Étude du processus d’instabilité modulationnelle dans les fibres à dispersion périodique

Les fibres optiques conventionnelles

   Une fibre optique conventionnelle est constituée d’un cœur cylindrique de rayon C r et d’indice de réfraction C n , entouré d’une gaine de rayon G r et d’indice de réfraction G n . Le matériau de base constituant les fibres optiques est généralement le verre de silice (SiO2). Le guidage de la lumière est assuré par le mécanisme de réflexion totale interne. Ce phénomène requiert une différence d’indice positive entre le cœur et la gaine. Par conséquent, le cœur est composé, soit de silice pure, soit desilice dopée en oxyde de germanium (GeO2) ou en potassium (P2O5) par exemple. Des dopants à base de fluor ou de bore peuvent être incorporés dans la gaine pour induire une diminution de son indice de réfraction. Le profil d’indice de réfraction peut être alors être discontinu, ce qui correspond à la fibre à saut d’indice, ou être graduel, ce qui correspond à la fibre à gradient d’indice. La figure 1-(a) présente le schéma de la section transverse d’une fibre optique la plus simple, à saut d’indice.

La différence relative d’indice cœur-gaine :

   La fabrication de ce type de fibre s’effectue en deux grandes étapes. La première consiste à réaliser une préforme qui possède une structure transverse similaire à celle de la fibre souhaitée à un facteur d’échelle près. Typiquement une préforme présente un diamètre de quelques dizaines de millimètres. La deuxième étape consiste à étirer la préforme en fibre, en la chauffant jusqu’à obtenir un diamètre externe final d’environ 125 µm pour les fibres standards.
Les fibres optiques micro-structurées air-silice Les fibres optiques conventionnelles présentées ci-dessus sont constituées typiquement d’un cœur et d’une gaine en verre d’indices de réfraction différents (figure 1-(a)). Si l’indice de réfraction du cœur est supérieur à celui de la gaine, alors le mécanisme de réflexion totale interne peut être établi (une différence d’indice inférieure à 1 % suffit). Concernant les fibres optiques micro-structurées, l’équipe de recherche de Philip Russel de l’Université de Bath a rapporté une première fabrication dans la fin des années 1990 [22]. Le terme de Photonic crystal fiber (fibre à cristal photonique, noté PCF) est directement associé à cette réalisation. Il y a une quinzaine d’années, la principale motivation était de développer une fibre dans laquelle la lumière soit guidée par un effet de bande interdite photonique [3]. Ce type de guidage, offrant de nouvelles caractéristiques de propagation, est très attractif pour de nombreuses applications mais ne sera pas mis à profit dans les travaux de ce manuscrit. Nous ne le détaillerons donc pas. Nous nous intéressons ici aux fibres possédant un cœur solide au centre de la structure, entouré d’une matrice de trous d’air qui s’étend tout le long de la fibre. Dans cette configuration, l’indice de réfraction de la région centrale est plus élevé que celui de la région périphérique composée de trous d’air dans la matrice de silice. Par analogie avec les fibres conventionnelles, le guidage se réalise par le processus de réflexion totale interne modifiée [23]. Bien que ce mécanisme soit similaire à celui des fibres conventionnelles, la modification de la taille des trous d’air et de leur espacement offre un degré de liberté supplémentaire pour la conception de nouvelles fibres optiques aux propriétés originales (cf paragraphe 1.2.2). La microstructure est fabriquée en empilant des capillaires selon une base hexagonale. Cette méthode s’appelle le « Stack-and-Draw » [3], [24]. Les grandes étapes de fabrication sont schématisées sur la figure 2-(a). Un agrandissement de l’image de la section transverse d’une PCF, enregistré à l’aide d’un microscope à balayage électronique, est présenté sur la figure 2-(b). Ce type de fibre optique est caractérisé par deux paramètres principaux: le diamètre des trous d’air, noté d , et l’espacement entre ces trous, noté  (que l’on nomme d’une manière usuelle « Pitch »). Le contrôle de ces deux paramètres permet de modifier la dispersion chromatique et le confinement des modes optiques. En particulier, il a été possible de fabriquer des fibres optiques avec une longueur d’onde de dispersion nulle au voisinage des longueurs d’onde d’émission de lasers puissants (comme le Titane-Saphir près de 800 nm) [25]. La combinaison d’une faible dispersion avec une forte non-linéarité a permis de complètement revisiter tout un panel de l’optique non-linéaire, comme pour la génération de supercontinuum [14] et de peignes de fréquences [26]. De plus, dans certains cas, les PCFs présentent l’avantage de ne guider qu’un seul mode transverse sur toute la fenêtre de transparence: on parle alors de PCF infiniment monomode (ou « endlessly single-mode ») .

