Étude numérique des ondes de tête sur des surfaces irrégulières

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Applicabilité aux interfaces irrégulières du modèle ART d’onde de tête sur interface plane

L’ouvrage réalisé par Cerveny [3] sur la théorie des rayons appliquée aux ondes de tête traite principalement de la propagation en milieu isotrope sur une interface plane. Cependant Cerveny évoque le cas des interfaces non planes, ainsi que des milieux disposant de gradients de vitesse. Les cas envisagés sont indiqués sur la Figure 1.5 dans laquelle la propagation effective de l’onde de tête est représentée par les trajets avec des flèches bleues.
Figure 1.5 : Représentation du trajet d’ondes de tête se propageant sur des interfaces courbes ou présentant des gradients de vitesse (reproduite et traduite de [3]).
a) Interface plane et milieu présentant un gradient de vitesse du son positif suivant z .
b) Interface convexe.
c) Interface plane et milieu présentant un gradient de vitesse du son négatif suivant z .
d) Interface concave.
Les cas de la Figure 1.5a (gradient positif de vitesse) et de la Figure 1.5b (interface convexe) montrent la propagation d’ondes de tête d’interférence. Sur la Figure 1.5a, l’onde de tête générée à l’angle critique *  suit le trajet de réfraction critique : ce trajet implique des rebonds de proche en proche dans le volume du milieu inférieur sur l’interface séparant les deux milieux du fait de la présence du gradient de vitesse positif suivant la profondeur dans le milieu inférieur. Ce mécanisme de rebonds en volume est alors responsable de la propagation effective de l’onde de tête dans le volume que l’on observe sur la Figure 1.5a. Cette onde de tête est ensuite rayonnée à l’angle critique dans le milieu supérieur. Le cas de la Figure 1.5b est équivalent avec un mécanisme de rebonds dans le volume inférieur sur l’interface convexe de l’onde de tête générée à l’angle critique et un rayonnement à l’angle critique dans le milieu supérieur.
Les cas des Figure 1.5c (gradient négatif de vitesse) et de la Figure 1.5d (interface concave) sont équivalents et correspondent à la propagation d’une onde de tête amortie.
Dans les deux cas, l’onde de tête générée à l’angle critique ne suit plus le trajet de réfraction critique représenté par le tracé avec des flèches rouges sur la Figure 1.5c et la
Figure 1.5d. Une zone d’ombre dans laquelle aucune onde réfractée de volume ne peut se propager est induite par le gradient de vitesse négatif suivant la profondeur du milieu inférieur ou la concavité de l’interface et se forme entre l’interface et le trajet de réfraction critique. L’onde de tête se propage alors dans cette zone d’ombre en suivant l’interface.
Cerveny précise que la propagation de l’onde de tête dans une zone d’ombre induit une forte atténuation de son amplitude. Cependant l’onde de tête ainsi atténuée rayonne dans le milieu supérieur sans qu’il soit précisé si ce rayonnement se fait à l’angle critique.
Quatre critères sont donnés afin de déterminer si l’approche ART présentée dans l’ouvrage peut être étendue du cas d’une interface plane en milieu isotrope vers un cas plus complexe. Ces conditions concernent la nature de l’onde incidente donnant lieu à l’onde de tête, la géométrie de l’interface et le profil de vitesse du milieu de propagation :
– L’interface sur laquelle l’onde de tête est générée doit présenter des variations topologiques du premier ordre, c’est-à-dire que l’interface ne doit pas présenter d’irrégularités susceptibles de générer des phénomènes de diffraction lorsque l’onde de tête se propage.
– L’onde incidente arrivant sur l’interface doit être une onde ne présentant pas d’interférence avec une autre onde.
– L’onde de tête se propageant le long de l’interface ne doit pas interférer avec une autre onde.
– Le trajet de l’onde correspondant à une réfraction à l’angle critique sur l’interface doit suivre cette interface.
Les ondes de tête respectant ces conditions sont appelées ondes de tête pures, et il est possible d’appliquer sur ces dernières la théorie décrite dans l’ouvrage de Cerveny.
Les différents cas évoqués en Figure 1.5 ont été analysés par Cerveny à la lumière des conditions évoquées ci-dessus. La propagation de l’onde de tête sur la Figure 1.5a et sur la Figure 1.5b est due à un mécanisme de rebond en volume donnant lieu à un phénomène d’interférence incompatible avec la troisième condition, qui interdit toute interférence avec l’onde de tête. Les cas des Figure 1.5c et de la Figure 1.5d sont incompatibles avec la quatrième condition, à savoir que le rayon correspondant à l’onde de tête et celui de la réfraction critique doivent être confondus, car dans le cas de ces deux figures, le rayon correspondant à une réfraction à l’angle critique (tracé avec des flèches rouge) n’est plus parallèle à l’interface. Dans tous ces cas, le modèle d’onde de tête sur une interface plane ne peut plus être appliqué.
Cerveny montre ainsi l’effet de l’interface sur le mécanisme de propagation de l’onde de tête. L’irrégularité de l’interface peut induire une propagation dans le volume, et l’apparition de zone d’ombre provoque un effet d’atténuation de l’amplitude de l’onde.
Cependant, comme précisé dans l’ouvrage et indiqué sur la Figure 1.5, l’onde de tête, atténuée ou non, correspond à la vision classique valable sur géométrie plane d’une génération de l’onde en un point de la surface correspondant localement à l’incidence critique *  . Cependant le type d’interface irrégulière qui nous intéresse (interface plane présentant une irrégularité surfacique, comme l’affouillement qui sera présenté en section 1.2.1) n’étant pas explicitement étudiée par Cerveny, nous présentons ci-après une étude spécifique de l’onde de tête sur des géométries cylindriques correspondant au cas des Figure 1.5d (interface convexe) et Figure 1.5d (interface concave).

