ÉTUDE NUMERIQUE QUANTITATIVE DES ROULEAUX TRANSVERSAUX EN CONVECTION MIXTE SOUS EFFET SORET

Convection naturelle, forcée et mixte

   Le terme convection est utilisé pour définir les mouvements dus à l’agitation thermique engendrant des différences de densités entre les molécules d’un fluide. Un fluide est le terme désignant un liquide ou un gaz : corps pur ou mélange dont les molécules ont assez de liberté pour se mouvoir les une par rapports aux autres. On parle de convection naturelle lorsqu’il s’agit d’agitations induites dans le fluide par des forces (de volume ou de surface) agissant à l’intérieur du volume étudié. Les mouvements générés sont dus aux variations locales de la masse volumique du fluide en fonction de la température et/ou de la concentration pour le cas de la convection naturelle d’origine thermique et/ou massique. La convection forcée concerne les mouvements convectifs qui apparaissent sous l’action d’une source externe, telle qu’une pompe ou le déplacement d’un objet dans le fluide, i.e. les mouvements induits par une différence de pression sont des mouvements de convection forcée où l’écoulement persiste même en l’absence de gradient de température. Quand la convection est due aux effets couplés cités précédemment, on parle alors de convection mixte.

L’effet SORET ou LUDWIG

  Dans un fluide soumis à un gradient de température il apparaît un gradient de concentration dû au gradient de la température, c’est l’effet SORET ou bien encore appelé effet LUDWIG (plus généralement, le nom  » thermodiffusion » désigne cet effet en milieu gazeux, alors que l’expression effet SORET ou effet LUDWIG sera plus utilisée dans les liquides). Cet effet fut découvert simultanément par LUDWIG en 1856, et (mieux exploité) par C. SORET en 1879, d’où le nom attribué au phénomène. Dans le champ de pesanteur, la convection au sein d’un fluide pur est due aux changements locaux de la masse volumique qui dépend non seulement de la température, mais également de sa composition. Généralement, les phénomènes de convection et de thermodiffusion ne peuvent être dissociés. Ce couplage est appelé diffusion thermo gravitationnelle. Il est important de noter les travaux de DUFOUR qui, en 1872, avait déjà découvert l’effet inverse de l’effet SORET qui porte également son nom : l’effet DUFOUR, qui consiste en l’apparition d’un gradient de température induit par un gradient de concentration. Toutefois, cet effet est négligeable en dehors des phases gazeuses. Dans notre étude, cet effet sera négligé devant l’effet SORET et ce quelle que soit la phase. L’effet SORET est un phénomène particulier puisqu’il appartient à la famille des phénomènes thermodynamiques « croisés », c’est-à-dire que le flux est créé par une force qui ne lui est pas conjuguée. La figure 1-1 permet de visualiser spatialement la migration préférentielle des espèces.

Mécanisme fondamental de RAYLEIGH BENARD

   Le problème de l’écoulement de RB, est un problème d’instabilité dans un fluide confiné entre deux plaques horizontales portées à deux températures différentes. Si la plaque supérieure est la plus chaude, le système reste stable et stratifié en température. Mais, si la paroi inférieure est la plus chaude et si une perturbation est introduite dans le système, alors pour une valeur critique de la différence de température entre les deux plaques il peut apparaître des mouvements à l’intérieur du fluide, le système est instable et des mouvements sont organisés en rouleaux périodiques contrarotatifs. Ces rouleaux, également appelées cellules de RB, apparaissent quand il y a un couplage entre le champ dynamique et le champ thermique.La situation générale est donc celle d’un fluide présentant une masse volumique croissante avec l’altitude et manifestant dès lors un caractère potentiellement instable. Ce système physique couple ainsi un problème de stabilité mécanique lié aux variations de densité et un problème de transport de chaleur lié aux variations de température. Si en un lieu donné du fluide, une perturbation initiale positive de température apparaît, la poussée d’ARCHIMEDE induira un mouvement ascendant du fluide. Si la perturbation est négative, la poussée d’ARCHIMEDE induira un mouvement descendant. Il résulte de cela un apport convectif local des particules fluides venant des couches inférieures plus chaudes dans le premier cas, des couches supérieures plus froides dans le second cas, et qui renforcent la perturbation initiale et entretiennent le mouvement. Le déplacement ascendant ou descendant se transmet ainsi jusqu’à ce que le fluide rencontre une interface. La conservation de la masse implique alors un mouvement du fluide parallèle à cette interface. Ce déplacement horizontal se fait jusqu’à ce que le fluide rencontre une nouvelle zone de mouvement ascendant s’il se trouve sur l’interface inférieure, ou descendant s’il se trouve sur l’interface supérieure. Le raccordement par ces déplacements horizontaux d’une zone d’ascension et d’une zone de descente forme alors des rouleaux (bidimensionnels) contrarotatifs ou des cellules (tridimensionnelles), suivant les caractéristiques géométriques et physiques du système. Il apparaît donc un mouvement d’ensemble régulier et auto organisé au sein du fluide.

