Soutenance mémoire
La mécanique des milieux continus est une discipline scientifique ou l’on souhaite construire un modèle cohérent pour prédire l’évolution d’un milieu (ici, le fluide considéré). D’un point de vue historique, l’étude des écoulements bi fluide est un parfait exemple de recherche conduite par les applications. Aujourd’hui, elle offre une palette d’applications extrêmement diversifiée en mécanique des fluides. Ces études de mélange en géométrie confinée de canaux allongés ont des applications dans de nombreux domaines :
● Réactions chimiques entre les fluides de densités différentes dans des récipients de grande longueur ou des réacteurs tubulaires.
● Dispersion de polluants denses dans des couches d’eau profonde.
● Océanographie : mélange d’eau douce et d’eau salée ou d’eaux de salinités différentes.
Nous nous intéressons dans le présent mémoire à l’étude locale de l’écoulement du mélange de deux fluides de densités différentes initialement séparés dans la géométrie confinée d’un tube horizontal. Contrairement à beaucoup d’opérations de mélange industriel, les deux fluides ne sont pas agités, le mélange est ici induit par l’autodiffusion de ces derniers et la différence de densité entre les deux fluides. Les équations de notre modèle d’étude sont d’une part les équations de conservations qui s’appliquent dans tous les milieux, et d’autre part les équations de comportement(ou de constitution) qui sont spécifiques au comportement particulier du matériau considéré. Les conditions aux limites sont, en général, classées en condition initiales et en conditions aux frontières. Les configurations simplifiées envisagées conduisent à des solutions exactes des équations de Navier-Stokes. Il s’agit en fait des situations très spéciales qui permettent une résolution analytique complète.
Adimensionalisation des équations dans la zone de mélange
Les équations générales établies doivent permettre, en théorie, de résoudre tous les problèmes de transferts relatifs aux fluides newtoniens. En pratique cependant, il y a une quasi-impossibilité à résoudre complètement ces équations à chaque instant et en tout point de l’écoulement, sauf dans quelques cas particuliers. Il est donc indispensable de procéder à une simplification, en établissant une méthode de travail plus opérationnelle, et en élaborant des modèles schématisés qui constituent cependant une description aussi fidèle que possible de la réalité observable. On pourra ainsi établir des lois phénoménologiques d’un usage beaucoup plus commode. Dans ce but, et vu la multiplicité des paramètres qui interviennent dans l’ensemble des équations de bilans, il peut paraître judicieux de les agglomérer sous forme de groupements adimensionnels, pour faciliter l’interprétation et la comparaison des résultats expérimentaux. Pour ce faire, la méthode la plus naturelle consiste à implanter des grandeurs sans dimension dans les équations.
MODELISATION NUMERIQUE
La formulation mathématique de notre problème a conduit à un système d’équations aux dérivées partielles fortement non linéaires et couplées dont la solution analytique est inaccessible directement. Pour résoudre un tel système nous devons donc recourir à une méthode approchée. Parmi les méthodes approchées les méthodes numériques sont de nos jours les plus utilisées car les calculateurs ont de grosses capacités mémoire et peuvent nous donner des résultats quasiinstantanés et l’expérience numérique peut être reproduite à l’infini.
La résolution numérique de notre système d’équations établi dans le chapitre précédent, nécessite leur transformation en des systèmes d’équations algébriques par l’une des méthodes de discrétisation les plus utilisées dans la simulation numérique des problèmes de la mécanique des fluides à savoir la méthode des différences finies, la méthode des volumes finis ou la méthode des éléments finis. Nous avons choisi la méthode des volumes finis, du fait de sa robustesse numérique et de son formalisme très proche de la réalité physique. En outre elle garantit la conservation des flux globaux et aux interfaces des volumes de contrôle.