Cas d’une interface faiblement courbe (convexe ou concave)

I. Lerche [17] propose une modélisation analytique décrivant les effets d’une interface cylindrique faiblement courbe sur le signal de l’onde de tête dans un milieu 2D fluide stratifié. L’auteur utilise un modèle de décomposition en spectre d’ondes planes de la pression reçue au point d’observation [18] permettant d’obtenir l’amplitude de l’onde de tête se propageant sur la surface courbe par rapport à celle d’une onde de tête se propageant sur une surface plane de longueur équivalente. L’application de ce modèle au cas d’une surface convexe (respectivement concave) indique que l’onde de tête a une amplitude plus faible (respectivement grande) que dans le cas plan.
De la même façon, ce modèle exprime le temps de vol de l’onde de tête sur une surface courbe en fonction du temps de vol de l’onde de tête sur une surface plane de longueur équivalente. Les résultats obtenus montrent, dans le cas d’une interface concave, que le temps de vol de l’onde de tête augmente par rapport au cas d’une interface plane. L’auteur en conclut que l’onde de tête suit l’interface et voit donc son temps de vol allongé du fait de la concavité de l’interface. Dans le cas d’une interface convexe, le temps de vol de l’onde de tête est plus faible que celui d’une onde de tête qui se propagerait sur une surface plane. L’interprétation de ce résultat par l’auteur est que l’onde de tête se propage sur une distance plus courte que la longueur de l’interface, c’est-à-dire qu’il y a une propagation dans le volume.
En résumé, cette étude indique que la courbure de l’interface aurait un impact sur l’amplitude de l’onde de tête et qu’elle peut induire une propagation non plus surfacique mais volumique. Cependant les expressions (31) et (32) de l’article [17], qui donnent l’amplitude et le temps de vol de l’onde de tête sur une interface faiblement courbe, présentent un problème d’homogénéité et ne permettent pas de justifier les conclusions formulées par l’auteur et décrites dans le paragraphe précédent. En essayant de les redémontrer, nous n’avons pas pu retrouver les expressions douteuses ni les conclusions.
L’étude décrite dans cette section ainsi que celle de la section précédente porte sur des surfaces à géométrie non plane (surfaces cylindriques) dans le domaine géophysique, et permet de mettre en valeur l’influence essentielle de la géométrie de la surface sur les caractéristiques du signal de l’onde de tête. Cependant, comme indiqué dans l’introduction du manuscrit, notre étude porte sur des géométries irrégulières, c’est-à-dire comportant des irrégularités locales non planes, telle que la géométrie d’affouillement qui sera décrite dans la partie 1.2 de ce chapitre. Les études de cette section et de la section précédente concernent des géométries qui ne sont pas irrégulières mais analytiques, courbes avec un rayon de courbure invariant spatialement. Ces études ne sont donc pas suffisantes pour déterminer une approche de modélisation prévoyant les effets sur l’onde de tête d’irrégularités locales présentes sur des interfaces complexes. Nous présentons donc dans le paragraphe suivant des travaux concernant des surfaces dont la géométrie est irrégulière.