Revue bibliographique sur les écoulements de PRB

  La période de la seconde guerre mondiale a connu une « hibernation » des recherches, mais vers 1949 les recherches sur le problème de PRB ont repris. La théorie de la stabilité linéaire a connu une époque d’or pendant 30 ans. Différents auteurs se sont donc intéressés à l’analyse de stabilité du problème, établi et transitoire, tant au niveau thermique que dynamique, d’autres ont restreint leurs études à la zone d’entrée thermique, là où naissent les structures convectives. Un important travail résumant cette période de recherche, est dû à NICOLAS (2000). Au début des années 80, et avec l’accès de l’informatique aux laboratoires du monde scientifique, la mode des simulations numériques directes motivée par l’application industrielle s’est installée. La plupart des recherches sont initiées par des applications industrielles à fort enjeux économiques telles que l’étude des dépôts de vapeurs chimiques (Chemical Vapor Deposition : CVD) ou le refroidissement des composants électroniques. Le but dans le premier cas est de contrôler finement le dépôt chimique afin d’optimiser la fabrication de composants électroniques par exemple, dans l’autre cas, l’objectif est d’augmenter les transferts thermiques afin d’accroître la capacité de refroidissement de composants de plus en plus miniaturisés. Ainsi, on peut citer les travaux plus fondamentaux de MÜLLER et al. (1989) et les travaux de OUAZZANI et al. (1989-1995) sur le problème de la convection mixte entre deux plans horizontaux à températures différentes. Tous ces travaux sont présentés dans la revue bibliographique de NICOLAS (2002). Cette revue couvre la période 1920–2001 et comporte 154 références. La gamme des paramètres concernés est : 0 y y 1000, 0 y y 100 et 0 y y 10¬ . Depuis lors, les recherches sur ce type de problème se sont poursuivies. Du point de vue numérique, ROTH et al. (1996) on étudié l’influence des conditions aux limites sur la formation des structures convectives. KATO (2000) s’est intéressé à la compétition qui naît de la formation simultanée de ¨ et  en présence d’écoulement dans une cavité rectangulaire chauffée par le bas. Dans la même configuration, des études de l’analyse de stabilité linéaire du problème de PRB en cavité confinée avec des conditions aux limites aussi proches que possible de la réalité permettent une confrontation avec des simulations numériques et des résultats expérimentaux. HUANG (1997), YU et LIN (1997), LIR et al. (2001) ont étudié le comportement d’écoulement d’air dans des cavités rectangulaires chauffées par le bas d’un point de vue expérimental. Ces écoulements d’air sont généralement obtenus pour de grandes valeurs des nombres de RAYLEIGH et de REYNOLDS, ne permettant la formation que de et de rouleaux sinueux dans certains cas. Les derniers résultats expérimentaux ont porté sur l’influence du confinement longitudinal des cellules expérimentales et sur la formation des rouleaux longitudinaux, ainsi que sur l’étude à faible nombre de REYNOLDS, c’est-à-dire proche de la convection naturelle. Actuellement plusieurs auteurs sont en train de contribuer à l’établissement d’un benchmark numérique traitant le problème de PRB. Le travail est encore en cours. Les dernières années, ont permis d’avoir une compréhension plus juste de la dynamique linéaire et faiblement non linéaire de ces structures convectives.

