Étude de l’unicité des solutions du problème extérieur avec CIOE sur le bord 

Problème de Maxwell à l’extérieur de l’objet avec opérateur de Calderón sur son bord

L’opérateur de Calderón (Cessenat 1996, Def 4, p. 108), lie les traces tangentielles à la surface extérieure de l’objet des champs solutions du problème intérieur et extérieur.
À un couple de domaines ouverts c) et à deux problèmes de type Maxwell (1.0.1) dans chacun des ouverts, est associé un unique opérateur de Calderón.
En imposant sur le bord extérieur de l’objet une condition aux limites (CL) utilisant cet opérateur, alors les solutions de ce nouveau problème posé uniquement à l’extérieur sont la restriction dans le domaine extérieur des solutions du problème global, posé à l’intérieur et extérieur.
L’unicité des solutions est assurée par le lemme de Rellich, avec la même condition suffisante d’unicité de la proposition 1.1.1, que l’on peut aussi exprimer à l’aide de l’opérateur de Calderón.

Étude de l’unicité des solutions du problème extérieur avec CIOE sur le bord

Il est bien entendu que pour chaque CIOE, le problème avec une onde incidente conduit s’il y a unicité, à une unique solution diffractée dont on espère qu’elle est une approximation de la solution exacte du problème diffracté avec opérateur de Calderón.
Tout le problème est de choisir les paramètres complexes des CIOE, obtenus grâce à des approximations issues de critères physiques (matériaux, courbure et fréquence) mais ne dépendant pas de la solution du problème diffracté calculée avec l’opérateur de Calderón.
Il apparaît donc comme incorrect de considérer des paramètres qui ne permettraient pas d’obtenir une unique solution. Plus exactement, comme on ne connaît pas de condition nécessaire et suffisante d’existence et d’unicité, on se contentera de garantir l’unicité de la solution dans des cas plus restreints, ceux de conditions suffisantes d’unicité.
S’il n’y a pas unicité, d’après l’alternative de Fredholm pour un problème avec source, on peut ne pas avoir existence. Dans le cas d’une source nulle, l’existence est assurée puisque la solution nulle vérifie toutes les conditions et équations du problème.
Nous allons assurer l’unicité de la solution du problème sans source, c’est-à-dire déterminer des CSU qui piloteront le choix des paramètres, et par linéarité l’unicité du problème avec source est assurée, sans que les CSU ne changent. Elles pourront donc être utilisées même si le problème inclut une onde incidente, par exemple dans le chapitre 6.
Les démonstrations des résultats de cette partie sont l’objet du chapitre 2, ainsi les CSU des autres CIOE. Afin de garantir la proposition 1.1.1, les conditions suivantes permettent de choisir les paramètres des CIOE correspondantes.

Conclusion

Nous avons réussi à fournir pour plusieurs CIOE des CSU qui permettent de garantir l’unicité des solutions du problème de Maxwell. Nous avons vu que ces conditions étaient non-linéaires, s’exprimaient comme des inégalités, des égalités, mais aussi par différences (ex z 6 = 0). Par contre, elles sont indépendantes de la géométrie et de la fréquence. De plus, nous sommes en mesure de calculer l’expression des champs et de l’opérateur d’impédance grâce au calcul en amont d’un déterminant. Grâce à cette condition, le problème est bien posé.

Introduction

Pour déterminer des coefficients complexes satisfaisants aux conditions introduites dans la partie précédente, nous commençons par la méthode de l’approximation du plan tangent, documenté par Hoppe et al. 1995 ; Marceaux et al. 2000 ; Aubakirov 2014. Cette méthode consiste à considérer localement l’objet, supposé régulier, comme son plan tangent comme un plan infini, ce qui reste valable dans le cadre de cette thèse, car nos objets d’études sont parfaitement réguliers.
Nous rappellerons l’opérateur de Calderón exact qui lie les champs électromagnétiques à la surface extérieure de l’objet, ainsi que la condition nécessaire pour l’obtenir.
Pour des considérations de mise en œuvre numérique, nous présenterons une méthode itérative pour exprimer cet opérateur. Cette dernière va ajouter des conditions, dont nous rappellerons qu’elles ne sont à considérer que dans le cadre de cette méthode itérative.

Expression de la matrice d’impédance pour une couche de matériau

On commence par montrer un lemme très utile pour trouver l’expression de. Lemme 3.6 (Continuité des impédances). Soit zm une interface entre deux matériaux. Soient ( →Et ,→ Ht ) des champs solutions du problème de Maxwell dans les deux couches, alors si l’on peut définir des matrices qui lient les traces tangentielles des champs à l’interface de ces couches, alors ces matrices sont identiques sur l’interface.

