Etude mécano-fiabiliste et réduction du modèle des problèmes vibro-acoustiques à paramètres aléatoires

L’interaction fluide-structure concerne l’étude du comportement d’un solide en contact avec un fluide, dont la réponse peut être fortement affectée par l’action du fluide. Ces phénomènes sont courants et sont parfois à l’origine du fonctionnement de certains systèmes, ou au contraire manifestent un dysfonctionnement. Les vibrations altèrent l’intégrité des structures et doivent pouvoir être prédites afin d’éviter l’usure accélérée du système par fatigue du matériau, voire sa destruction lorsque les vibrations dépassent un certain seuil. On comprend bien alors l’importance d’établir au préalable de toute réalisation des modèles fiables permettant de prédire de tels comportements.

Actuellement, de multiples problèmes de couplage fluide-structure [2, 97, 105, 128, 129] se posent, par exemple, en génie environnemental dans le cas du transport de produits toxiques fluides, dans le cas de l’écoulement autour des pales d’éolienne, dans l’industrie automobile, dans le domaine aéronautique et aéro-acoustique, dans l’industrie de transport, et en industrie navale où l’étude de la réponse des systèmes couplés reste un sujet délicat et encore peu maîtrisé. L’étude de ces phénomènes nécessite des analyses vibro-acoustiques, ce qui a engendré des recherches scientifiques spécifiques sur le comportement des structures à moyennes et hautes fréquences [42, 46, 51, 91, 127, 130].

Le traitement analytique des problèmes de couplage fluide-structure n’est possible que pour des géométries simples, omniprésentes dans les cas académiques et rarement observées dans la réalité, telles que les carrés [104], les cylindres [87], les sphères [50], etc. En effet, pour ces géométries, la résolution se fait habituellement à partir de familles de fonctions sphériques ou cylindriques. A titre d’exemple, on mentionne les travaux de Felippa et Geers [50], dans le cas des vibrations d’une structure axisymétrique en interaction avec un fluide parfait, où la solution se fait par une décomposition en série des polynômes de Legendre de chacune des variables associée à la structure et l’utilisation des fonctions de Bessel. Ensuite, en relation avec les conditions de continuité à l’interface fluide structure, on obtient une formulation algébrique dont la solution permet d’accéder aux variables physiques. Par contre, la résolution analytique des cas réels est très difficile voire impossible. Dans ce cas, la résolution se fait par des méthodes numériques tellesque la méthode des éléments finis. L’outil numérique, longtemps bridé par le manque de puissance des ordinateurs, est maintenant couramment utilisé et les modèles qui y sont implémentés sont de plus en plus performants. Ces modèles numériques permettent pour une configuration donnée de déterminer, par exemple, les déformations d’un solide et la physique de l’écoulement. L’intérêt dans un contexte industriel est de pouvoir ainsi optimiser la forme et la structure des matériaux à utiliser à partir des résultats numériques, ou effectuer un contrôle actif.

Dans le cadre des études vibro-acoustiques des systèmes couplés fluide-structure modélisés par la méthode des éléments finis [9, 49, 71, 92, 128], on doit ajouter tous les degrés de liberté du domaine fluide à ceux de la structure. Cependant, la complexité des phénomènes étudiés se répercute par des coûts de calculs prohibitifs. Donc, il est envisageable de construire des modèles d’ordre réduit pour ces problèmes en s’appuyant sur les techniques de réduction développées dans chacun des deux domaines (structure et fluide). Ce qui nous amène à rechercher des modèles réduits dont le temps du calcul serait plus réaliste [46, 106, 124, 125]. Par modèle réduit, on entend l’écriture des systèmes de faibles dimensions obtenus à partir de l’analyse d’une formulation numérique classique. De plus, l’obtention des systèmes de faibles dimensions, dont le temps du calcul est alors rapide, permet d’effectuer un contrôle actif, ce qui n’est pas le cas avec une modélisation numérique classique. La construction de ces modèles réduits permettra aussi l’étude des phénomènes physiques des instabilités de couplage qui sont souvent difficiles à prédire. Ce problème est stratégique et intéresse de nombreux secteurs. C’est pour celà que l’on souhaite, dans le cadre de ce travail de thèse, consacrer un thème sur les modèles d’ordre réduit, où on présente les différents aspects de l’interaction fluide-structure dans le contexte vibro-acoustique. La réduction du modèle sera présentée dans un nouveau cadre d’analyse et de synthèse modale.