Méthode de résolution
Pour résoudre le système d’équations discrétisées, nous faisons appel à des méthodes itératives qui sont basées sur l’application répétée d’un simple algorithme menant à la convergence désirée après un nombre fini de répétitions (itérations). Nous ferons dans ce travail appel à la méthode itérative de relaxation ligne par ligne de Gauss-Siedel. L’algorithme de calcul comprend les étapes suivantes :
1. Initier les champs de vitesse (On donne un champ arbitraire des vitesses).
2. Calculer les coefficients de l’équation de la vorticité.
3. Calculer le champ de vorticité.
4. On résout l’équation de la fonction de courant par une méthode itérative de type Gauss Siedel et on en déduit le nouveau champ des vitesses
5. On compare le champ des vitesses calculées avec celui qui a été initié.
6. Si le test est satisfaisant, on arrête les calculs sinon on remplace les anciennes valeurs des vitesses par les nouvelles et on retourne à l’étape 2 .
Nous avons étudié dans ce chapitre l’écoulement forcé de deux fluides dans une conduite horizontale. Nous avons eu d’une part à utiliser les équations de Navier Stokes pour régir l’écoulement de notre mélange et d’autre part à les adimensionnaliser afin de réduire les paramètres de calcul et d’introduire certains nombres caractéristiques de l’écoulement.
Finalement, nous avons utilisé d’autres paramètres de l’écoulement à savoir la vorticité et la fonction de courant afin de rendre quasi linéaires les équations les équations de Navier-Stokes et d’éliminer les termes de pressions dans celles-ci pour diminuer la difficulté de résolution.
Cependant,la non linéarité subsiste toujours ; c’est pour cette raison que nous avons utilisé une méthode approchée à savoir une méthode numérique .
Les équations obtenues étant fortement non linéaires nous avons les avons alors modélisées numériquement. Elles ont été d’abord discrétisées avec leurs conditions aux limites associées spatialement par la méthode de volume fini sur un maillage régulier et décalé. Un schéma de Power – Law de Patankar a été choisi pour approcher les coefficients des équations algébriques. Afin de les traiter nous avons mis au point un processus de résolution qui passe par différentes méthodes itératives. Un critère de convergence a été précisé pour arrêter le processus itératif.
La suite logique de ce travail consiste à mettre au point un code de calcul et de comparer les résultats issus de notre modèle à ceux donnés par des expériences afin de le valider. Par la suite nous pourrons alors envisager, afin de s’approcher davantage de la réalité physique .
➤ De tenir compte du régime instationnaire
➤ De calculer les espèces diffusantes dans le mélange
➤ D’utiliser des fluides plus complexes
➤ D’étudier le problème turbulent car les phénomènes de mélange sont en majorité turbulents.
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Table des matières
INTRODUCTION GENERALE
CHAPITRE 1 : MODELISATION MATHEMATIQUE
Introduction
1.1. Description et position du problème
1.2. Comportement de l’écoulement dans la zone de mélange
1.2.1. Vitesse barycentrique et concentration massique
1.2.2. Equation de continuité et de l’impulsion barycentrique
1.2.3. Equation du bilan des constituants ou de diffusion
1.3. Conditions aux limites dans la zone de mélange
1.4. Adimensionalisation des équations dans la zone de mélange
1.5. Nombres adimensionnels
1.6. Conditions aux limites adimensionnelles
1.7. Coefficient de frottement
1.8. Vecteur vorticité et fonction de courant
1.8.1. Vecteur vorticité
1.8.2. Fonction de courant
1.9. Conditions aux limites pour et
Conclusion
CHAPITRE 2: MODELISATION NUMERIQUE
Introduction
2.1. Forme conservative adimensionnelle des équations
2.2. Discrétisation
2.2.1. Discrétisation du domaine – Maillage
2.2.2. Discrétisation des équations
2.2.3. Discrétisation des équations de la vorticité et de la fonction de courant
2.2.4. Discrétisation des conditions aux limites adimensionnelles
2.3. Méthode de résolution
2.3.1. Technique de sous relaxation
2.3.2. Convergence
Conclusion
CONCLUSION GENERALE ET PERSPECTIVES
BIBLIOGRAPHIE
