ETUDE NUMERIQUE DE L’EQUATION DE SAINT-VENANT 2D

INTRODUCTION GENERALE

Il existe de nombreux problèmes physiques faisant intervenir les équations de SaintVenant. A titre d’exemple l’écoulement dû à la rupture du barrage, le processus de changement du lit d’une rivière ou l’écoulement et transport du sédiment. Le système de Saint-Venant est un système d’équations aux dérivées partielles non linéaires et hyperboliques. Dans le cas général, on ne peut pas résoudre cette équation analytiquement. Par conséquent, une résolution numérique de ce système d’équation s’impose. La simulation de l’écoulement d’eau peu profonde à surface libre revient à résoudre le système de Saint-Venant à l’aide d’un schéma numérique robuste c’est-à-dire capable de donner une solution numérique proche de la réalité quelles que soient les particularités de l’écoulement. L’objectif de ce travail est de connaitre comment établir les équations de Navier stockes qui permet d’obtenir les équations de Saint-Venant. Ensuite, établir une méthode numérique formulée en différences finies afin d’obtenir une forme discrétisée des équations, est une étape cruciale à la résolution du problème. Enfin, simuler l’évolution de la surface libre de l’eau à l’aide d’un programme Matlab. Dans ce travail, on s’intéresse plus particulièrement à la simulation numérique des écoulements d’un modèle régissant en eaux peu profondes. Le travail présenté dans ce mémoire est présenté comme suit : la première partie est consacrée à la présentation de l’équations de Navier-Stokes 3D. Dans la deuxième partie, on va établir les équations de Saint-Venant 2D. Après cela, on va entamer à la résolution numérique qui va nous procurer des équations discrétisées faciles à résoudre avec des logiciels tel que Matlab. Dans la dernière partie, on va se focaliser sur l’interprétation des résultats obtenus et la discussion.

Hypothèses simplificatrices

Les équations sont obtenues en faisant les hypothèses suivantes :
➢ La distribution de pression est hydrostatique (accélération verticale nulle).
➢ La pente du fond dans la direction verticale et longitudinale est faible, par conséquent la profondeur d’eau mesuré verticalement est approximativement la même que celle mesuré normalement au fond.
➢ La distribution de vitesse selon la verticale est uniforme.
➢ Les pertes de charges en écoulement transitoire peuvent être calculées en considérant les équations habituellement considérées en écoulement permanent.

Interprétation

Les figures ci-dessus représentent quelques résultats obtenus lors de la simulation. Ici, les résultats sont simulés jusqu’à l’instant t=298.88 s pour un maillage 𝑛 = 100 points. Comme le montre la figure 4, le système est au repos avec une hauteur d’eau ℎ = 1 𝑚. Dans la figure 5, la gouttelette d’eau heurte la surface libre de l’eau et initialise la propagation d’onde. Les schémas dans la figure 5 représentent tous l’évolution de la propagation de l’onde dans le temps et dans l’espace au temps t=20,64 s, 30,72s, 51,20 s, 113,76 s et 298,88 s. Une fois arrivée sur la frontière, l’onde se réfléchit. Ce phénomène se répète en boucle jusqu’au moment où l’on arrête la simulation. On remarque que l’amplitude de la marée reste faible par rapport à la profondeur.

Discussion

Etant donné que l’objectif de ce travail est de présenter une méthode numérique capable de résoudre les équations de Saint-Venant 2D, l’utilisation de la méthode des différences finis en faisant recours au schéma de Lax-Wendroff satisfait cet objectif. On a choisi ce schéma puisqu’il possède certains avantages par rapport à d’autres schéma numérique de résolution. Au cours de la simulation, on a pris comme hauteur d’eau ℎ = 1 ce qui vérifie bien la condition de faible profonde. En faisant quelque recherche et en faisant des comparaisons avec d’autres ouvrages qui ne tiennent pas compte de terme source, la force de Coriolis qu’on a considéré dans notre étude influence beaucoup le résultat. En fait, la présence de cette nous permet d’affirmer qu’on est proche malgré la négligence de certains termes. On a constaté au cours de la simulation qu’au début, la goutte d’eau initialise la propagation d’onde qui réfléchit la frontière. Puis, l’onde se propage partout sur la surface de l’eau et revienne une fois arrivé à la limite du domaine considéré. Même si l’utilisation de la méthode des différences finis et le schéma de Lax-Wendroff semble avantageux, cette méthode présente certains inconvénients et certaines limites qui peut influencer le résultat. A titre d’exemple, la méthode des différences finis n’a pas de solution faible en termes de solutions et il n’y a pas de souplesse de maillage en termes de choix de maillage contrairement à la méthode des éléments finis (MEF) et volumes finis (MVF). En MEF et MVD, le choix des maillages est multiple et les équations peuvent avoir une solution faible par discrétisation. C’est la raison pour laquelle certains auteurs préfèrent utiliser la méthode des volumes finis à la place de la méthode des différences finis pour résoudre l’équation de Saint-Venant. Par ailleurs, en tant qu’une équation en eau peu profonde, l’utilisation de l’équation de Saint-Venant se limite dans un domaine où la profondeur de l’eau est petite par rapport aux dimensions horizontales.

