Etude mathématique et numérique du sur-rendement dans les modèles d’écologie microbienne

Présentation de l’équipe : MODEMIC
MODEMIC est une équipe commune INRA-Inria officialisée en 2012 à la suite de l’équipe MERE créée par C. Lobry. Les écosystèmes microbiens, qu’ils soient mis en jeu en milieu naturel ou industriel, sont au cœur des procédés biochimiques de conversion de la matière organique. Comprendre et exploiter leurs performances est devenu un enjeu majeur pour la conception et la supervision des bioraffineries environnementales du futur, comme pour la conservation des milieux naturels (sols, lacs, lagunes, etc.). Les objectifs de l’équipe sont de mettre en commun les connaissances et savoir-faire des deux Instituts pour développer, étudier et simuler de nouveaux modèles mathématiques pour une meilleure compréhension et une meilleure maîtrise des bioprocédés à base de micro-organismes. Les modèles considérés reposent sur la théorie des systèmes dynamiques. L’équipe est constituée de chercheurs en mathématiques appliquées de l’INRA (département Mathématiques et Informatique Appliqués) et de l’Inria, mais également d’un chercheur INRA rattaché au Laboratoire de Biotechnologie de l’Environnement (LBE, Narbonne). L’équipe est hébergée au sein de l’UMR MISTEA sur le campus SupAgro Montpellier.

Déroulement du stage
Mon stage a eu lieu du 27 juillet au 11 septembre, ainsi j’ai pu travailler à l’étranger pendant le mois de juillet. J’ai donc jugé utile de rencontrer mon encadrant, M. Rapaport, en début d’été. Cela m’a permis de visiter le campus de SupAgro, de me présenter à l’équipe MODEMIC et surtout d’avoir un premier aperçu des deux mois de stage qui m’attendaient. Pour ce qui est de mon emploi du temps, il était important d’avancer régulièrement dans mon travail sans forcément avoir des horaires fixes. D’autant plus que l’on m’a laissé une clé personnelle donnant accès au campus et à un bureau individuel (climatisé et équipé d’un ordinateur de bureau avec Linux et Scilab pré-installés). M.Rapaport m’a aussi indiqué plus précisément ce à quoi correspond l’intitulé du stage : “Etude mathématique et numérique du sur rendement dans les modèles d’écologie microbienne”. Il m’a également proposé de lire trois articles en anglais pour avoir certaines notions et le vocabulaire nécessaires à mon travail.

Mon stage a été rythmé par deux approches : les simulations numériques, sur Scilab et l’approche mathématique : étude des modèles exposés. Ma premiére semaine en tant que stagiaire m’a permis de prendre mes marques et de comprendre précisément les enjeux de la problématique proposée. M. Rapaport m’a incité lors de ces premiers jours, à raison, de m’appliquer sur mes premiers programmes Scilab : syntaxe et clarté du code, commentaires, varier les algorithmes et méthodes utilisés entres autres. Puis, dans un second temps, une fois les premières simulations concernant l’évolution d’une population de bactéries dans un certain milieu, je passais à l’étude mathématique (étude des équilibres, monotonie des courbes, grandeurs invariantes, …). En parallèle, j’entamais mon rapport de stage. Environ un mois a été nécessaire pour que je fasse cette partie. M. Rapaport m’a ensuite fortement conseillé de passer à la rédaction complète de celle-ci. Cela m’a été d’une grande utilité car j’ai ainsi pu corrigé les quelques erreurs commises précédemment et surtout de passer à la seconde partie (compétition entre plusieurs espèces de bactéries) avec plus d’aisance. Cette dernière reste inachevée néanmoins, certaines ouvertures permettraient de poursuivre l’étude et de l’étayer fortement.

Ainsi, avant le début “officiel” du stage, j’ai lu les trois articles pour mieux cerner le sujet. “Bacterial growth” de H. L. Smith exposant des modèles de croissance bactérienne dans un milieu nutrimenté (tel que le chémostat). Le chémostat qui est abordé plus en détails dans le second article : “Non linear population dynamics in the chémostat” de Jean-Philippe Grivet. On y retrouve des informations expérientales, théoriques (par le biais de simulations) et la compétition lorsqu’il y a cohabitation de plusieurs types de bactéries dans la même enceinte.

Enfin, le troisième article intitulé “ Global dynamics of a mathematical model of competition in the chémostat : general response functions and differential death rates” de Gail S. K. Wolkowicz et Zhiqi Lu porte sur cette compétition d’un point de vue plus “mathématique” justement.

Le sujet proposé par M. Rapaport peut être longuement approfondi et même juxtaposé aux résultats des expériences réalisées dans le Laboratoire de Biotechnologie de l’Environnement situé à Narbonne. Premièrement, concernant le chémostat, il peut être intéressant de tracer un diagramme de bifurcation en représentant D en fonction de Sin pour mettre en évidence les différents cas possibles : Les courbes de concentrations des bactéries se croisent sur ]0,Sin[ et ne se croisent pas sur ]0,Sin[. Enfin, une étude plus générale avec n espèces de bactéries aurait constituée une recherche plus complète et adaptée à la réalité. Un stage d’une plus longue durée m’aurait permis de mieux apprécier les outils et raisonnements mathématiques abordées ainsi que les enjeux que ce type d’études en mathématiques biologiques impliquent.

Table des matières

1 Remerciements
2 Introduction
2.1 Présentation de l’équipe : MODEMIC
2.2 Déroulement du stage
3 Résumé du stage
4 Etude mathématique et numérique du sur-rendement dans les modèles d’écologie microbienne
4.1 Problématique
4.2 Etude du cas à une seule espèce de bactéries
4.2.1 Système 1
4.2.2 Système 2 : avec mortalité
4.2.3 Système 3 : le chémostat
4.3 Etude du cas à plusieurs espèces de bactéries
4.3.1 Système 1
4.3.2 Système 2 : avec mortalité
4.3.3 Système 3 : le chémostat
5 Conclusion

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