Soutenance mémoire
Les écoulements dans le sol ont été très étudiés depuis une cinquantaine d’années pour comprendre comment un liquide s’écoule en milieu poreux, avec des applications à la géothermie et en ingénierie pétrolière, par exemple pour la récupération des hydrocarbures. Plus récemment, différents organismes se sont intéressés à l’étude de la pollution des sols, à la restauration biologique des nappes acquifères, au stockage du CO2 dans des gisements déplétés ainsi qu’au stockage des déchets radioactifs dans le sol.
Milieux poreux
Un milieu poreux est un domaine dont la phase solide est fortement imbriquée avec la phase fluide. On modélise classiquement un sol par une matrice solide (le grain) et un espace interstitiel (constitué de pores) perméable à travers lequel s’effectuent des échanges de masse fluide. Cet espace est connexe par arcs, deux points de la partie fluide sont liés par un trajet entièrement intérieur à l’espace interstitiel . Deux grandeurs macroscopiques décrivent un milieu poreux :
• Pour un volume élémentaire donné, centré en un point x du milieu, la porosité (« fraction de vide ») φ(x) est le rapport (sans dimension) entre le volume occupé par les pores et le volume total élémentaire.
• La perméabilité intrinsèque K ne dépend que de la géométrie du milieu, et indique l’aptitude de celui-ci à être traversé par un écoulement. Lorsque le milieu est isotrope, la perméabilité K est indépendante de la direction, et une perméabilité scalaire suffit à le décrire. Sinon, le milieu est dit anisotrope, et la perméabilité K prend la forme d’un tenseur symétrique [36] .
Récupération de pétrole
La récupération du pétrole se fait en plusieurs étapes, les deux premières étapes représentent l’enjeu du présent travail.
Récupération primaire
Au début de la production dans un champ de pétrole, le pétrole est récupéré typiquement par suite de l’expansion des fluides du réservoir qui est naturellement produite par pression à l’intérieur de la formation productrice. La seule force naturelle présente pour déplacer le pétrole à travers la rocheréservoir pour le puits de forage est la différence de pression entre la pression la plus élevée dans la formation rocheuse et la pression la plus faible dans le puits de production. Différents types de pompes sont souvent utilisés pour réduire la pression dans le puits de forage, ce qui augmente ainsi la différence de pression. En même temps, il existe de nombreux facteurs qui agissent pour empêcher la circulation de pétrole, selon la nature de la formation et les propriétés des fluides, tels que la pression, la perméabilité, la viscosité et la saturation en eau. Cette étape de production, dite « récupération primaire », récupère seulement une petite fraction de pétrole initialement en place dans une formation de production, allant typiquement de 10% à 25%.
Récupération secondaire
Après la phase de récupération primaire, des techniques de « récupération secondaire » sont mises à la place, dans lesquels des fluides externes sont injectés dans un réservoir pour augmenter la pression du réservoir et déplacer le pétrole vers les puits de forage. Les techniques de la récupération secondaire se traduisent souvent par une augmentation de la production et des réserves issues de la récupération primaire. L’injection d’eau, une forme de récupération secondaire, fonctionne par recompression d’un réservoir à travers l’injection d’eau, autrement dit pousser à l’extraction du pétrole des puits de forage. L’injection d’eau remplace la perte de pression dans le réservoir qui est due à la production primaire de pétrole et de gaz.
Un réservoir qui a eu tous les fluides produits remplacés par injection est à 100% plein. En général, la production de pétrole à partir de l’injection d’eau se produit à 100% de remplissage en place. Le fait d’estimer le pourcentage de remplissage en place qui a eu lieu, ou quand un réservoir est rempli entièrement, est soumis à une grande variété de techniques géologiques d’incertitudes. Suite à l’eau injectée, les fluides produits contiennent à la fois l’eau et le pétrole, où la quantité relative d’eau augmente de plus en plus au cours du temps. Les équipements de surface sont utilisés pour séparer le pétrole de l’eau. Le pétrole, par le biais des pipelines ou des bassins de rétention, est transmis pour la vente et l’eau déjà recyclée, sera utilisé de nouveau pour les installations d’injections. En général, le projet de récupération secondaire permet une extraction supplémentaire de pétrole de 10% à 20%, de la quantité initiale présente dans le réservoir.
Formulation mathématique
Dans cette section nous fournissons le cadre physique général pour d’écrire l’écoulement des liquides dans un milieu poreux en présence d’une phase ou de deux phases. Nous établissons les équations aux dérivées partielles (EDPs) régissant ces écoulements. L’objectif est de rappeler l’origine physique des coefficients qui apparaissent dans les EDPs et les diverses lois de fermeture permettant de bien poser le problème.
Loi de Darcy
L’étude des écoulements dans les milieux poreux a été réalisée par l’ingénieur Darcy en 1856, cette étude est parue dans « Mémoire sur les fontaines publiques de la ville de Dijon ». Les enquêtes d’Henry Darcy (1856) sur l’hydrologie de l’approvisionnement en eau de Dijon et ses expériences sur la circulation unidirectionnelle en régime permanent en milieu uniforme ont révélé une proportionnalité entre le débit et la différence de pression appliquée. Il a mis en évidence une relation linéaire entre la vitesse et le gradient de pression appliqué de part et d’autre du matériau poreux. La loi de Darcy s’applique à un milieu poreux homogène et isotrope parcouru par un écoulement à faible vitesse.
