Étude des écoulements à l’interface joint – rugosité

La théorie du contact de Hertz

   Les premiers travaux de mécanique du contact ont été initiés par Hertz en 1882 (Hertz, 1882) en vue d’étudier l’influence des déformations élastiques des surfaces sur le contact. La théorie de Hertz fournit notamment les expressions de la pression et de l’aire de contact qui règne entre les deux solides, ainsi que leur évolution en fonction de la charge appliquée et des caractéristiques géométriques et matérielles des solides en contact. Cette théorie est basée sur les hypothèses suivantes :
— Les solides en contact sont élastiques, homogènes et isotropes. Leur surface est considérée comme parfaitement lisse.
— Les déformations sont supposées petites.
— Chacun des deux solides est considéré comme un demi-espace élastique.
— Aucun frottement n’est présent, seuls des efforts normaux sont transmis par le contact.

Les modèles de contact déterministes

   Les modèles de contact stochastiques présentés dans la section précédente permettent de déterminer l’évolution d’une grandeur globale du contact avec la charge appliquée. Il s’agit généralement de l’aire réelle de contact entre deux surfaces, et de son évolution en fonction des grandeurs statistiques qui caractérisent les surfaces rugueuses. Ces approches font intervenir des hypothèses qui peuvent se montrer restrictives comme la manière de modéliser les surfaces rugueuses ou la négligence des interactions entre les aspérités en contact. Par construction, ces modèles ne permettent pas de déterminer des grandeurs locales telles que la déformation des surfaces, la pression de contact ou l’ouverture, ce qui est d’importance lorsque l’on s’intéresse à l’étanchéité d’un contact. L’usage de méthodes déterministes permet d’avoir accès aux grandeurs locales du contact (pression de contact, déformations, contraintes, etc.), de ne pas avoir à faire d’hypothèses supplémentaires sur la géométrie des surfaces en contact mais également de prendre en compte toutes les interactions entre aspérités (élastiques et plastiques entre autres). Avec l’évolution croissante des performances des moyens de calcul de ces dernières années sont apparues des méthodes numériques permettant la modélisation d’un contact rugueux. Parmi ces méthodes numériques, on retrouve la méthode des éléments finis. Les travaux de Megalingam et Mayuram (2012) ont par exemple permis l’étude dans le régime élasto-plastique du contact entre une surface rugueuse gaussienne et un plan lisse et rigide. Les travaux de Pei et al. (2005), Sahoo et Ghosh (2007) ou ceux de Durand (2012) traitent quant à eux du contact entre une surface fractale et un plan lisse. L’utilisation de cette méthode est cependant très vite limitée, en raison de la taille du système à résoudre. En effet, la surface rugueuse doit être discrétisée avec une densité de points importante afin de représenter la rugosité aux petites longueurs d’ondes, mais il faut aussi que la longueur d’échantillonnage soit suffisamment grande pour prendre en compte les défauts de grande longueur d’onde, comme l’ondulation. De plus, il est nécessaire de mailler le volume sous-jacent à la surface de contact (voir figure 1.4).