Traditionnellement, le dimensionnement des systèmes mécaniques couplés est fondé sur une démarche déterministe dans laquelle l’ensemble des paramètres géométriques et mécaniques prennent une valeur fixe. Cette approche utilise, par conséquent, une marge volontairement péssimiste conduisant le plus souvent à un surdimensionnement injustifié. Précisément, les paramètres incertains sont décrits par une valeur caractéristique défavorable. Associée à des cœfficients de sécurité, l’analyse conduit alors à une réponse binaire (sûreté ou défaillance) visà vis d’un critère donné, qui traduit d’une certaine manière la confiance que l’on peut accorder à ce dimensionnement précis [4, 42, 43, 52, 84]. La prise en compte de l’incertain dans les analyses mécaniques est en effet une condition indispensable pour un dimensionnement optimal et robuste. Coupler modèles mécaniques et données incertaines permet d’étudier d’une part la fiabilité de composants ou de systèmes et, d’autre part, l’influence de la variabilité des paramètres sur leur comportement.

La nature incertaine des phénomènes mis en jeu sur les systèmes mécaniques considérée (variabilités des propriétés des matériaux, imprécisions géométriques, aléas des chargements appliqués,..), a un impact significatif sur les performances du système. Aussi, il est indispensable d’intégrer ces incertitudes de façon à travailler sur des modélisations réalistes. Dans la démarche probabiliste en revanche, on construit une modélisation stochastique dans laquelle les données incertaines sont représentées par des variables aléatoires [19, 52, 126, 137]. On peut, ensuite, évaluer la probabilité de défaillance de la structure (aspect quantitatif) ainsi que mesurer la sensibilité de cette probabilité par rapport à chacune des variables aléatoires introduites (aspect qualitatif). Dans le cadre de cette thèse, on se focalisera sur la fiabilité des systèmes d’interaction fluidestructure entre une structure élastique et un fluide compressible, auxquels sont associés deux matériaux [88–90]. Dans ce contexte, l’analyse fiabiliste se décline en trois étapes :
i) en premier lieu, la sélection des variables aléatoires de base, qui vont intégrer les incertitudes mises en jeu à travers leur loi de distribution,
ii) dans un second temps, le choix d’une fonction de performance définissant la défaillance du système,
iii) enfin, le calcul des indicateurs de fiabilité, qui vont fournir une évaluation quantitative et qualitative de la fiabilité de celui-ci.

Présentation des problèmes vibro-acoustiques 

La vibro-acoustique vise à étudier un ou plusieurs fluides compressibles en contact avec un solide élastique dont la réponse peut être fortement affectée par l’action du fluide. L’étude de ce type d’interaction est motivée par le fait que les phénomènes résultants sont parfois catastrophiques pour les structures mécaniques ou constituent dans la majorité des cas un facteur dimensionnant important. Le fluide est caractérisé par son champ de pression et de vitesse. Il exerce des forces (aérodynamiques ou hydrodynamiques) sur l’interface du solide qui se déplace et/ou se déforme sous leurs actions. Le déplacement et/ou la déformation du solide affecte, au moins localement, le champ de l’écoulement et ainsi les charges aérodynamiques. Ce cycle d’interactions entre le fluide et le solide caractérise le couplage entre les deux milieux. La nature de ce couplage dépend des systèmes et, dans certains cas, on ne peut considérer que l’action du fluide sur le solide (ou l’inverse). On parle alors du couplage faible. Dans le cas contraire, les deux actions sont significatives et le couplage est dit fort. Cela se traduit par le fait que la modification d’un seul des paramètres déstabilise le cycle entier qui doit converger vers un nouvel état d’équilibre .