Choix des coefficients de la CI3 par moindres carrés sur l’impédance

Dans la section précédente, nous avons exprimé les matrices Z (dite d’impédance) et la matrice ˆ R (dite de réflexion) en fonction de l’empilement. Nous allons montrer que nous pouvons choisir deux manières de trouver les coefficients de la CIOE CI3 (ce qui s’étend facilement aux CIOE dérivées de cette dernière).

Choix de la méthode numérique pour résoudre la minimisation sous contraintes

Des méthodes basées sur le gradient sont adaptées, car la fonction est dérivable pour tout X et les contraintes se comportent comme des polynômes dépendant uniquement des composantes de X . Nous avons donc fait le choix de la méthode sequential quadratic programming (SQP) pour les raisons suivantes :
— elle est éprouvée depuis Kraft 1988 et des sources Fortran à jour sont disponibles à https://github.com/jacobwilliams/slsqp, ce qui est capital pour l’intégrer dans un code industriel ;
— elle est rapide, nous avons observé que cette méthode convergeait en quelques dizaines d’itérations au plus ;
— elle accepte des contraintes non linéaires, donc elle est adaptée à nos CSU.

Conclusion

Nous avons proposé une méthode pour calculer des coefficients complexes vérifiant une des CSU choisie, et qui permettent d’approcher l’opérateur de Calderón dans le cas d’un objet plan infini en minimisant au sens des moindres carrés la différence entre les matrices d’impédance exactes et approchées.
Nous avons montré que minimiser l’erreur entre les matrices de réflexion aboutit aux mêmes coefficients de CIOE. Pour cela, nous avons réalisé une analyse spectrale des équations de Maxwell et montré que la condition d’impédance s’exprime comme un multiplicateur de Fourier matriciel, tout comme la matrice de réflexion. Grâce à cette analyse spectrale, nous avons aussi exprimé les CIOE comme des multiplicateurs de Fourier matriciels dont on a déduit la matrice de réflexion associée. Nous avons alors exprimé le problème de minimisation sous contraintes et montré que celui-ci a besoin d’être réduit dans le cas d’une couche de matériau sans pertes. Nous avons montré sur cette géométrie que la CIOE choisie, la CI3, était largement plus précise que les précédentes CI01 et CI1. Ce gain en précision est tel que l’on peut introduire des contraintes lors du calcul et avoir une solution finale convenable, relativement à l’opérateur exact.

Introduction

L’introduction de courbures dans les CIOE est un atout majeur, car les objets réels sont rarement plats. Nous considérons ici le cas d’un cylindre infini déjà traité par Hoppe et al. 1994 en reprenant largement les résultats du plan.

Applications numériques

Pour une couche de matériaux sans pertes, la matrice Z est imaginaire pure, donc les parties réelles ne sont pas tracées.
La figure 4.1 permet de vérifier les résultats de Hoppe et al. 1995, p. 62 (voir Figure H.2)

Résultats numériques

La figure 6.5 contient la SER monostatique d’un cône-sphère, éclairé depuis le nez, calculée par un code axis symétrique de type équations intégrales avec maillage des matériaux. Cette SER est comparée avec les SER calculées par le code maquette équations intégrales couplées avec les CIOE CI0 et CI3 où les coefficients sont calculés dans le cadre de l’approximation du plan tangent.
Il y a 34056 inconnus pour le système linéaire final, pour ce cône-sphère (voir figure 6.6). Avec une structure de données type matrice complexe pleine sur 64 bits, cela représente environ 19 Gigaoctets de mémoire vive pour le système linéaire final.
Par manque de temps, nous n’avons pas de résultats numériques avec des coefficients de CIOE calculés avec le cas du cylindre ou de la sphère.
Ces figures montrent que la SER calculée par EI avec CIOE est très proche de la solution de référence, même dans l’approximation du plan tangent et valident numériquement notre méthode.