CONCLUSION

Au cours de ce travail, on s’est intéressé à la résolution et à la simulation numérique de l’équation de Saint-Venant bidimensionnel par la méthode des différences finis. On a présenté d’abord les modèles mathématiques de l’équation et après, on s’est intéressé à la résolution numérique du modèle Saint-Venant. Ainsi, pour faciliter la résolution numérique du modèle, on a utilisé le schéma de Lax-Wendroff, un schéma qui s’apparente à la méthode des différences finis. Par ailleurs, le résultat nous a permis de constater qu’après avoir propagé et réfléchi sur les frontières, les ondes reviennent et se propagent sur toute la surface de l’eau. En outre, le schéma utilisé durant l’étude présente certains avantages par rapport à d’autres schémas et méthodes. La simulation en deux dimensions qu’on a effectuée a presque satisfait notre objectif et le résultat qu’on a attendu mais pour avoir des résultats beaucoup plus satisfaisant et plus performant il faut faire une simulation numérique en trois dimensions en considérant toujours le force de Coriolis.

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Table des matières

REMERCIEMENTS
LISTE DES ABREVIATIONS
LISTE DES NOTATIONS
LISTE DES FIGURES
INTRODUCTION GENERALE
CHAPITRE I : MODELISATION MATHEMATIQUES DES ECOULEMENTS DES EAUX PEU PROFONDES ET INCOMPRESSIBLES : EQUATIONS DE NAVIER-STOCKES
I.1. Introduction
I.2. Eaux peu profondes
I.3. Hypothèses simplificatrices
I.4. Equations de Navier-Stockes 3D hydrostatiques
I.4.1. Théorème de transport
I.4.1.1. Rappel sur la formule de Leibniz
I.4.1.2. Généralisation sur les intégrales multiples (intégrales sur volumes au lieu des intégrales sur intervalles) : théorème de transport
I.4.2. Conservation de masse
I.4.3. Conservation de la quantité de mouvement
I.4.4. Formes explicites
I.4.4.1. Equation de conservation de masse
I.4.4.2 Equation de conservation de quantité de mouvement
I.4.5. Conditions aux limites
I.4.5.1. Méthodes des surfaces de niveau
I.4.5.2. Condition limite à la surface libre
I.4.5.3. Condition limite au fond
CHAPITRE II : INTEGRATION SUR LA VERTICALE : OBTENTION DE L’EQUATION DE SAINT-VENANT 2D
II.1. Moyenne de l’équation de conservation de la masse
II.2. Moyenne de l’équation de conservation de la quantité de mouvement
II.3. Equations de Saint-Venant
II.3.1.1. Formulation « vitesse-hauteur d’eau »
II.3.1.2. Formulation « débit unitaire-hauteur d’eau »
II.3.2. Equation sous-forme non conservative.
II.3.2.1. Formulation « vitesse-dénivellation » avec (u , v) et zs
II.3.2.2. Formulation « débit-dénivellation » avec (qx , qy ) et zs
CHAPITRE III : RESOLUTION NUMERIQUE PAR LA METHODE DE DIFFERENCE FINIE
III.1. Choix de l’espace discrétisé –maillage
III.2. Estimation de la solution sur les interfaces
III.3. Estimation des flux sur les interfaces
III.4. Estimation de la dérivée temporelle
III.5. Méthode de résolution numérique par le schéma de Lax-Wendroff
III.5.1. Présentation du schéma de Lax-Wendroff
III.5.1.1. 1er cas : cas linéaire
III.5.1.1.1. Méthode Lax-Wendroff : Méthode de partage 2D
III.5.1.1.2. Méthode de Lax-Wendroff : Méthode 2D couplée
III.5.1.2. 2ème cas : cas non-linéaire
III.5.2. Imposition des conditions frontières
III.5.3. Condition CFL (Courant-Friedrichs-Lewy)
III.6. Programme MATLAB
III.6.1. Initialisation de la propagation de l’onde gravitationnel
III.6.2. Remarque
III.6.3. Comment sont stockés les flux ?
III.6.3. Les termes de flux à mi- pas
III.6.4. Les termes de flux pour un pas de temps complet
III.6.5. Conditions frontières
III.6.6. Discrétisation des équations de saint venant
CHAPITRE IV : RESULTAT, INTERPRETATION ET DISCUSSION
IV.1. Résultat
IV.2. Interprétation
IV.3. Discussion
CONCLUSION
BIBLIOGRAPHIE