Soutenance mémoire
La loi de Darcy formulée par Henry Darcy en 1856 constitue une base de l’étude des écoulements souterrains. Elle est fondée sur les expériences de Darcy basée sur le traçage isotopique et justifiées par la théorie correspondant à un écoulement de Stokes en milieu poreux. En effet, le problème de Stokes est au cœur de la simulation numérique en mécanique des fluides. Une bonne compréhension des difficultés reliées à sa discrétisation par la méthode des élément finis ouvre la voie à toute une panoplie d’applications.
Présentation de la méthode d’Homogénéisation des Structures Périodiques
Historique
Les théories des milieux effectifs visent à estimer les propriétés effectives (c’est à dire macroscopique) d’un milieu en fonction des propriétés locales de chacun des constituants ainsi que d’un certain nombre d’information sur la microstructure. Les premières théories remontent au XXe siècles et sont dues à Mossoti ; Maxwell, Poisson et Lorenz. Le but de ces modèles est de fournir soit des bornes pour le comportement effectif, soit des approximations du comportement effectif. Les bornes sont optimales lorsqu’il existe une microstructure particulière qui réalise exactement le modèle physique. On évalue les propriétés de ces théories en les confrontant à des résultats théoriques, calculs analytiques et numériques. Ces théories sont utilisées pour les problèmes de conductivité (milieu diélectrique) en mécanique, magnétique, thermique, lorsque l’on a des phases de conductivité, des coefficient thermiques variables. Ces problèmes sont en général très difficiles à résoudre (non-linéaire et anisotropes) lorsqu’en même temps il est nécessaire de tenir compte l’ensemble des degrés de liberté en ces systèmes. L’existence d’un comportement effectif n’est nullement assurée. On montre que, sous certaines hypothèses (en particulier l’existence d’une volume élémentaire représentatif), on peut effectivement remplacer un matériau hétérogène par un milieu homogène équivalent. Enfin, d’un point de vue purement numérique, ces méthodes peuvent être utilisées pour simplifier un système à résoudre pour que cela ait un sens physique.
Les différentes méthodes d’homogénéisation
homogénéisation idéale
L’idéal dans une homogénéisation c’est de pouvoir à partir de la connaissance à l’échelle des hétérogénéités :
– des équations de conservation, des bilans ou d’états
– des rhéologies
– de la valeur des différentes paramétrés
– de la géométrie et à l’échelle moins riche macroscopique :
– des équations de conservation, des bilans ou d’états
– des rhéologies
– les coefficients effectifs
– les grandeurs physiques
– les conditions aux limites.
Inversement, une telle homogénéisation devrait permettre de déterminer les champs locaux (microscopique) des grandeurs physiques à partir de la connaissance des valeurs macroscopiques de celles -ci. On verra plus loin, que seule la méthode d’homogénéisation des structures périodiques peut répondre à cette dernière exigence.
Technique d’homogénéisation
Notons que les techniques d’homogénéisation ne sont pas que des artefacts, des trucs et astuces. Certaines des grandeurs physiques que nous utilisons tous les jours ne sont que des moyennes. Le meilleur exemple en est la pression, les vitesses. Bien qu’en un point donné d’un gaz ; on voit passer les particules allant en tous sens, on constate également à une échelle plus grande macroscopique, un schéma d’ensemble qui permet de définir par exemple la pression qu’exerce le dit fluide sur une paroi. Pourtant rien de cohérent ne se dégage à l’échelle microscopique.
Outre les techniques d’homogénéisation proprement dites, il y a les passages directs à la description macroscopique, par des études phénoménologiques, c’est à dire en ne faisant aucune hypothèse à l’échelle des hétérogénéités. Il existe à l’heure actuelle différentes techniques d’homogénéisation. Cette technique, dont les concepts de base sont présentés dans cette partie, fera dans la partie suivante, l’objet d’une étude plus détaillée dans l’application au milieu poreux. Notons déjà que dans ces différentes techniques, la notion de séparation des échelles est introduite, et le passage micro-macro se fait par la moyenne.
Modélisation statistique
Cette méthode est utilisée pour modéliser les matériaux à structures aléatoires et principalement les matériaux élastiques. Les hypothèses introduites dans cette méthode sont :
– La séparation des échelles. Cette hypothèse n’est pas clairement énoncée mais elle est présente, surtout dans le passage micro-macro. En effet, le milieu est infini.
– Le matériau a une structure aléatoire.
– Ergodicité : moyenne d’ensemble égale à la moyenne de volume. On suppose également, que le milieu est infini, et les tenseurs de contrainte et de déformation ont une propriété de stationnarité.
On impose également la contrainte suivant :
< σe >=< σ > . < e >
cette dernière contrainte est restrictive car elle impose que la contrainte macroscopique est < σ >, que le tenseur taux de déformation est < e >, et en outre que le milieu continu équivalent est élastique. A partir de ces hypothèses, et après usage de fonction de Green fictive, mais parfaitement connue, la méthode permet d’obtenir la relation suivante :
< σ >= Cef f < e >
ou Cef f est le coefficient effectif d’élasticité.
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Table des matières
Introduction
1 Présentation de la méthode d’Homogénéisation des Structures Périodiques
1.1 Historique
1.2 Les différentes méthodes d’homogénéisation
1.2.1 homogénéisation idéale
1.2.2 Technique d’homogénéisation
1.3 La méthode d’Homogénéisation des Structures Périodiques (HSP)
1.3.1 Les motivations des développements asymptotiques des fonctions localement périodiques
1.3.2 Extensions aux milieux composites
2 Représentation du problème de l’écoulement des fluides visqueux newtoniens en milieux poreux
2.1 Introduction de milieu poreux
2.2 Position du problème
2.2.1 Écoulement permanent de fluide incompressible – loi de Darcy
2.2.2 Établissement des équations qui donnent kij et ai
2.3 Comportement macroscopique – Loi de Darcy
2.4 Dépendance de la perméabilité
3 Méthode numérique des équations et résultats
3.1 Les matériels
3.1.1 Matlabs
3.1.2 Gmsh
3.2 La méthode de résolution
3.2.1 Cadre fonctionnelle
3.2.2 Formulation Variationnelle
3.2.3 Méthode des éléments finis
3.2.4 Maillages
3.2.5 Les systèmes matriciels
3.2.6 Assemblage des matrices
3.2.7 Résolution numérique de la vitesse et du pression
3.3 Résultats
3.3.1 Les essais de convergence à travers les différentes valeurs des paramètres γ; r; et n
3.3.2 Résultats de la simulation numérique
3.3.3 Application de la loi de Darcy
Conclusion