Table des matières

TABLE DES ILLUSTRATIONS
PROLOGUE
RESUME
INTRODUCTION
CHAPITRE 1 SUR LA CONVECTION MIXTE INFLUENCEE PAR L’EFFET SORET : ÉTAT DE L’ART
1 ÉTAT DE L’ART
1.1 PRELIMINAIRES
1.2 NOTIONS DE BASE
1.2.1 Convection naturelle, forcée et mixte
1.2.2 L’effet SORET ou LUDWIG
1.2.3 Milieu poreux
1.2.4 Modèles d’écoulement en milieux poreux
1.3 REVUE BIBLIOGRAPHIQUE SUR LES SYSTEMES DE RAYLEIGH BENARD
1.3.1 Mécanisme fondamental de RAYLEIGH BENARD
1.3.2 Un peu d’historique : de RUMFORD à RAYLEIGH
1.3.3 Convection mixte en configuration de Rayleigh Bénard
1.3.4 Convection mixte en milieu de DARCY : CMRBD
1.3.5 Le RAYLEIGH BENARD SORET en milieu de DARCY : RBSD
1.3.6 Convection mixte en configuration de Rayleigh Bénard Soret
1.4 RECAPITULATIF DE BIBLIOGRAPHIE
1.5 VALEUR AJOUTEE APPORTEE PAR CE TRAVAIL
CHAPITRE 2  METHODE DES ELEMENTS FINIS POUR LE CALCUL LINEAIRE DE LA STABILITE DE LA SOLUTION DE CONDUCTION
2 CALCUL DE LA STABILITE 
2.1 THEORIE LINEAIRE DE LA STABILITE
2.2 ÉQUATIONS DE BASE
2.3 MISE SOUS FORME ADIMENSIONNELLE
2.3.1 Équations aux perturbations
2.3.2 Conditions aux frontières des perturbations
2.4 STABILITE LINEAIRE
2.4.1 Stabilité marginale
2.4.2 Méthode des éléments finis
2.4.3 Stabilité transitoire : ≠
2.5 VALIDATION DU CODE NUMERIQUE
2.5.1 Convection naturelle thermosolutale en milieu de DARCY BRINKMAN
2.5.2 Écoulement de POISEUILLE RAYLEIGH BENARD
CHAPITRE 3 ANALYSE DE STABILITE LINEAIRE
3 RESULTATS ISSUS DE L’ANALYSE DE STABILITE LINEAIRE 
3.1 CONVECTION NATURELLE THERMIQUE
3.2 CONVECTION NATURELLE EN FLUIDE BINAIRE SOUS EFFET SORET
3.2.1 Étude paramétrique de la stabilité marginale supercritique
3.2.3 Représentation graphique des résultats et interprétations
3.3 CONVECTION MIXTE EN FLUIDE PUR
3.3.1 Formulation générale du seuil de stabilité
3.4 CONVECTION MIXTE EN FLUIDE BINAIRE SOUS L’EFFET SORET
3.4.1 Un coefficient de séparation positif
3.4.2 Un coefficient de séparation négatif
3.5 CONCLUSION
CHAPITRE 4 MISE EN ŒUVRE NUMERIQUE DES SIMULATIONS 3D
4 FORMULATION MATHEMATIQUE
4.1 HYPOTHESES SIMPLIFICATRICES
4.2 ÉQUATIONS SIMPLIFIEES
4.3 SYSTEMES D’EQUATIONS ADIMENSIONNELLES
4.3.1 Valeurs de références et grandeurs adimensionnelles
4.3.2 Choix de la concentration de référence
4.4 CONDITIONS AUX LIMITES
4.4.1 Conditions aux limites de la concentration
4.4.2 Conditions aux limites d’entrée
4.4.3 Conditions aux limites de sortie
4.4.4 Résumé des conditions aux limites
4.5 RESOLUTION NUMERIQUE
4.5.1 Discrétisation des équations
4.5.2 Accélération de convergence – technique multigrille
4.6 DISCRETISATION DU TERME TRANSITOIRE
4.7 EXERCICES DE VALIDATION
4.7.1 Mode purement diffusif
4.7.2 Confrontation avec solution de benchmark 3D
CHAPITRE 5 SIMULATIONS NUMERIQUES TRIDIMENSIONNELLES
5 SIMULATIONS NUMERIQUES TRIDIMENSIONNELLES
5.1 EFFET DES DIMENSIONS DE LA CAVITE
5.1.1 Influence de la longueur
5.1.2 Influence de la profondeur
5.2 CONFRONTATION AUX DONNEES DE LA STABILITE LINEAIRE
5.2.1 La genèse de la convection
5.2.2 Caractère ondulatoire de l’écoulement
5.2.3 Mise en évidence des structures pleinement établies
5.3 INFLUENCE DES CONDITIONS AUX LIMITES
5.3.1 Conditions d’admission et zone d’entrée thermique
5.3.2 Conditions de sortie
5.4 ÉTUDE NUMERIQUE DE LA CONVECTION MIXTE SOUS EFFET SORET
5.4.1 Situation générale
5.4.2 Mécanique de la convection : Analyse numérique du diagramme de stabilité
5.5 ÉTUDE NUMERIQUE QUANTITATIVE DES ROULEAUX TRANSVERSAUX EN CONVECTION MIXTE SOUS EFFET SORET
5.5.1 Contexte général
5.5.2 Caractéristiques ondulatoire
5.5.3 Pulsations et vitesses de phases
5.5.4 Transferts thermiques et massiques
5.6 CONCLUSION SUR LES SIMULATIONS NUMERIQUES
6 CONCLUSION GENERALE
BIBLIOGRAPHIE
ANNEXE
7 ANNEXES
7.1 SCHEMAS D’INTERPOLATION
7.1.1 UPWIND Differencing Scheme (UDS)
7.1.2 Schéma puissance : Power law scheme
7.1.3 Central Differencing Scheme (CDS)
7.2 PHENOMENE DE DIFFUSION NUMERIQUE
7.3 INSTABILITE NUMERIQUE ET CONSISTANCE
7.3.1 Erreurs de Troncature TE
7.3.2 Erreurs d’arrondissements
7.3.3 Règles de stabilité de PATANKAR
7.3.4 Oscillations numériques
7.4 SOLVEURS
7.5 MAILLAGE ET TRAITEMENTS SPECIAUX
7.5.1 Grilles décalées
7.5.2 Nœuds imaginaire

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