Soutenance mémoire
Calcul fractionnaire
Se calcul fractionnaire est la branche d’analyse mathématique qui étudie la généralisation des notions de dérivation et d’intégration à des ordres non nécessairement entiers (réels ou complexes).
Cependant, le calcul fractionnaire a été longuement considéré comme une simple théorie mathématique sans aucune explication réelle ou pratique. En effet, l’intérêt de ce concept dans les sciences fondamentales et en ingénierie ne s’est manifesté qu’à la seconde moitié du 20eme ` siècle. Dès lors, beaucoup de contributions autant théoriques que pratiques ont montré l’importance des systèmes d’ordres fractionnaires et leur intérêt dans différentes disciplines telles que la mécanique, l’électricité, la biologie, la chimie, l’automatique etc.
Les dérivées fractionnaires possèdent un caractère non-local ce qui fait d’eux un outil puissant pour la description des effets héréditaires et mnémoniques de diverses substances, ainsi que pour la modélisation de certains processus dynamiques. La première conférence sur ce thème a été organisée en juin 1974 par B. Ross intitulée « First Conference on Fractional Calculus and its Applications » à l’université de New Haven . Pour la première monographie le mérite revient a K. B. Oldham et J. Spanier, qui ont publié un livre [63] consacré au calcul fractionnaire en 1974 après un travail de collaboration entamé en 1968. Cet ouvrage est le premier du genre qui rassemblé les divers résultats sur le calcul fractionnaire. Une synthèse théorique a été proposée dans le livre de K. S. Miller et B. Ross [56], où certains aspects algébriques des équations différentielles d’ordres fractionnaires sont substantiellement développés. Sur le plan mathématique il faut citer l’ouvrage russe de S. G. Samko et al [70] paru en 1987, ce livre regroupe un ensemble de résultats et d’applications des dérivées d’ordre fractionnaire .
Systèmes impulsifs
De nombreux processus réels et phénomènes naturels en biologie, physique, économie et technologie, subissent des changements brusques au cours de leurs évolutions, ces changements sont souvent de très courtes durées et sont donc produits instantanément sous forme d’impulsions. A titre d’exemple nous citons l’effet du traitement chimiothérapique sur la dynamique des cellules cancéreuses ainsi que les effets des tremblements de terre sur la dynamique d’une population humaine, etc.
La modélisation de tels phénomènes nécessite l’utilisation des modèles qui font intervenir explicitement et simultanément l’évolution continue du phénomène ainsi que les changements instantanés. De tels modèles sont dits « impulsifs » ; ils sont évolutifs de processus continus régis par des équations différentielles combinées avec des équations aux différences représentant l’effet impulsif subi. La théorie des équations différentielles impulsives initiée en 1960 par V. Milman et A. Myshkis et développée principalement par V. Lakshmikantham à partir de 1985, a suscité beaucoup d’intérêt au cours des dernières décennies. En particulier, il y a eu un développement appréciable dans la théorie des équations différentielles impulsives avec moments d’impulsions fixes.
Équations différentielles fractionnaires impulsives
Les équations différentielles fractionnaires impulsives constituent un domaine de recherche d’actualité fort intéressant. En effet, l’étude de ces équations connait une popularité croissante parmi les chercheurs, le nombre d’articles parus, traitant les questions d’existence, d’unicité ainsi que la dépendance des solutions de ce type d’équations, témoigne de la vitalité de la recherche dans ce domaine. Cependant, l’intéressé à l’étude de ces équations se rend compte que de nombreux aspects de cette théorie ne sont pas encore entièrement exploités, et vu sa nouveauté ce domaine est très riche de questions ouvertes. Le concept de solution d’un problème différentiel fractionnaire impulsif est une de ces questions.
