Etude de schémas multi-échelles pour la simulation de réservoir

Objectifs de la simulation de réservoir

Présentation d’un réservoir d’hydrocarbures 

L’industrie pétrolière s’intéresse aux réservoirs géologiques dans lesquels se sont accumulés des hydrocarbures. L’objectif est alors d’extraire ces hydrocarbures de la manière la plus efficace possible. Dans un premier temps, le sous-sol est foré jusqu’à atteindre la roche réservoir où sont situés les hydrocarbures. Dans certains cas, la pression initiale du sous-sol peut permettre aux hydrocarbures de remonter à la surface. On parle de récupération primaire. Cette méthode ne permet, en général, de récupérer que 5 à 15 % des hydrocarbures présents. La deuxième étape consiste alors à injecter de l’eau à l’intérieur du réservoir pour pouvoir en récupérer une plus grande partie : c’est la récupération secondaire. On arrive ainsi à atteindre des taux de récupération de l’ordre de 35 à 45 %. D’autres méthodes permettent d’améliorer encore ce taux de récupération. L’injection de CO2 et sa dissolution dans la phase hydrocarbure permet de réduire la viscosité de l’huile et ainsi faciliter sa récupération. Des composés chimiques tels que des polymères, des surfactants, des alcalins peuvent augmenter la récupération en réduisant les différences de viscosité et la tension superficielle entre les différentes phases. Ce type de technique constitue ce que l’on appelle la récupération améliorée et permet, en moyenne, d’augmenter de 5 à 15 % le taux de récupération.

Utilisation de la simulation numérique 

Nous avons décrit succintement les méthodes d’exploitation d’un réservoir d’hydrocarbures. Cependant, le choix de l’exploitation ou non d’un gisement d’hydrocarbures est l’aboutissement d’un processus décisionnel assez important. En effet, la mise en place d’une exploitation pétrolière représente un investissement très lourd (quelques millions d’euros par forage). Les compagnies pétrolières chargées d’évaluer l’intérêt d’un gisement pétrolier doivent donc être capables de prévoir le plus précisément possible la quantité d’hydrocarbures qu’elles pourront récupérer. Ces entreprises ont recours à des logiciels de simulation de réservoir qui utilisent des données PVT et pétrophysiques mesurées par le biais de différentes techniques (carottes, enregistrements sismiques, . . .). Ces simulations ne servent pas seulement à prévoir les quantités d’hydrocarbures produites mais sont également utilisées pour optimiser le placement des puits. Les modèles d’écoulement sont souvent mis au point via un processus dit de calage d’historique où les données du modèle sont modifiées au cours d’un processus d’optimisation itératif nécessitant le lancement de plusieurs simulations d’écoulement et visant à reproduire les données mesurées au cours de l’exploitation.

Intérêt de l’utilisation de nouvelles méthodes numériques

Un simulateur de réservoir constitue donc un outil important pour l’industrie pétrolière. Toutefois, comme nous allons le voir dans ce qui suit, le temps d’exécution et la précision des résultats obtenus sont dépendants d’un changement d’échelle. En effet, un réservoir d’hydrocarbures est constitué de roches sédimentaires formées d’un réseau de pores où les fluides peuvent circuler . La taille des pores est de l’ordre du micromètre. Un réservoir d’hydrocarbures peut, quant à lui, s’étendre sur plusieurs centaines de kilomètres carrés. Cette différence d’échelle est souvent en partie réduite en introduisant deux grandeurs moyennes caractérisant le milieu poreux à l’échelle du mètre :
– la porosité φ représente le rapport du volume poreux sur le volume total de la roche,
– la perméabilité k est la capacité de la roche à laisser un fluide s’écouler sous l’effet d’une différence de pression. Cette grandeur a été introduite par H. Darcy [Dar56]. L’introduction de ces grandeurs moyennées permet d’éviter la distinction entre le pore et la matrice solide. Les équations physiques permettant de simuler un écoulement fluide sont donc écrites à une échelle plus macroscopique. Le modèle constitué des cartes de porosités et perméabilités est appelé modèle géologique. Les longueurs caractéristiques de variations de ces propriétés peuvent encore être relativement petites par rapport aux dimensions du réservoir. Ainsi, une résolution numérique de l’écoulement sur le modèle géologique consisterait à définir, dans des cas industriels, une grille de l’ordre du million ou du milliard de mailles. Sur une grille de cette dimension, l’utilisation de méthodes numériques classiques serait trop coûteuse. Cette thèse a pour but de construire et de tester des méthodes multi-échelles pour simuler ces écoulements en diminuant le temps de calcul tout en maintenant une précision des solutions proches de celles obtenues avec des méthodes classiques. Les méthodes multi-échelles étudiées dans ce manuscrit ont d’autres applications que la simulation de réservoir, en particulier,
– l’étude du risque lié au stockage de déchets nucléaires dans les sous-sols [AKP07],
– l’étude de la pollution des sols.