Étude numérique des ondes de tête sur des surfaces irrégulières

Zhou Hong et Chen Xiao-Fei [19] proposent en géophysique une étude de simulation numérique des ondes de tête dans des milieux stratifiés comportant des interfaces internes irrégulières. Les interfaces étudiées sont des interfaces planes comportant des irrégularités géométriques sous forme de pente ou de vallée (Figure 1.7), et correspondant donc aux interfaces sur lesquelles nous souhaitons modéliser la propagation des ondes de tête.
Pour effectuer la simulation de la propagation des ondes, les chercheurs utilisent une méthode numérique appelée SEMO (Legendre Spectral Element Method with Overlapped Elements), qui est dérivée de la méthode numérique spectrale s’appuyant sur une résolution par éléments finis spectraux utilisée classiquement en géophysique (la SEM, Spectral Element Method) [20]. La méthode SEMO, en utilisant un chevauchement des éléments finis, autorise un maillage du milieu s’approchant au mieux d’interfaces très irrégulières, et donc une simulation de la propagation des ondes plus précise que la méthode SEM. Les auteurs s’intéressent à la propagation d’ondes de type SH dans un fond marin constitué de deux strates : l’interface entre les deux strates est irrégulière et indiquée sur la Figure 1.6. L’interface entre l’océan et le fond marin n’est pas représentée ici. L’onde SH est émise par une source linéique S dans la strate supérieure près de l’interface entre les deux strates. Les fronts des ondes présentes dans les deux strates du fond marin à différentes étapes de la propagation, ainsi que l’amplitude de l’onde de tête en fin de propagation sont donnés en Figure 1.6 pour des configurations incluant des irrégularités de type vallée.
Figure 1.6 : Instantanés du champ SH issu d’une source S obtenus par simulation numérique avec la méthode SEMO au voisinage d’une interface de type vallée (reproduite de [19]).
L’onde incidente émise par la source linéique S (onde directe en noir dans la Figure 1.6) interagit avec l’interface irrégulière séparant les deux strates (Figure 1.6a). Cette interaction donne lieu à une onde réfléchie (en vert) et une onde transmise (en bleu) qui se propagent ensuite dans le fond marin (Figure 1.6b et Figure 1.6c). D’autre part, l’onde incidente se réfléchit sur l’interface (située au-dessus de l’extrémité haute des figures) séparant le fond marin stratifié de l’océan pour créer le front en vert sur la Figure 1.6d. Enfin, l’onde transmise (en bleu) interagit avec l’interface entre les deux strates pour former un front d’onde de tête (en rouge) sur la Figure 1.6a : cette interaction s’effectue tout d’abord à l’angle critique le long de la partie plane de l’interface et le front de l’onde de tête induit par cette interaction est plan. Au cours de la propagation, le front de l’onde transmise rencontre l’irrégularité de l’interface et l’interaction avec cette dernière ne se fait plus à l’angle critique : par conséquent, la forme du front de l’onde de tête se courbe au passage sur cette irrégularité, comme on peut l’observer Figure 1.6b et Figure 1.6c. Enfin, une fois l’irrégularité de l’interface franchie, au passage sur la seconde partie plane de l’interface, l’onde transmise se trouve de nouveau à l’incidence critique par rapport à celle-ci et rayonne un front d’onde de tête de nouveau plan, donnant lieu à la forme complexe observée de l’onde de tête sur la Figure 1.6d, constituée du rayonnement de l’onde transmise sur les parties planes de l’interface ainsi que sur l’irrégularité.
Afin de mieux comprendre les mécanismes donnant lieu à la propagation des ondes de tête dans le cas d’interfaces irrégulières, les auteurs comparent le temps de vol de l’onde de tête obtenu par simulations à celui calculé analytiquement en émettant différentes hypothèses sur la propagation de l’onde de tête autour des irrégularités. Ces hypothèses sont illustrées sur la Figure 1.7, et la comparaison des temps de vol mesurés et analytiques est effectuée sur la Figure 1.8.

