ont calculé la distribution cumulée (ou intégrée) des écarts δn = (!n+1–!n)=h!n+1–!ni entre niveaux proches voisins : N(∆) = R0.

4.1 Calcul et identication des modes chaotiques à hautes fréquences

Un des enjeux de la thèse a été la constitution d’une base de données numériques de modes chaotiques, dont nous présentons quelques exemples sur la Fig. 4.1. Cette section présente la méthode que nous avons utilisée pour calculer numériquement et identier un grand nombre de modes chaotiques. Dans un deuxième temps, nous regarderons les propriétés statistiques des spectres de fréquence produits numériquement en calculant les autocorrélations et en représentant les spectres sur des diagrammes échelles.

4.1.1 Constitution d’une base de données

Notre objectif est de constituer une base de fréquences et de modes propres chaotiques. Nous voulons calculer un grand nombre de fréquences pour plusieurs valeurs de la rotation. La résolution spatiale nécessaire pour le calcul de modes de haute fréquence est élevée et cela se traduit par des besoins importants en mémoire vive, dont on doit tenir compte. Un autre aspect du problème est de distinguer les modes chaotiques des autres types de modes et nous verrons comment la dynamique des rayons peut aider à cette classication.
Étude préliminaire
Connaitre les diérentes familles de modes propres présentes dans le spectre est un prérequis nécessaire pour pouvoir identier les modes propres d’oscillation. Si on veut étudier un type de mode bien précis, dans notre cas les modes chaotiques, il faut choisir une gamme de rotations et de fréquences où ces modes seront a priori présents. Cela passe par une étude préliminaire, basée sur le tracé de rayons, qui consiste à construire des sections de Poincaré à plusieurs valeurs de la rotation et de la fréquence. Nous reprenons la PSS introduite dans Lignières and Georgeot (2009) dénie à distance constante de la surface et la PSS introduite dans Pasek (2012) confondue avec l’équateur. Dans les deux cas, nous utilisons les coordonnées renormalisées par la fréquence (θ; k~θ) et (r; k~r) car ce choix de coordonnées permet d’explorer plus ecacement l’espace des paramètres, en ne variant que la rotation.
Le nombre total de modes en dessous d’une fréquence ! est donné par le terme de Weyl N¯(!). Ce dernier prend la forme suivante (Lignières and Georgeot, 2009) zθ)2 dS; (4.1) où S est la portion du plan méridien où l’intégrande est positive. Dans un billard, le terme de Weyl en énerie N¯(E) croit linéairement et proportionnellement à la surface (voir section 2.2.3). Dans une étoile, ce terme ne croît pas linéairement en fréquence. En 76 Chapitre 4. Étude semiclassique des modes de pression chaotiques factorisant par !2, puis en remarquant que 1–!c2=!2 est proche de 1 dans tout le plan méridien, on voit que N¯ est pratiquement une fonction quadratique de la fréquence. Pour les modes non axisymétriques un second terme, faisant intervenir Lz, apporte une correction négative tendant à diminuer N¯. Elle correspond à la réduction du volume occupé par les trajectoires dans l’espace des phases quand Lz 6= 0. Notons que la correction tend vers zéro quand la fréquence tend vers l’inni. Asymptotiquement, on s’attend ainsi à une croissance quadratique du nombre de modes et donc une croissance linéaire de la densité de modes d(!) = dN= ¯ d!.
Pour déterminer le nombre de modes d’une catégorie donnée, il faut intégrer l’Éq. 4.1 sur la région correspondante de l’espace des phases. Ainsi le nombre de modes chaotiques (ou leur densité) est d’autant plus grand que la zone chaotique est développée et que les fréquences sont élevées. Comme le montre la Fig. 4.2, où est montrée la zone chaotique centrale, la taille de la zone chaotique augmente rapidement avec la rotation. On s’attend ainsi à une augmentation de la densité de modes chaotiques avec la rotation. On peut aussi comparer les évolutions conjointes de l’aire de la zone chaotique et de l’aire de l’îlot central (voir Fig. 4.3). On constate qu’au contraire de la zone chaotique l’évolution de l’îlot central n’est pas monotone. En particulier, sa taille diminue fortement autour de Ω=Ωk = 0:682, ce qui signie qu’à cette rotation les modes d’îlot sont beaucoup moins nombreux dans le spectre que les modes chaotiques 1.
Les plus hautes fréquences accessibles au calcul numérique dépendent directement de la mémoire vive disponible (car les besoins en mémoire augmentent avec la résolution numérique). Le choix de la gamme de rotation est en revanche dépendant de l’évolution de l’espace des phases constaté sur la Fig. 4.2. Aux rotations les plus basses, il n’existe qu’une mince bande chaotique piégée entre les tores KAM. Les modes chaotiques dans cette bande se forment à des fréquences diciles à atteindre numériquement et inaccessibles dans les étoiles. Autour de Ω=Ωk = 0:32, de nombreuses structures intégrables coexistent avec la zone chaotique, ce qui complique l’analyse du spectre. Nous avons donc choisi de travailler à des rotations supérieures à Ω=Ωk = 0:481 où la zone chaotique est bien développée et contient seulement une ou deux chaînes d’îlots.
Production des modes
Pour le calcul numérique des modes propres, nous utilisons le programme TOP décrit dans la section 3.2.2. Les modes sont calculés par des méthodes spectrales. Numériquement, ils sont décomposés suivant l’Éq. 3.29, en utilisant un nombre ni de polynômes de Chebyshev et d’harmoniques sphériques Nr et Nt. Ces deux nombres dénissent la résolution des modes. Un exemple de décomposition spectrale d’un mode whispering gallery est montré sur la Fig. 4.4. La résolution a un impact direct sur le coût des calculs, puisque les matrices dont on cherche quelques valeurs propres par la méthode d’Arnoldi-Chebyshev sont de taille (Nr × Nt)2. La résolution doit en principe être déterminée par la plus petite échelle de variation de l’amplitude du mode. Elle 1. Quand nous disons que les modes d’îlot sont moins nombreux, cela ne signie pas qu’il manque des modes mais plutôt qu’on ne trouve dans le spectre que les îlots de bas degré ‘, pour unegamme de fréquence donnée. vue sur la section de Poincaré à faible distance de la surface. Cette évolution est qualitativement similaire, au-delà du régime perturbatif décrit par le théorème KAM, à celle de l’application standard lorsque l’intensité de la pulsation augmente. De la même façon, la destruction progressive des tores KAM permet aux zones chaotiques de s’accroître (notons que dans le cas stellaire ce sont les tores qui sont proches de la surface qui survivent le plus longtemps à la rotation, comme dans les billards).
 Évolution des aires AI, AII et AI=AII avec la rotation, où AI est l’aire de l’îlot central et AII est l’aire de la zone ergodique. dépend donc des valeurs maximales de k~r et k~θ. La Fig. 4.2 montrent que la zone chaotique s’accroît rapidement avec la rotation, à la fois en k~r et en k~θ. Dans l’espace des phases, la zone chaotique centrale est bornée par des trajectoires de type `whispering gallery’. Ainsi nous pourrons facilement garantir que tous les modes chaotiques sont bien résolus si quelques modes whispering gallery sont résolus pour les valeurs xées de Nr et Nt. Pour explorer une large gamme de rotations, nous avons considéré les résolutions suivantes : Nr = 96; 128; 140 et Nt ≤ 185.