Les travaux de Marie

   Durant sa thèse s’insérant dans le cadre d’un Groupement De Recherche , Marie a développé un montage expérimental destiné à la mesure du débit de fuite au travers de deux surfaces en contact (Marie, 2002). Ce montage utilise la technique de chromatographie en phase gazeuse permettant de mesurer des débits de fuite liquides et gazeux au travers d’un contact. Cependant, seules les mesures de débits liquides ont été effectuées. À l’aide de ce montage, Marie a étudié la fuite monophasique de butanol pour un contact entre un plan en saphir rigide et différentes surfaces modèles obtenues par un procédé de tournage. Ces surfaces métalliques usinées, faites d’acier inoxydable 316L, sont réparties en deux familles selon la valeur de leur rugosité arithmétique Ra :
— La famille A, ayant une rugosité arithmétique de 0,5 µm (noté Ra0,5).
— La famille B, ayant une rugosité arithmétique de 1,1 µm (noté Ra1,1).
Lors de ses expériences, Marie a joué sur la variation de deux paramètres du montage que sont la pression d’assise appliquée (rapport de l’effort vertical de serrage par la section nominale de contact) et la différence de pression du fluide de part et d’autre du contact. Ses observations montrent, dans chaque cas traité, une proportionnalité entre la masse de butanol passant au travers du contact et le temps, signe d’un débit de fuite constant. Il note également l’absence de régime transitoire visible, justifiant le caractère monophasique de la fuite. En traçant le débit mesuré en fonction de la différence de pression, il observe également une proportionnalité entre ces grandeurs. À partir du modèle de Reynolds exprimant le débit liquide dans une fracture mince d’ouverture constante, Marie exprime une relation entre le débit et la différence de pression de fluide pour une géométrie de contact annulaire. Cette relation doit permettre d’identifier le coefficient de proportionnalité entre le débit et la différence de pression observé expérimentalement.

L’hypothèse des écoulements en film mince

   L’étude des écoulements de fluides newtoniens dans l’approximation des milieux continus est généralement réalisée à partir des équations de Navier-Stokes, qui décrivent la conservation de la quantité de mouvement. La résolution de ce système d’équations aux dérivées partielles non-linéaires est généralement une tâche ardue. Il est alors préférable de trouver des moyens de simplifier ces équations. Lorsque l’écoulement est tel que les forces visqueuses prédominent sur les forces inertielles (le nombre adimensionnel de Reynolds est petit), il est possible de négliger l’effet du terme d’advection apportant la non-linéarité des équations de Navier-Stokes. L’équation devient alors linéaire et est connue sous le nom d’équation de Stokes et l’écoulement est dit rampant. L’étude de l’écoulement d’un fluide fortement confiné entre deux surfaces, c’est-à-dire lorsque l’épaisseur du liquide est faible devant les dimensions transversales des surfaces, donne lieu à l’approximation de la lubrification développée historiquement pour l’étude de la lubrification hydrodynamique d’où elle tire son nom (Szeri, 1998). Cette approximation permet d’obtenir l’équation de Reynolds, qui décrit en deux dimensions le mouvement du fluide en milieu confiné. Dans le cadre de l’étanchéité statique, le problème de l’étude des écoulements est apparenté à celui dans un milieu fracturé fortement confiné. L’équation de Reynolds est alors généralement utilisée dans bon nombre d’études pour décrire l’écoulement dans de tels milieux. La présentation non-exhaustive de quelques travaux sur l’écoulement en milieu confiné (pour des applications d’étanchéité ou non) fait alors l’objet de la section suivante.