Table des matières

INTRODUCTION GÉNÉRALE
CHAPITRE 1 : APPROCHE EN MODÉLISATION DE LA PROPAGATION DES ONDES DE TÊTE SUR DES GÉOMÉTRIES IRRÉGULIÈRES
RÉSUMÉ
INTRODUCTION
1.1. ÉTAT DE L’ART DE LA MODÉLISATION DES ONDES DE TÊTE SUR DES GÉOMÉTRIES NON PLANES
1.1.1. Applicabilité aux interfaces irrégulières du modèle ART d’onde de tête sur interface plane
1.1.2. Cas d’une interface faiblement courbe (convexe ou concave)
1.1.3. Étude numérique des ondes de tête sur des surfaces irrégulières
1.1.4. Conclusion sur l’état de l’art des ondes de tête sur des interfaces non planes en géophysique
1.2. CARACTÉRISATION EXPÉRIMENTALE DU SIGNAL DE L’ONDE DE TÊTE
1.2.1. Configurations d’étude
1.2.2. Résultats de l’acquisition expérimentale
1.3. ANALYSE DE LA PROPAGATION DES ONDES DE TÊTE PAR ÉLÉMENTS FINIS SUR DES SURFACES COMPLEXES
1.3.1. Principe de la simulation numérique
1.3.2. Géométries étudiées et configurations d’inspections
1.3.3. Étude des instantanés des champs simulés sur la géométrie à dièdres
1.3.4. Instantanés des champs simulés sur la géométrie cylindrique
1.3.5. Conclusion sur l’étude des instantanés du champ quant aux mécanismes de propagation
1.4. MÉTHODOLOGIE DE CALCUL SOUS FORME DE RAYONS DE LA PROPAGATION DE L’ONDE DE TÊTE
1.4.1. Présentation de la théorie des rayons
1.4.2. Les apports de la Théorie Géométrique de la Diffraction (GTD)
1.4.3. Méthode retenue pour modéliser l’onde de tête
1.4.4. Conclusion sur la méthode proposée de modélisation de l’onde de tête
CONCLUSION DU CHAPITRE
CHAPITRE 2 : DÉVELOPPEMENT D’UN ALGORITHME GÉNÉRIQUE DE TRACÉ DE RAYONS POUR LA DIFFRACTION D’ONDES SUR DES GÉOMÉTRIES IRRÉGULIÈRES
RÉSUMÉ
INTRODUCTION : ÉTAT DE L’ART EN TRACÉ DE RAYONS
2.1. CONFIGURATIONS TOFD TRAITÉES PAR L’ALGORITHME
2.1.1. Milieux de propagation
2.1.2. Interface irrégulière
2.1.3. Modes de propagation et conversion de mode
2.1.4. Défauts présents dans la pièce
2.2. PRINCIPES PHYSIQUES DU GRTT (GENERIC RAY TRACING TOOL)
2.3. FONCTIONNEMENT DE L’ALGORITHME DE TRACÉ DE RAYONS
2.3.1. Présentation du cas d’étude
2.3.2. Fonctionnement général de l’algorithme
2.3.3. Acquisition des données d’entrée
2.3.4. Discrétisation des interfaces de la pièce et ajout des défauts
2.3.5. Calcul du graphe orienté des longueurs élémentaires
2.3.6. Stockage de la nature des trajets élémentaires
2.3.7. Mise à jour du graphe orienté et de la nature des trajets élémentaires
2.3.8. Construction du graphe orienté des temps de vol élémentaires
2.3.9. Parcours optimisé du graphe orienté
2.3.10. Données de sortie
2.4. APPLICATION DE L’ALGORITHME DE TRACÉ DE RAYONS (GRTT)
2.4.1. Méthodologie
2.4.2. Résultats de simulation par GRTT dans une pièce présentant un affouillement
2.4.3. Validation de l’hypothèse de propagation de l’onde de tête sur l’affouillement
CONCLUSION DU CHAPITRE
CHAPITRE 3 : DÉVELOPPEMENT DE MODÈLES RAYON POUR LE CALCUL EN AMPLITUDE DE L’ONDE DE TÊTE
RÉSUMÉ
INTRODUCTION