Simulation numérique et méthodes multi-échelles

Nous avons vu, au paragraphe précédent, que la simulation d’écoulement sur le modèle géologique n’était pas réalisable avec des méthodes classiques. En pratique, les porosités et les perméabilités sont souvent mises à l’échelle sur une grille plus grossière. La grille obtenue à l’issue de cette étape dite d’upscaling comporte 100 à 1 000 fois moins de mailles. Cette nouvelle grille constitue ce qu’on appelle le modèle de réservoir. Dans la suite de ce manuscrit, on appellera modèle fin le modèle géologique et modèle grossier le modèle de réservoir. La simulation d’écoulement sur la grille grossière permet ensuite de calculer des données de production comme, par exemple, les débits, les pressions aux puits ou encore les water cuts  . Si l’on souhaite obtenir des cartes de saturations ou de pression à l’échelle fine, une fois la simulation effectuée sur la grille grossière, il est nécessaire de passer par une étape de downscaling. Ces deux changements d’échelle permettent, certes, de réduire la dimension du modèle de réservoir et donc les temps de calculs, mais aboutissent souvent à une perte de précision au niveau des résultats. Une partie de l’information disponible dans le modèle géologique est perdue suite à l’upscaling et il est souvent très difficile de reconstituer l’impact des hétérogénéités présentes à l’échelle fine sur l’écoulement lors du downscaling. Les travaux effectués dans cette thèse visent à traiter efficacement cette problématique.

Les méthodes multi-échelles représentent une alternative prometteuse aux techniques traditionnelles d’upscaling et de downscaling. En effet, ces méthodes permettent de reproduire l’impact sur les solutions des variations des perméabilités et des porosités à l’échelle du modèle géologique tout en effectuant une résolution du système linéaire à une échelle plus grossière. Les champs de pressions et de vitesses obtenus sont plus précis qu’en utilisant une méthode d’upscaling et leur calcul est moins coûteux qu’une simulation réalisée sur le modèle géologique car les inconnues intervenant dans la résolution du système sont définies sur un maillage beaucoup plus grossier. L’objectif principal de cette thèse est d’étudier et quantifier dans quelle mesure les méthodes multiéchelles permettent d’effectuer des simulations d’écoulement directement à partir du modèle géologique tout en limitant les temps de calculs.

État de l’art des méthodes multi-échelles

La méthode des éléments finis multi-échelles a été initialement introduite par Th.Y. Hou et X.H. Wu dans [HW97] pour résoudre des problèmes elliptiques où le coefficient de diffusion varie selon une échelle beaucoup plus petite que le domaine. Cette méthode introduit des fonctions de base éléments finis spécifiques qui tiennent compte des variations du coefficient de diffusion à l’échelle fine. Le principe de cette méthode est justifié par des résultats d’homogénéisation périodique présentés, par exemple, dans [BLP78], [SP80] et [ZKO94]. D’autres méthodes multi-échelles, basées elles aussi sur des résultats d’homogénéisation périodique, ont ensuite été introduites dans [Arb00], [MBS00], [EE03] et [EH09]. Appliquée à un écoulement diphasique, la méthode de Th.Y. Hou et X.H. Wu ne permet pas de calculer des flux conservatifs à l’échelle fine. Or, cette propriété est importante si l’on souhaite utiliser ces flux pour simuler le transport des fluides et assurer la conservation de la masse. Une seconde méthode multi-échelle basée sur des éléments finis mixtes-hybrides a donc été proposée dans [CH02] et mise en œuvre sur un modèle de type Black-Oil dans [KLN+09]. Notons qu’une méthode multi-échelle basée sur des volumes finis a également été proposée dans [JLT03] pour la simulation de réservoir. Cette dernière méthode est plus contraignante puisqu’elle nécessite la construction d’un maillage dual et le calcul de fonctions de base sur les deux maillages.

Les méthodes multi-échelles évoquées précédemment permettent de réduire le coût du calcul des pressions et des flux. Dans le cas d’un écoulement diphasique, une fois les flux calculés, une équation de transport doit être résolue pour calculer les saturations des fluides. À ce stade, on utilise classiquement un schéma de type volumes finis directement sur la grille fine. Toutefois, la simulation du problème de transport sur le maillage fin est très contraignante, en particulier si les saturations sont résolues avec un schéma explicite en temps. Dans ce cas précis, une condition de stabilité, appelée aussi condition CFL, limite les valeurs du pas de temps et impose un très grand nombre d’itérations jusqu’au temps final. Un schéma implicite peut également être utilisé pour résoudre ce problème. Ce mode de résolution permet d’obtenir des pas de temps plus élevés mais plusieurs résolutions de systèmes linéaires définis sur la grille fine peuvent être nécessaires pour résoudre ce système non linéaire. De plus, là aussi, les valeurs du pas de temps dépendent de la résolution de la grille. Pour réduire les temps de calcul en implicite, une méthode de déraffinement adaptative a été proposée dans [AHE07]. Cette méthode agglomère les mailles où les flux sont peu importants et conserve un maillage fin dans le reste du domaine. Notons enfin qu’une méthode multi-échelle hétérogène (HMM) a récemment été proposée dans [HO10] pour résoudre un problème de transport mais cette méthode sert uniquement à calculer plus précisément une solution sur le maillage grossier et ne permet pas d’obtenir les valeurs des saturations à l’échelle fine. De plus, les hypothèses faites sur les paramètres du problème, notamment sur le champ de vitesse, rendent difficiles son application à des cas plus généraux.

