Etude des phénomènes de non-linéarités ultrasonores

Si la première émission ultrasonore est obtenue mécaniquement par Savart en 1830, l’histoire des ultrasons commence réellement avec la découverte de la piézo-électricité du quartz en 1880 par les frères Curie. 37 ans plus tard Langevin utilise ce cristal pour réaliser le premier transducteur ultrasonore utilisé comme détecteur sous-marin. Depuis, les applications industrielles et médicales se développèrent graduellement à travers de nombreux travaux.

Le champ d’application des ultrasons est vaste, et chacun des domaines est caractérisé par les fréquences et les intensités utilisées, ainsi que par la technologie employée pour produire, contrôler et détecter le champ de pression ultrasonore. On peut distinguer deux groupes :
• Les applications utilisant des ondes ultrasonores de faibles intensités (contrôle non destructif, imagerie ultrasonore, caractérisation de certains matériaux dont les milieux biologiques in-vivo ou in-vitro …).
• Les applications utilisant des intensités élevées (sondage sous-marin, usinage, hyperthermie , lithotritie …).

Selon l’intensité ultrasonore et les phénomènes que l’on désire analyser, l’étude se fera dans le cadre de l’acoustique linéaire ou non linéaire. L’acoustique linéaire traite des mouvements qui caractérisent une perturbation infinitésimale du milieu autour de l’état d’équilibre. Dans ce cas les variations locales de la densité du milieu et de la vitesse de propagation sont négligées, et les mouvements sont gouvernés par des équations différentielles linéaires. Cette théorie est utilisée pour décrire la propagation d’une onde ultrasonore dans un grand nombre de domaines. Cependant, certains phénomènes accompagnant la propagation de l’onde ne peuvent s’expliquer dans le cadre de la théorie linéaire. Le plus apparent étant la déformation de la forme temporelle de l’onde ultrasonore, engendrée par la non linéarité acoustique du milieu. Les variations locales de la célérité de l’onde et de la densité du milieu ne peuvent plus être négligées, et on aboutit à des équations différentielles non linéaires dont l’étude se fait dans le cadre de l’acoustique non linéaire. Les premiers travaux dans cette branche de l’acoustique ont été réalisés dans les années trente pour décrire le caractère non linéaire de la propagation d’une onde plane [1,2,3]. Mais il faut attendre les années soixante dix pour que les chercheurs russes établissent le modèle de propagation le plus complet et le plus utilisé à l’heure actuelle, et connu sous le nom de modèle K.Z.K (Kuznetsov Khokhlov-Zaboltskaya). Ce modèle prend en compte les effets de non linéarité, de diffraction et d’absorption, accompagnant la propagation de l’onde ultrasonore dans un milieu [4,5].

Le caractère non linéaire de la propagation se quantifie par une grandeur propre au milieu, appelée paramètre de non linéarité B/A. Il est établi que cette non linéarité se manifeste par une déformation du profil temporel de l’onde ultrasonore initialement émise par la source. Ainsi, dans le cas d’une source sinusoïdale, cette distorsion se traduit dans le domaine spectral par la génération d’harmoniques, c’est-à-dire par l’apparition de composantes à des fréquences multiples de la fréquence fondamentale. Il se produit alors un transfert d’énergie du fondamental vers les harmoniques de rangs supérieurs et entre les harmoniques eux-mêmes. Ce phénomène est d’autant plus important que l’intensité ou la fréquence de l’onde émise sont élevées. Comme l’absorption des ondes, se traduisant par un échauffement du milieu, est d’autant plus importante que la fréquence est élevée, l’étude des phénomènes de non linéarités ultrasonores est donc d’une grande utilité dans les applications biomédicales. En effet, dans les applications thérapeutiques telles que l’hyperthermie et la lithotritie , il faut quitter le cadre de l’acoustique linéaire pour analyser la génération d’harmoniques pouvant engendrer des lésions par échauffement dans les tissus sains [6,7]. De même qu’en imagerie médicale où l’utilisation de fréquences élevées, pour avoir une bonne résolution spatiale, peut engendrer des effets non linéaires importants [8].