3.1. MODÈLE DE DIFFRACTION ACOUSTIQUE SUR CYLINDRE ET DEMI-CYLINDRE
3.1.1. Solution analytique de la diffraction d’une onde cylindrique sur un cylindre vide en milieu fluide : méthode SOV (Separation of Variables)
3.1.2. Approximation asymptotique du rayon rampant sur un cylindre
3.1.3. Extension du modèle du rayon rampant au cas du demi-cylindre
3.1.4. Résultats de simulation du modèle de rayon rampant acoustique
3.2. MODÈLE ÉLASTIQUE DE DIFFRACTION SUR CYLINDRE
3.2.1. Expression de la diffraction d’une onde plane élastique sur un cylindre par la méthode SOV
3.2.2. Établissement de deux modèles rayon d’amplitude pour la propagation élastique sur un cylindre
3.2.3. Étude comparative par simulation de la méthode SOV et des modèles rayon d’amplitude
3.3. EXTENSION DES MODÈLES RAYON À LA GÉOMÉTRIE D’AFFOUILLEMENT
3.3.1. Description de la configuration
3.3.2. Études existantes du rayon rasant en acoustique et en élastodynamique
3.3.3. Modèle du rayon rasant
3.3.4. Modèle d’amplitude complet pour affouillement
3.3.5. Établissement par simulation de la divergence du rayon rasant
CONCLUSION
CHAPITRE 4 : VALIDATION DU MODÈLE DE SIMULATION DE L’ONDE DE TÊTE SUR INTERFACE IRRÉGULIÈRE
RÉSUMÉ
INTRODUCTION
4.1. INTÉGRATION DU MODÈLE COMPLET DANS CIVA
4.1.1. Principe de l’intégration
4.1.2. Cas d’une inspection TOFD avec une source et un récepteur ponctuels
4.1.3. Intégration du modèle SOV en champ lointain
4.1.4. Intégration de la modélisation CIVA pour le cas de capteurs étendus
4.2. VALIDATIONS THÉORIQUES DU TEMPS DE VOL DE L’ONDE DE TÊTE
4.2.1. Cas d’une saillie
4.2.2. Cas d’un demi-cylindre
4.2.3. Cas d’un affouillement
4.2.4. Cas d’une surface irrégulière quelconque
4.2.5. Conclusion sur la validation du temps de vol
4.3. VALIDATIONS THÉORIQUES DES MODÈLES D’AMPLITUDE DE L’ONDE DE TÊTE
4.3.1. Étalonnage
4.3.2. Cas de petits capteurs (1mm)
4.3.3. Cas de capteurs étendus
4.3.4. Conclusion sur la validation
4.4. VALIDATION EXPÉRIMENTALE DE LA MODÉLISATION DE L’ONDE DE TÊTE
CONCLUSION DU CHAPITRE
CONCLUSION GÉNÉRALE
BIBLIOGRAPHIE
ANNEXE A : EXTENSION DE L’ALGORITHME GRTT AU TRACÉ DE RAYONS DANS LES MILIEUX ANISOTROPES OU HÉTÉROGÈNES
A.1. Cas des milieux anisotropes
A.2. Cas de milieux hétérogènes
ANNEXE B : CONTRAINTES AVANCÉES SUR LE CALCUL DU TRAJET D’UNE ONDE PAR L’ALGORITHME GRTT
B.1. Cas d’un trajet avec la contrainte d’un unique point de passage parmi un ensemble de trois points, avec un seul quadruplet de modes de propagation
B.2. Contraintes avancées multiples avec un seul quadruplet de modes de propagation
B.3. Contraintes avancées multiples avec deux quadruplets de modes de propagation
ANNEXE C : COEFFICIENTS ET DÉVELOPPEMENT ASYMPTOTIQUE DU MODÈLE SOV SUR UN CYLINDRE VIDE EN MILIEU SOLIDE
C.1. Définition des coefficients du modèle SOV en milieu solide
C.2. Développement asymptotique du modèle SOV en milieu solide

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