Table des matières

1 Sismologie des étoiles en rotation rapide 
1.1 Caractéristiques des étoiles pulsantes
1.1.1 Techniques d’observation
1.1.2 Pulsateurs classiques et de type solaire
1.1.3 Modes p et g dans une étoile sphérique
1.2 Modes de pression dans les pulsateurs classiques en rotation rapide
1.2.1 Étoiles en rotation rapide
1.2.2 Régularités des modes p dans les modèles d’étoiles en rotation rapide
1.2.3 Recherche de régularités dans les δ Scuti
2 Outils du chaos quantique 
2.1 Intégrabilité et chaos dans les systèmes Hamiltoniens
2.1.1 Rappels sur les systèmes Hamiltoniens
2.1.2 Systèmes intégrables
2.1.3 Systèmes chaotiques
2.1.4 Systèmes mixtes
2.2 Physique semiclassique
2.2.1 Systèmes Hamiltoniens et mécanique quantique
2.2.2 Limite semiclassique
2.2.3 Intégrabilité et chaos en physique quantique
2.2.4 Propriétés statistiques des spectres quantiques
2.2.5 Universalité dans les systèmes chaotiques
3 Modes de pression dans les étoiles en rotation rapide 
3.1 Théorie linéaire des oscillations
3.2 Oscillations dans un modèle d’étoile polytropique
3.2.1 Le modèle polytropique
3.2.2 Calcul des pulsations
3.3 Méthodes asymptotiques
3.3.1 Limite des rayons
3.3.2 Structures dans l’espace des phases
3.3.3 Associer les modes aux rayons
3.3.4 Spectres d’oscillation réguliers et chaotiques
4 Étude semiclassique des modes de pression chaotiques 
4.1 Calcul et identication des modes chaotiques à hautes fréquences
4.1.1 Constitution d’une base de données
4.1.2 Présentation des données
4.2 Analyse semiclassique
4.2.1 Méthodes du chaos quantique pour les oscillations acoustiques
4.2.2 Eet du prol inhomogène de la vitesse du son sur les orbites périodiques
4.2.3 Impact sur la statistique spectrale
4.3 Pics additionnels et barrières partielles
4.4 Le spectre à basses fréquences
Annexes 105
A.1 Oscillations dans l’approximation adiabatique
A.2 Approximation des rayons et formule de Tassoul
B.1 Barrières partielles dans les zones ergodiques de l’espace des phases .
B.2 Séries de modes chaotiques
Publications 113
Publication I
Publication II
Bibliography 14

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