Conclusion

Rétrospectivement, pour résoudre le problème de la diffraction électromagnétique par équations intégrales en assurant l’unicité des solutions a priori, nous avions la CIOE CI1 et une CSU. Les coefficients de la CIOE n’étaient calculables par minimisation que dans le cadre de l’approximation locale de l’objet par son plan tangent. Cependant, cette CIOE n’était pas vraiment performante même si l’on ne vérifiait pas les CSU et les outils numériques en place ne permettaient pas une utilisation de cette méthode dans un code industriel.
Il existait dans la littérature une CIOE proche de cette dernière, qui donnait d’excellents résultats sans CSU. Nous avons alors réussi à trouver plusieurs CSU pour cette CIOE. La résolution par couplage équation intégrale avec CIOE donne alors des SER plus proches des résultats de référence, même quand les coefficients sontcalculés dans l’approximation localement plane.
Nous avons voulu intégrer des courbures locales en approchant l’objet localement par un cylindre ou une sphère. Nous avons déterminé que les outils mathématiques en place étaient bons, car les opérateurs associés à ces géométries convergent vers ceux du plan quand le rayon augmente. Nous avons remarqué que les CIOE considérées étaient performantes pour la sphère, mais pas pour le cylindre à cause de son anisotropie. Numériquement, nous avons conclu qu’il était alors plus judicieux de garder l’approximation plan infini local pour nos empilements.
Nous avons trouvé une CIOE plus adaptée au cylindre et l’établissement de CSU ainsi que l’intégration de cette CIOE dans les équations intégrales est une perspective possible. Enfin, aucune analyse n’a été faite concernant la précision des CIOE quand l’ordre de ces dernières augmente, un point soulevé lors de la conférence WAVES2019, à Vienne (Autriche).

Table des matières
Remerciements
Informations 
Table des figures 
Acronymes et notations 
Acronymes 
Notations Mathématiques
Notations Physiques 
Opérateurs 
Introduction 1
1 Contexte mathématique global 5
1.1 Équations de Maxwell à l’intérieur et à l’extérieur de l’objet
1.2 Problème de Maxwell à l’extérieur de l’objet avec opérateur de Calderón sur son bord
1.3 Problème de Maxwell à l’extérieur de l’objet avec approximation de l’opérateur de Calderón sur son bord
1.4 Étude de l’unicité des solutions du problème extérieur avec CIOE sur le bord
2 Unicité des solutions de Maxwell 
Introduction
2.1 Une condition suffisante assurant l’unicité des solutions du problème de Maxwell extérieur
2.2 Des CSU pour les CIOE de Stupfel et Poget 2011
2.3 Des CSU pour la CIOE de Marceaux et Stupfel 2000
2.4 Une CNS pour l’unicité des solutions du problème de Maxwell intérieur
Conclusion
3 Calcul des coefficients pour un plan infini 
Introduction
3.1 Analyse de Fourier de l’impédance
3.2 Opérateur de Calderón pour un plan
3.3 Approximation par une CIOE de l’opérateur de Calderón plan
3.4 Choix 1 des coefficients de la CI3
3.5 Choix 2 des coefficients de la CI3
Conclusion
4 Calcul des coefficients pour un cylindre infini 
Introduction
4.1 Opérateur de Calderón pour un cylindre infini .
4.2 Approximation par une CIOE de l’opérateur de Calderón du cylindre
4.3 Choix 1 du calcul des coefficients de la CI3
4.4 Choix 2 du calcul des coefficients de la CI3
4.5 Résultats numériques
Conclusion
5 Calcul des coefficients pour une sphère
Introduction
5.1 Les harmoniques sphériques vectorielles
5.2 Opérateur de Calderón pour une sphère
5.3 Approximation par une CIOE de l’opérateur de Calderón de la sphère
5.4 Choix 1 du calcul des coefficients de la CI3
5.5 Choix 2 du calcul des coefficients de la CI3
5.6 Résultats numériques
Conclusion
6 Contribution des CIOE dans une formulation équation intégrale
Introduction
6.1 Espaces fonctionnels
6.2 Équations intégrales
6.3 Discrétisation de la surface de l’objet
6.4 Fonctions de projections
6.5 Matrices de projections
6.6 Matrice de changement d’espace
6.7 Forme variationnelle des équations intégrales
6.8 Contribution de la CIOE dans la discrétisation de la forme variationnelle
6.9 Forme finale du système linéaire
6.10 Résultats numériques
Conclusion 
Annexes 
A Liste synthétique des CIOE
B Formulation des équations de Maxwell
C Opérateurs différentiels surfaciques sur 3 géométries
D Solution dans le plan quand k3 = 0
E Solution dans le cylindre quand k3 = 0
F Fonctions de Bessel
G Harmoniques sphériques
H Courbes de HOPPE 1995
I Espaces Hdiv et Hrot

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