Calcul fractionnaire
Le calcul fractionnaire peut être considéré comme un concept très ancien en dépit du retard accusé dans son application. C’est un ancien concept dont les premières prémices remontaient à 1695 où une première définition de la dérivée d’ordre 1/2 a été donnée par G. W. Leibniz. Par la suite plusieurs mathématiciens célèbres comme P. S. Laplace (1812), J. B. J. Fourier (1822), N. H. Abel (1823- 1826), J. Liouville (1832-1873), B. Riemann (1847), A. K. Grunwald (1867-1872), A. V. Letnikov (1868-1872), H. Weyl (1917) et M. Riesz (1949) ont contribué à l’élaboration de la théorie du calcul fractionnaire. Pour plus de détails sur les aspects historiques de la théorie du calcul fractionnaire le lecteur intéressé est invité à consulter les ouvrages [56, 63]. Le calcul fractionnaire n’a été apprécié par les chercheurs que vers les années 50. Dès lors, de modestes applications ont commencé à voir le jour ; les recherches de Van Der Ziel [81] sur les spectres de bruit des semi-conducteurs, puis les travaux de Davidson et Col [31] sur la relaxation diélectrique dans certains liquides ont pu modéliser certains phénomènes naturels en faisant appel aux dérivées fractionnaires. De nos jours l’application du calcul fractionnaire concerne des domaines très variés tels que la mécanique, l’électricité, la chimie, la biologie, l’économie, la mécatronique, la robotique, etc. [35, 52, 55, 64, 67, 73]. La présente section est consacrée à la présentation de certains éléments du calcul fractionnaire. Nous commençons par l’introduction des espaces fonctionnels adéquats ainsi que deux fonctions spéciales, ensuite nous rappelons les définitions et quelques propriétés de l’intégrale et dérivées fractionnaires au sens de Riemann-Liouville et au sens de Caputo ; des exemples concrets pour clarifier certains résultats seront proposés, les notions fondamentales de la théorie du calcul fractionnaire peuvent être consultées dans les ouvrages [56, 63, 66, 70]. On conclut la section par quelques applications du calcul fractionnaire dans quelques domaines de la science et de l’ingénierie.
Dérivée fractionnaire au sens de Caputo
Beaucoup de problèmes concrets utilisent les dérivées fractionnaires assujetties à des conditions initiales plus au moins naturelles. Malheureusement, l’approche de Riemann-Liouville mène à des conditions initiales contenant des valeurs limites de dérivées fractionnaires au sens de Riemann-Liouville en la borne inférieure t = a. Malgré la possibilité de résoudre mathématiquement avec de telles conditions initiales, leurs solutions ne sont pas encore bien comprises, puisque il n’y a pas d’interprétation physique adéquate de tel type de conditions initiales. En 1967 M. Caputo [28] proposa un concept modifié de la dérivation fractionnaire, qui prévoit la formulation des conditions initiales sous forme qui fait apparaitre seulement les valeurs limites des dérivées d’ordre entier en la borne inférieure (l’instant initial) t = a comme f (a), f’ (a), f » (a),….
Applications du calcul fractionnaire
Au cours de ces dernières décennies, beaucoup de contributions autant théoriques que pratiques ont montré l’intérêt du calcul fractionnaire aussi bien dans la science qu’en ingénierie. En effet, on rencontre des applications du calcul fractionnaire en traitement d’image [55], en géophysique [30], en économie [41]. Plusieurs travaux ont été effectués dans le domaine de la biomédecine, à titre d’exemple, les résultats obtenus sur l’ECG par Ferdi et al .
En 1823 N. H. Abel est parvenu à résoudre analytiquement le problème du tautochrone posé en physique en faisant apparaitre la forme d’une intégrale à noyau singulier qui ressemble à l’opérateur d’intégration fractionnaire, cette solution a été considérée comme la première application du calcul fractionnaire.
Le problème du tautochrone consiste à identifier une courbe de sorte que le temps pris par une particule glissant sous l’influence uniforme de la gravitation terrestre jusqu’à son point le plus bas reste le même quel que soit son point de départ (une telle courbe est appelée courbe tautochrone).
|
Table des matières
Introduction
1 Préliminaires
1.1 Calcul fractionnaire
1.1.1 Espaces fonctionnels
1.1.2 Fonctions spéciales
1.1.3 Intégrale fractionnaire au sens de Riemann Liouville
1.1.4 Dérivée fractionnaire
1.1.5 Applications du calcul fractionnaire
1.2 Systèmes impulsifs
1.2.1 Description d’un système impulsif
1.2.2 Applications des systèmes impulsifs
1.3 Théorèmes de points fixes
1.3.1 Intégrales au sens de Bochner
2 Etude de quelques problèmes impulsifs à valeurs initiales d’ordres fractionnaires multiples
2.1 Concept de solution d’un problème fractionnaire impulsif
2.2 Problème impulsif d’ordres fractionnaires multiples
2.3 Problème quasi-linéaire
2.4 Problème semi-linéaire avec condition non locale
2.4.1 Dépendance de la solution par rapport à la condition initiale
3 Etude d’un problème aux limites impulsif d’ordres fractionnaires multiples
3.1 Equivalence entre le problème (3.1) et une équation intégrale
3.2 Existence et unicité de la solution
3.3 Un autre résultat d’existence de la solution
4 Conclusion et Perspectives
A Copie de l’article publié
Bibliographie