L’atténuation d’une fibre optique

  Comme tout milieu matériel, les fibres optiques atténuent l’intensité lumineuse au cours de la propagation. L’atténuation est majoritairement due à l’absorption de la silice aux hautes longueurs d’onde et à la diffusion Rayleigh aux courtes longueurs d’onde [27], [28]. Tout d’abord, la silice présente une forte absorption dans l’ultraviolet, dont l’origine est électronique, et dans l’infrarouge, liée aux molécules de silice. La silice présente une bande de transmission caractéristique entre le visible et le proche infrarouge, typiquement située entre 400 et 2000 nm. Ensuite, les impuretés présentes lors du processus de fabrication  ou la présence de dopants éventuels modifient le profil d’absorption. L’une des manifestations les plus importantes est liée à la présence d’ions hydroxyles (OH-), à cause de la vapeur d’eau résiduelle dans le verre. La conséquence est l’apparition d’un pic d’absorption fondamental situé à 2800 nm et des harmoniques situées vers 1380 nm et vers 1230 nm, visibles sur la figure 3. Enfin, à ces contributions s’ajoute le phénomène de diffusion Rayleigh. Il est responsable de la diffusion multidirectionnelle de la lumière due aux fluctuations microscopiques de la structure de silice.. Cette évolution est comparée aux limites théoriques de la diffusion Rayleigh (traits pointillés noirs), de l’absorption dans l’infrarouge (traits pointillés rouges) et de l’absorption dans l’ultraviolet (traits pointillés bleus). Le pic d’absorption localisé vers 1380 nm est caractéristique des ions OH- présents dans les fibres. D’une manière générale, l’atténuation est caractérisée par le coefficient d’atténuation linéique . Grâce à toutes les améliorations des procédés de fabrication des fibres, l’atténuation minimale est estimée typiquement à 0,18 dB/km à 1550 nm [29] et atteint même la valeur de 0,1484 dB/km en laboratoire, à une longueur d’onde de 1570 nm [30]. En ce qui concerne les PCFs, l’atténuation est généralement plus élevée que celle des fibres conventionnelles. Cependant, de récents progrès au niveau de la fabrication ont permis de diminuer nettement ce niveau d’atténuation. En 2007, un record d’atténuation a été mesuré dans une PCF air-silice à 0,18 dB/km pour une longueur d’onde de 1550 nm [31].