CHAMP ACOUSTIQUE RAYONNE PAR UN TRANSDUCTEUR

CHAMP ACOUSTIQUE ASSOCIE AU FONDAMENTAL (approximation linéaire)

Les premières études du champ acoustique rayonné par un piston vibrant utilisent la solution de l’intégrale de surface de Rayleigh (1877) transformée par la suite par King (1934) pour une source de forme circulaire. Plus récemment (1980) des solutions basées sur l’approximation parabolique de l’équation linéaire de Helmholtz ont été proposées. Les solutions de l’intégrale de King et de l’équation de Helmholtz sont applicables pour une excitation sinusoïdale, alors que dans le cas d’une source de profil temporel quelconque ( impulsion par exemple ) il est plus commode d’exprimer le champ acoustique sous la forme d’un produit de convolution.

Ces solutions, exprimées dans le cadre de l’acoustique linéaire, représentent donc le fondamental de l’onde (p1(r,z,t) ou φ1(r,z,t) ) en supposant les autres harmoniques nulles ou négligeables.

METHODES HARMONIQUES

Historiquement, R. T. Beyer [2] en 1960 a été le premier à calculer le paramètre B/A à partir des relevés expérimentaux du second harmonique P2(z) effectués dans l’eau [13]. Les méthodes de mesures, développées par la suite, sont donc basées sur les différentes expressions des composantes harmoniques P1 et P2 de l’onde acoustique générée par un transducteur dans le milieu à analyser. La mesure de ces grandeurs, et principalement du second harmonique, permet d’accéder à la connaissance du paramètre de non linéarité B/A. Suivant les expressions analytiques utilisées, différentes méthodes ont été développées . On distingue essentiellement deux techniques :

• Les méthodes directes : elles permettent d’accéder directement à la valeur du paramètre B/A.

• Les méthodes comparatives : elles nécessitent une mesure préalable avec un milieu de référence de paramètre B/A connu (généralement l’eau).

Comme pour les méthodes thermodynamiques, la connaissance ou la mesure des constantes ρo et co du milieu est nécessaire. Cependant, certaines méthodes harmoniques nécessitent de plus la mesure des coefficients d’atténuation α1 et α2 du fondamental et du second harmonique.

Méthodes directes

On distingue trois méthodes :
• La méthode directe par extrapolation, ne nécessitant pas la connaissance des atténuations.
• La méthode directe simple, nécessitant la mesure des coefficients α1 et α2.
• La méthode directe par moyennage, plus précise, mais nécessitant également la connaissance des atténuations.