Actuellement, multiples problèmes vibro-acoustiques se posent, par exemple, en génie environnemental dans le cas du transport de produits toxiques fluides, dans le cas de l’écoulement autour des pales d’éolienne, dans l’industrie automobile, dans le domaine aéronautique et aéroacoustique, dans l’industrie de transport, et en industrie navale où l’étude de la réponse des systèmes couplés reste un sujet délicat et encore peu maîtrisé [78, 109, 136]. L’étude de ces phénomènes nécessite des analyses vibro-acoustiques, ce qui a engendré des recherches scientifiques spécifiques sur le comportement des structures à moyennes et hautes fréquences .

Equation du problème dynamique

On se place dans l’hypothèse des petites perturbations en élasticité linéaire. Les équations locales, sont obtenues en écrivant dans un repère galiléen (absolu), à chaque instant t, que pour toute partie Ωs d’un système matériel Ω , le torseur dynamique de Ωs est égal au torseur des forces extérieures s’exerçant sur Ωs et les équations d’équilibre s’écrivent :

∇σs + f = ρsu dans Ωs

où :

– σs est le tenseur symétrique des contraintes de Cauchy ;
– f est le vecteur des répartitions volumiques de force ;
– ¨u est l’accélération au point M, où le champ des déplacements est u.

Equations du problème vibro-acoustique

Il existe deux procédures de traiter les problèmes couplés fluide-structure. La première consiste à résoudre de façon simultanée toutes les équations couplées en combinant l’ensemble des degrés de liberté associés à chaque modèle au sein d’une seule et même matrice de résolution. Un tel couplage est alors qualifié de fort. La seconde consiste à résoudre les équations de manière séquentielle, en fixant à tour de rôle l’ensemble des paramètres d’un modèle, durant l’itération de l’autre modèle. C’est ce que l’on appelle un couplage faible. L’avantage de la première méthode est qu’elle est susceptible de fournir des résultats plus précis, mais au prix de temps du calcul trop élevé. La seconde méthode, quant à elle, elle permet de bénéficier de la vitesse du calcul des solveurs spécialisés, mais avec des risques d’instabilité plus grands ainsi avec une précision sur les résultats [2, 129]. Pour modéliser ce problème, plusieurs formulations ont été proposées dans la littérature. Parmi ces formulations nous trouvons :

1. La formulation variationnelle classique en terme de déplacement u pour la structure et en terme de pression p pour le fluide (l’intérêt de cette formulation est d’avoir une seule inconnue par nœud mais conduit à un système matriciel non symétrique) [49, 77, 89, 136] ;
2. La formulation variationnelle en terme de déplacement u pour la structure et en terme de pression moyenne pm pour le fluide (l’avantage de ce modèle numérique consiste à simuler la cavité fluide à une surface et donc à la mailler par des éléments finis bidimensionnels. En revanche, ce modèle est utilisable seulement aux cavités d’épaisseur faible devant la longueur d’onde acoustique) ;
3. La formulation variationnelle en (u, γ, p), elle repose sur la description de la structure par deux champs vectoriels (le déplacement u et l’accélération γ de la structure, pour un problème harmonique en temps γ = −ω2 .u) et le fluide par un seul champ scalaire (la pression p de la cavité du fluide), l’intérêt de l’utilisation de cette formulation est d’avoir un système symétrique. En revanche, elle présente l’inconvénient d’avoir un système de grande taille ;
4. La formulation variationnelle en (u, p,φ), elle repose sur la description de la structure par son champ de déplacement u et le fluide par deux champs scalaires (pression p et le potentiel des vitesses φ). Cette formulation présente l’intérêt d’avoir un système matriciel symétrique de grande taille, après discrétisation par éléments finis [89, 90, 128, 129] ;
5. La formulation variationnelle en (u, p,φ), elle repose sur la description de la structure par son champ de déplacements u et le fluide par deux champs scalaires (pression p et le potentiel des déplacements φ). Cette formulation présente l’intérêt d’avoir un système matriciel symétrique contenant tous les degrés de liberté du problème .