Le processus d’instabilité modulationnelle

   D’un point de vue spectral, le phénomène d’instabilité modulationnelle (noté MI, pour « Modulation instability ») peut être considéré comme un processus de FWM dégénéré [9], [51], [52], [53]. La MI est susceptible d’apparaître lorsqu’une onde de forte intensité se propage dans un milieu dispersif et non-linéaire. Elle se traduit par une modulation en amplitude de l’onde à une fréquence déterminée par les caractéristiques du milieu, et qui s’amplifie de façon exponentielle au cours de la propagation. Si l’onde incidente est faiblement modulée par un signal présentant un décalage fréquentiel adéquat, alors l’instabilité peut amplifier exponentiellement cette modulation: on parle dans ce cas d’un processus de MI induit. Par contre, si l’onde incidente est continue, alors la modulation croît à partir du bruit: on parle dans ce cas d’un processus de MI spontané ou de génération de fluorescence paramétrique. Le processus de MI a été observé dans de nombreux domaines de la physique, tels que la mécanique des fluides [54], la physique des plasmas [55], et l’optique non-linéaire [56]. En ce qui concerne les fibres optiques, la MI a été dans un premier temps étudiée théoriquement en analysant la stabilité des solutions stationnaires de l’équation de Schrödinger non-linéaire (voir paragraphe 2.1) soumise à une faible perturbation [4]. Cette méthode permet d’obtenir l’expression du gain paramétrique, qui correspond à l’équation (1.29). En effet, le processus de MI, ou le processus de FWM dégénéré, est régit par la même condition d’accord de phase. D’une manière directe, elle a tout d’abord été démontrée expérimentalement en régime de GVD fortement anormale [4], [5], [7], dans laquelle seule la contribution de la dispersion d’ordre deux est nécessaire pour rendre compte de la dynamique du processus.

Comparaison entre les différents outils de simulation numérique utilisés

  Différents outils de simulation numérique de la propagation non-linéaire dans les fibres optiques ont été présentés dans la partie 1. Cette sous-partie a pour but de comparer ces méthodes numériques car elles ne présentent pas les mêmes hypothèses et temps de calculs. Pour réaliser cette comparaison, nous avons utilisé un profil de GVD sinusoïdal. La période de modulation est de Z  10 m et la longueur totale de fibre simulée est de L  150 m. La longueur d’onde de la pompe (dont la fréquence est centrée en 0 sur les graphiques) a été choisie telle que la valeur moyenne de la GVD soit 2  +1,2 ×10-27 s²/m. La pompe se situe donc toujours en zone de GVD normale. Le profil associé à ces dimensions est illustré sur la figure 12-(a). Le coefficient non-linéaire est de   7,5 /W/km et la puissance de pompe est de P0  15 W. Dans cette étude comparative, par simplicité, la dispersion a été limitée à l’ordre deux et l’atténuation de la fibre a été négligée. Les spectres de gain obtenus avec les trois différentes méthodes sont représentés sur la figure 12-(b). Nous observons la génération de sept lobes de MI dans une fenêtre spectrale de 10 THz. Nous obtenons un excellent accord entre ces trois résultats puisque les trois spectres se superposent parfaitement.  Les simulations les plus réalistes sont obtenues par intégration numérique de la GNLSE. En effet, cette équation permet de prendre en compte tous les effets linéaires et non-linéaires, comme l’atténuation sur toute la gamme spectrale étudiée, l’effet Raman, et la dispersion. Cependant, cette méthode présente des temps de calcul très longs dépendant de la résolution spectro-temporelle et spatiale. Typiquement, les simulations peuvent durer plusieurs jours suivant la configuration étudiée. Par exemple, la durée de la simulation numérique réalisée et présentée sur la figure 12 vaut environ 20 heures. Cette durée est environ 100 fois supérieure à celle de la méthode par segmentation. Les spectres de gain associés à chaque profil sont représentés sur la figure 13-(b) avec le même code couleur. Un zoom est présenté dans la figure 13-(d). Premièrement, la fréquence centrale des lobes de MI est identique pour chaque profil. Cette propriété est attendue puisqu’elle est prédite par la relation de QPM donnée par l’équation (2.4) dans laquelle seules, la valeur moyenne de la GVD et la période de modulation fixent la fréquence centrale de chaque lobe. Deuxièmement, des différences significatives existent sur chaque lobe de MI. Sur la figure 13-(d), un écart de 17 dB est relevé entre les gains associés aux profils créneau et triangulaire. Ce constat n’est pas surprenant, car d’après le système d’équations (2.15), les valeurs propres (donc le gain paramétrique) dépendent des coefficients de Fourier propres à chaque profil périodique. Dans cette configuration, c’est le profil créneau qui génère le plus de gain. Nous pouvons en conclure que le profil de GVD périodique aura une forte influence sur le spectre de gain, mais quel que soit le profil, la fréquence centrale des lobes de MI est fixée par la valeur moyenne de la GVD.