Amélioration du module implémenté dans Arcane pour calculer la pression 

Application à des problèmes physiques plus complexes
Nous pourrions d’abord appliquer cette méthode à un modèle de type Black-Oil [CTP95]. Ce modèle est un modèle compositionnel relativement simple à trois constituants : l’eau, un composant hydrocarbure lourd et un composant hydrocarbure léger. La phase aqueuse ne contient que l’eau, la phase huile peut contenir les deux composants hydrocarbures et la phase gaz n’est composée que du composant léger. L’application de la méthode des éléments finis mixtes multi-échelles au modèle Black-Oil a déjà été réalisée dans [KLN+09]. Nous rappelons que les conditions aux bords considérées dans ce manuscrit sont uniquement des conditions de type Dirichlet ou Neumann homogène. Ces conditions sont rarement appliquées en simulation de réservoir. En effet, la plupart du temps, les conditions aux bords sont définies grâce à des termes sources liés à la présence de puits. Pour prendre en compte ce type de conditions aux limites, il est nécessaire de modifier la définition des fonctions de base au voisinage des puits [KLN+09].

Table des matières

Remerciements
Chapitre 1 Introduction
1.1 Contexte et motivations
1.1.1 Objectifs de la simulation de réservoir
1.1.2 Intérêt de l’utilisation de nouvelles méthodes numériques
1.2 Simulation numérique et méthodes multi-échelles
1.3 État de l’art des méthodes multi-échelles
1.4 Présentation des résultats obtenus au cours de la thèse
1.4.1 Résultats théoriques d’homogénéisation
1.4.2 Définition d’une nouvelle méthode multi-échelle et estimation d’erreur
1.4.3 Implémentation de notre nouvelle méthode multi-échelle et résultats
1.4.4 Implémentation de la méthode des éléments finis mixtes multi-échelles
1.5 Perspectives
1.5.1 Généralisation des résultats d’homogénéisation sur le transport
1.5.2 Amélioration du module implémenté dans Arcane pour calculer la pression
1.5.3 Amélioration du module implémenté dans Arcane pour simuler l’évolution d’un traceur
Liste des publications et communications
Chapitre 2 Définition des problèmes modèles
2.1 Problème modèle d’écoulement diphasique
2.2 Définition du maillage et notations
2.3 Schéma IMPES
2.3.1 Résolution du problème en pression
2.3.2 Résolution du problème en saturation
2.4 Schéma IMPIMS
2.5 Résultats numériques
2.5.1 Présentation des cas étudiés
2.5.2 Présentation des résultats
Chapitre 3 Homogénéisation d’un problème elliptique
3.1 Présentation de la théorie de l’homogénéisation
3.2 Problème de départ
3.3 Résultats et théorèmes préliminaires
3.4 Développement asymptotique formel
3.5 Convergence à deux échelles
3.6 Résultat de convergence et estimation a priori
Chapitre 4 Une méthode multi-échelle pour des problèmes elliptiques
4.1 Étude bibliographique des méthodes multi-échelles
4.1.1 Définition
4.1.2 Méthodes des éléments finis multi-échelles
4.1.3 Méthodes multi-échelles hétérogènes
4.1.4 Méthodes des volumes finis multi-échelles
4.2 Définition de la méthode multi-échelle
4.2.1 Hypothèses de départ
4.2.2 Idée de la méthode
4.2.3 Hypothèses de discrétisation
4.2.4 Définition de la méthode
4.3 Estimation a priori
4.3.1 Terme d’homogénéisation globale G1
4.3.2 Terme d’interpolation G2
4.3.3 Terme d’homogénéisation locale G3
4.3.4 Terme d’interpolation locale G4
4.3.5 Conclusion
4.4 Présentation des résultats obtenus avec cette méthode
4.4.1 Remarques préliminaires
4.4.2 Application à la couche 85 du cas SPE 10
Chapitre 5 Méthode des éléments finis mixtes multi-échelles pour la simulation d’écoulements
5.1 Notations et définitions
5.2 Application au problème monophasique
5.2.1 Calcul des fonctions de base
5.2.2 Passage des variables grossières aux variables fines
5.2.3 Construction du système grossier
5.2.4 Estimation a priori
5.3 Extension au cas diphasique
5.3.1 Mise à jour des fonctions de base
5.3.2 Utilisation d’une information globale
5.4 Présentation des résultats
5.4.1 Couche 85 du cas SPE10
5.4.2 Cas fracturé
Chapitre 6 Conclusion

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