Table des matières

Introduction générale
I Présentation des problèmes vibro-acoustiques
1 Introduction
2 Equation du problème acoustique
3 Equation du problème dynamique
4 Equations du problème vibro-acoustique
4.1 Présentation du problème
4.2 Conditions aux limites et du couplage
4.3 Formulation du problème couplé fluide-structure non symétrique
4.4 Formulation du problème couplé fluide-structure symétrique
5 Approximation par la méthode des éléments finis
5.1 Discrétisation du problème couplé non symétrique
5.2 Discrétisation du problème couplé symétrique
6 Application aux plaques immergées
6.1 Etude du comportement vibro-acoustique d’une plaque élastique au sein d’une cavité acoustique
6.1.1 Equations du problème couplé fluide-structure
6.1.2 Formulation variationnelle du fluide
6.1.3 Formulation variationnelle de la plaque
6.1.4 Formulation du problème couplé
6.2 Résultats numériques
7 Application à l’étude d’un barrage
7.1 Présentation du problème
7.2 Formulation du problème couplé
7.3 Résolution numérique par la méthode des éléments finis
7.4 Résolution analytique
7.5 Comparaison des résultats
8 Conclusion
II Réduction de modèles par analyse et synthèse modales
1 Introduction
2 Réduction de modèle par analyse modale
2.1 Condensation par superposition modale du problème dynamique
2.2 Condensation par superposition modale du problème acoustique
2.3 Condensation par superposition modale du problème vibro-acoustique
3 Calcul des modes vibro-acoustiques par superposition modale
3.1 Mise en équation
3.2 Formulation variationnelle du problème élasto-acoustique
3.3 Discrétisation par éléments finis
3.4 Calcul des modes élasto-acoustiques
3.5 Résultats numériques
3.5.1 Analyse modale numérique d’une plaque 2D immergée dans l’eau
3.5.2 Analyse modale numérique d’une plaque 3D immergée dans l’eau
3.5.3 Analyse modale numérique d’un solide 3D immergé dans l’eau
4 Réduction de modèle par synthèse modale
4.1 Introduction
4.2 Position du problème
4.3 Mise en équations du problème
4.4 Les formulations variationnelles
4.5 Approximation par éléments finis
4.6 Synthèse modale
5 Application numérique à une hélice de bateau
5.1 Hélice du bateau à quatre pales
5.1.1 Introduction
5.1.2 Facteurs de rendement de l’hélice
5.1.3 Définition de la géométrie d’une hélice
5.1.4 Cavitation
5.2 Résultats numériques
6 Conclusion
III Fiabilité des systèmes
1 Introduction
2 Problématique
3 Position d’un problème de fiabilité des structures
3.1 Modélisation d’un problème de fiabilité des structures
3.2 Modèle mécanique déterministe
3.3 Aléas et modélisation probabiliste
3.4 Variables aléatoires de base
3.4.1 Description des incertitudes
3.4.2 Description des variabilités
3.5 Fonction de performance
3.6 Point de conception
3.7 Transformation des variables de base
3.8 Modes de défaillance d’une structure
3.9 Probabilité de défaillance d’une structure
4 Calcul de la probabilité de défaillance
4.1 Calcul de la probabilité de défaillance par les méthodes de simulation
4.2 Calcul de la probabilité de défaillance à partir d’un indice de fiabilité
4.2.1 Indice de Rjanitzyne-Cornell
4.2.2 Indice de Hasofer et Lind
4.3 Méthode FORM
4.4 Méthode SORM
4.5 Méthode des surfaces de réponse
4.5.1 Principe et définition
4.5.2 Enjeux des surfaces de réponse en fiabilité
4.5.3 Stratégies de construction des surfaces de réponse
IV Etude numérique du couplage mécano-fiabiliste
1 Introduction
2 Description de l’algorithme proposé
3 Plaque 2D sèche et immergée
3.1 Calcul probabiliste
3.2 Calcul de fiabilité
4 Plaque 3D sèche et immergée
4.1 Calcul probabiliste
4.2 Calcul de fiabilité
5 Bloc 3D immergé dans l’eau
5.1 Calcul probabiliste
5.2 Calcul de fiabilité
6 Hélice du bateau à quatre pales
6.1 Calcul probabiliste
6.2 Calcul de fiabilité
7 Interprétation et discussion
8 Conclusion
Conclusion générale

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