Table des matières

Introduction générale
Partie 1 Généralités sur les fibres optiques et les effets non-linéaires 
1 Les fibres optiques
1.1 La structure d’une fibre optique
1.1.1 Les fibres optiques conventionnelles
1.1.2 Les fibres optiques micro-structurées air-silice
1.2 Les effets linéaires
1.2.1 L’atténuation d’une fibre optique
1.2.2 La dispersion chromatique
1.3 Les effets non-linéaires
1.3.1 L’effet Kerr optique
1.3.2 Le mélange à quatre ondes et l’instabilité modulationnelle
1.3.2.1 Le formalisme du mélange à quatre ondes: les équations couplées
1.3.2.2 Expression du gain paramétrique et de la condition d’accord de phase
1.3.2.3 Le processus d’instabilité modulationnelle
1.4 La diffusion Raman
1.5 Conclusion
2 Les outils de simulation numérique d’effets non-linéaires dans les fibres optiques 
2.1 La résolution de l’équation de Schrödinger non-linéaire généralisée
2.2 La méthode de segmentation pour le calcul de gain paramétrique
2.3 Le modèle à trois ondes tronqué
Partie 2 Étude du processus d’instabilité modulationnelle dans les fibres à dispersion périodique
1 Contexte et état de l’art 
1.1 Impact de la périodicité sur le processus d’instabilité modulationnelle
1.2 Approche par une méthode perturbative: l’analyse de stabilité linéaire
2 Comparaison entre les différents outils de simulation numérique utilisés 
3 Etude expérimentale du processus d’instabilité modulationnelle dans une fibre à dispersion oscillante
3.1 Impact de la forme du profil de dispersion sur le spectre d’instabilité modulationnelle
3.2 Démonstration expérimentale
3.2.1 Principe de fabrication et validation
3.2.2 Résultat expérimental
3.2.3 Les limitations – validité de la condition de quasi-accord de phase
3.2.4 Mesure expérimentale du gain paramétrique
3.2.5 Évolution longitudinale des lobes d’instabilité modulationnelle
3.3 Impact de la dispersion d’ordre quatre sur le spectre d’instabilité modulationnelle
3.3.1 Diagramme de quasi-accord de phase
3.3.2 Etude expérimentale – validation
3.3.2.1 Présentation du dispositif expérimental
3.3.2.2 Dynamique du spectre d’instabilité modulationnelle
4 Etude analytique de la dynamique du spectre d’instabilité modulationnelle dans les fibres à dispersion oscillante
4.1 Application du modèle à trois ondes tronqué aux fibres à dispersion oscillante
4.1.1 Approximations et expression analytique du gain paramétrique
4.1.2 Interprétations de la dynamique longitudinale du spectre d’instabilité modulationnelle
4.2 Evolution du spectre d’instabilité modulationnelle en fonction de la valeur de la dispersion moyenne
4.2.1 Validation numérique
4.2.2 Validation expérimentale
4.3 Contrôle du spectre d’instabilité modulationnelle
4.3.1 Minimisation du gain
4.3.2 Maximisation du gain
5 Conclusion de la partie
Conclusion générale
Annexe 1 Etude de la brisure de symétrie du processus d’instabilité modulationnelle
1 Introduction
2 Résultats numériques
3 Résultats expérimentaux
4 Interprétations
5 Conclusion
Annexe 2 Méthode rapide de mesure de la longueur d’onde de dispersion nulle d’une fibre optique
1 Introduction
2 Démarche et présentation du modèle
3 Mise en œuvre expérimentale
4 Conclusion
Bibliographie générale
Formulaire
Bibliographie de l’auteur

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