Les vérifications expérimentales de la théorie de Brinkman ont été indirectes et peu nombreuses. Lundgren [52] se réfère à des mesures de flux à travers des réseaux cubes de perles sphériques sur des fils, ce qui correspond assez bien à la formule de Brinkman pour la perméabilité en fonction de la porosité. Levy (1981) a montré que le modèle de Brinkman ne contient que des particules dont la taille est d’ordre η3 , où η(≪ 1) est la distance entre les particules voisines. Pour les particules plus grandes, la filtration des fluides est régie par la loi de Darcy et, pour les particules plus petites, le flux ne s’écarte pas de cela pour aucune particule.
Durlofsky et Brady [32], en utilisant une approche de fonction de Green, ont conclu que l’équation de Brinkman était valable pour φ > 95%. Rubinstein [62] a introduit un milieu poreux ayant un très grand nombre d’échelles et a conclu qu’il pourrait être valable pour φ > 80%.
Nous concluons que le terme laplacien est en effet nécessaire lorsque la condition « no-slip boundary » est satisfaite, et encore lorsque la porosité est suffisamment grande. Il existe des situations dans lesquelles certains auteurs ont trouvé que c’est pratique d’utiliser l’équation de Brinkman. Une telle situation est celle où l’on souhaite comparer les flux dans les milieux poreux avec ceux dans les fluides purs. L’équation de Brinkman a un paramètre K (la perméabilité) de sorte que l’équation se réduit à une forme de l’équation de Navier-Stokes quand K → ∞ et à l’équation de Darcy quand µ˜ → 0.
Écoulement monophasique
En présence d’un seul fluide (gaz, huile ou eau..), l’écoulement est dit écoulement monophasique. Ce modèle a été utilisé par exemple pour le gisement gazier. L’équation de conservation de la masse décrit la dynamique de l’écoulement :
φ(x)∂t(ρ(p)) + div(ρ(p)V ) = 0 (1.4)
où φ est la porosité, p est la pression, ρ(p) est la masse volumique du fluide et finalement V est la vitesse cinématique.
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Table des matières
1 Introduction
1.1 Contexte général et scientifique
1.1.1 Milieux poreux
1.1.2 Récupération de pétrole
1.2 Formulation mathématique
1.2.1 Loi de Darcy
1.2.2 Loi de Darcy-Brinkman
1.2.3 Écoulement monophasique
1.2.4 Écoulement multiphasique immiscible
1.2.5 Écoulement diphasique incompressible et immiscible
1.3 Plan de la thèse
1.3.1 Chapitre 2. Analyse mathématique du modèle de Darcy-Brinkman diphasique incompressible et immiscible
1.3.2 Chapitre 3. Méthode de Volumes Finis pour le modèle de Darcy-Brinkman
1.3.3 Chapitre 4. Schéma Volumes Finis-Éléments Finis combiné monotone pour un modèle anisotrope de Darcy-Brinkman
1.3.4 Chapitre 5. Résultat d’existence pour l’écoulement monophasique de Darcy-Brinkman dans un milieu poreux
2 Analyse mathématique du modèle de Darcy-Brinkman diphasique incompressible et immiscible
2.1 Écoulement diphasique
2.2 Hypothèses sur les paramètres physiques et résultat principal
2.2.1 Existence et estimations d’énergie
2.2.2 Passage à la limite sur n
2.3 Principe de maximum
2.4 Étude asymptotique du système Darcy-Brinkman
2.4.1 Énoncé du problème
3 Méthode de Volumes Finis pour le modèle de Darcy-Brinkman
3.1 Introduction
3.1.1 Problème posé
3.1.2 Solution faible
3.2 Problème discret
3.2.1 Discrétisation en espace
3.2.2 Discrétisation en temps
3.2.3 Fonctions discrètes associées
3.2.4 Construction du schéma de volumes finis
3.2.5 Estimations a priori
3.3 Existence d’une solution discrète
3.4 Translatés en espace et en temps
3.5 Résultats de compacité
3.6 Convergence vers une solution faible
3.7 Test numérique pour un modèle isotrope de Darcy-Brinkman
3.7.1 Test 1 : Écoulement eau-gaz
3.7.2 Test 2 : Écoulement eau-pétrole
4 Analysis of a finite volume-finite element method for Darcy-Brinkman two-phase flows in porous media
4.1 The Darcy-Brinkman model
4.2 Combined Finite volume-Finite element scheme for system (4.1)
4.2.1 Space and time discretizations
4.2.2 Combined scheme
4.3 Existence and discrete properties
4.3.1 Preliminary results
4.3.2 A priori estimates
4.3.3 Existence of discrete solution
4.4 Convergence
4.4.1 Compactness Estimates on Discrete Solutions
4.4.2 Convergence of the combined scheme
4.5 Proof of theorem 4.1
5 Conclusion