Table des matières

Introduction
1 État de l’art lié aux problématiques d’étanchéité 
1.1 Modélisation mécanique du contact entre surfaces rugueuses
1.1.1 La théorie du contact de Hertz
1.1.2 Les modèles de contact stochastiques
1.1.2.1 Le modèle de Greenwood et Williamson
1.1.2.2 La théorie du contact de Persson
1.1.3 Les modèles de contact déterministes
1.1.3.1 Les modèles élastiques
1.1.3.2 Les modèles élasto-plastiques
1.2 Approches expérimentales de l’étanchéité
1.2.1 Les travaux de Marie
1.2.2 Les travaux de Vallet
1.2.3 Les travaux de Bourniquel
1.2.4 Les travaux de Tlili
1.2.5 Les travaux mixtes portant sur le contact mécanique et la fuite
1.3 Modélisation des écoulements en lien avec l’étanchéité 
1.3.1 L’hypothèse des écoulements en film mince
1.3.2 Modèles d’écoulements en fracture rugueuse
1.3.2.1 Les méthodes de changement d’échelle et les méthodes locales
1.3.2.2 Modélisation par la création d’un réseau de percolation
1.3.2.3 Autres approches utilisant la théorie de la percolation
1.4 Conclusions
2 Écoulements gazeux raréfiés dans des puces nanofluidiques 
2.1 Généralités sur les écoulements raréfiés
2.2 État de l’art sur la modélisation des écoulements raréfiés 
2.2.1 Les conditions aux limites
2.2.1.1 Modèle de glissement de premier ordre
2.2.1.2 Modèle de glissement de second ordre
2.2.1.3 Modèle de glissement d’ordre supérieur
2.2.1.4 Le coefficient d’accommodation
2.2.2 Les travaux de Knudsen
2.2.3 Des modèles d’écoulement unifiés
2.2.3.1 L’équation de la lubrification corrigée
2.2.3.2 Extension dans le cas des écoulements en milieux poreux
2.3 Les « joints sur puces » : des structures nanofluidiques modèles 
2.3.1 Présentation et objectifs des dispositifs nanofluidiques
2.3.2 Fabrication de dispositifs nanofluidiques
2.3.2.1 Types de puces réalisées
2.3.2.2 Procédure de fabrication des puces
2.3.2.3 Caractérisation de la géométrie gravée
2.3.3 Essais expérimentaux d’écoulements gazeux
2.3.3.1 Description du montage et protocole expérimental
2.3.3.2 Résultats expérimentaux
2.3.4 Modélisation numérique des écoulements gazeux
2.3.4.1 Modélisation de type réseau de pores
2.3.4.2 Approximation des milieux effectifs
2.3.5 Confrontation des résultats numériques et expérimentaux
2.4 Conclusions
3 Application au problème de l’étanchéité 
3.1 Modèle d’écoulement à l’échelle microscopique 
3.1.1 Analyse en ordre de grandeur et simplification des équations
3.1.2 Traitement de la condition limite de glissement
3.1.3 Équation de Reynolds avec glissement
3.1.4 Aspects numériques
3.1.5 Exemple de problème résolu
3.2 Changement d’échelle – vers un modèle à l’échelle macroscopique 
3.2.1 Prise de moyenne volumique et modèle macroscopique non-clos
3.2.2 Fermeture du problème
3.2.3 Modèle macroscopique d’écoulement
3.2.4 Décomposition du problème
3.2.4.1 Développement en série du problème de fermeture
3.2.4.2 Développement en série du tenseur de transmissivité macroscopique
3.2.5 Aspects numériques
3.2.6 Exemples de problèmes résolus
3.2.6.1 Validation sur des géométries simples
3.2.6.2 Solution sur une fracture rugueuse gaussienne
3.3 Modélisation de la fuite à l’échelle du joint – une approche à deux échelles 
3.3.1 Développement d’une méthode à deux échelles
3.3.1.1 Équations régissant l’écoulement aux différentes échelles
3.3.1.2 Procédure générale de la méthode
3.3.2 Introduction sur la méthode des éléments finis de frontière
3.3.2.1 Discrétisation du problème par la méthode des éléments finis de frontière
3.3.2.2 Détermination des champs internes
3.3.3 Adaptation de la méthode des éléments finis de frontière pour un domaine aux propriétés hétérogènes et anisotropes
3.3.3.1 Transformation des domaines
3.3.3.2 Mise en œuvre de la méthode des éléments finis de frontière
3.3.4 Aspects numériques
3.3.5 Exemples de problèmes résolus
3.3.5.1 Validation numérique de la méthode à deux échelles
3.3.5.2 Exemple dans une fracture synthétique
3.4 Résumé des procédures de calcul et exemple applicatif
3.4.1 Organigramme de modélisation
3.4.2 Illustrations sur des surfaces modèles
3.4.2.1 Cas sans aspérités
3.4.2.2 Cas avec aspérités
3.4.2.3 Temps d’analyse
3.5 Conclusions 
4 Confrontation de l’approche numérique avec des essais expérimentaux 
4.1 Présentation de l’approche expérimentale des travaux de Tlili 
4.2 Procédure numérique et confrontation avec l’expérience
4.2.1 Surface rugueuse, contact et écoulement
4.2.2 Comparaison avec les résultats de Tlili
4.3 Conclusions
Conclusion générale et perspectives
Références bibliographiques

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