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Table des matières

INTRODUCTION GENERALE
Références bibliographiques
CHAPITRE I : Bases théoriques de l’acoustique non linéaire
I.1 INTRODUCTION
I.2 ETABLISSEMENT DES EQUATIONS DE PROPAGATION DANS UN FLUIDE
I.2.1 LOIS DE CONSERVATION ET D’ETAT
I.2.1.1 Conservation de la masse – équation de continuité
I.2.1.2 Conservation de la quantité de mouvement – Equation dynamique
I.2.1.3 Conservation de l’énergie
I.2.1.4 Equations d’état
I.2.2 EQUATIONS DE PROPAGATION EN ACOUSTIQUE LINEAIRE
I.2.2.1 Milieu dissipatif
I.2.2.2 Milieu non dissipatif
I.2.3 EQUATIONS DE PROPAGATION EN ACOUSTIQUE NON LINEAIRE
I.2.3.1 Cas général: Equation KZK
I.2.3.2 Cas d’une onde plane : Equation de Burgers
I.2.3.3 Domaine de validité des équations
I.3 SOLUTIONS DE L’EQUATION DE BURGERS (ONDE PLANE EN MILIEU DISSIPATIF)
I.3.1 SOLUTIONS ANALYTIQUES
I.3.2 RESOLUTION NUMERIQUE
I.4 EVOLUTION DE LA FORME D’ONDE AU COURS DE SA PROPAGATION
I.4.1 ANALYSE PHYSIQUE DU PHENOMENE
I.4.2 MILIEU NON DISSIPATIF
I.4.3 MILIEU DISSIPATIF
I.5 SOLUTIONS POUR UNE ONDE PLANE EN MILIEU NON DISSIPATIF
I.5.1 SOLUTION DE FUBINI : (σ < 1)
I.5.2 SOLUTION DE FAY EN MILIEU NON DISSIPATIF: (σ > 3,5 )
I.5.3 SOLUTION DE BLACKSTOCK : ( σ > 0 )
I.6 ETABLISSEMENT DES EXPRESSIONS ANALYTIQUES ASYMPTOTIQUES DU
FONDAMENTAL ET DU SECOND HARMONIQUE POUR UNE ONDE PLANE
I.6.1 MILIEU NON DISSIPATIF
I.6.2 MILIEU DISSIPATIF
I.6.2.1 Atténuation du fondamental ( acoustique linéaire)
I.6.2.2 Atténuation du second harmonique ( acoustique non linéaire)
I.7 ERREUR APPORTEE PAR LES SOLUTIONS ANALYTIQUES ASYMPTOTIQUES
I.8 CONCLUSION
Références bibliographiques
CHAPITRE II : Solutions analytiques nécessaires à la mesure du paramètre B/A
II.1 INTRODUCTION
II.2 CHAMP ACOUSTIQUE RAYONNE PAR UN TRANSDUCTEUR
II.2.1 CHAMP ACOUSTIQUE ASSOCIE AU FONDAMENTAL (APPROXIMATION LINÉAIRE)
II.2.1.1 Intégrale de surface de Rayleigh
II.2.1.2 Intégrale de King
II.2.1.3 Approximation parabolique de l’équation de Helmholtz
II.2.1.4 Intégrale de convolution
II.2.1.5 Représentation du champ acoustique dans le cas d’une excitation sinusoïdale uniforme
II.2.2 CHAMP ACOUSTIQUE ASSOCIE AU SECOND HARMONIQUE
II.2.2.1 Equations de propagation liant l’harmonique 2 au fondamental
II.2.2.2 Solutions des équations de propagation
II.2.2.3 Représentation du champ acoustique
II.3 VARIATION DE LA PRESSION MOYENNE SUIVANT L’AXE (OZ)
II.3.1 PRESSION MOYENNE EXERCEE PAR LE FONDAMENTAL
II.3.1.1 Potentiel moyen du fondamental
II.3.1.2 Expression de la pression moyenne
II.3.2 FONCTION DE CORRECTION DE LA DIFFRACTION POUR LE FONDAMENTAL
II.3.3 PRESSION MOYENNE EXERCEE PAR LE SECOND HARMONIQUE
II.3.3.1 Potentiel moyen du second harmonique
II.3.3.2 Expression de la pression moyenne du second harmonique
II.3.3.3 Fonction de correction de la diffraction pour le second harmonique, D2(z)
II.3.3.4 Simplification de la fonction D2(z)- Expressions simplifiées de |<p2(z)>|
II.3.3.5 Comparaison des différentes solutions pour la pression moyenne |<p2(z)>|
II.4 RAYON EFFECTIF D’UN TRANSDUCTEUR
II.5 CONCLUSION
Références bibliographiques
CHAPITRE III : Méthodes de mesure du paramètre B/A – Etat de l’art
III.1 INTRODUCTION
III.2 METHODES THERMODYNAMIQUES
III.3 METHODES D’AMPLITUDE FINIE
III.3.1 INTRODUCTION
III.3.2 METHODES HARMONIQUES
III.3.2.1 Méthodes directes
III.3.2.2 Méthodes comparatives
III.3.3 METHODES D’EXTRA-ATTENUATION
III.3.4 AUTRES METHODES D’AMPLITUDE FINIE
III.3.4.1 Méthodes utilisant une excitation composite
III.3.4.2 Méthodes utilisant une impulsion photoacoustique
III.4 CARACTERISTIQUES DE QUELQUES MILIEUX
III.5 CONCLUSION
Références bibliographiques
CONCLUSION GENERALE