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Synthèse pour la période de l’Antiquité grecque
Nous avons eu un aperçu de deux systèmes logiques de l’Antiquité grecque : celui d’Aris-tote et celui de Stoïciens. J’en rappelle les principaux éléments en relation avec mon étude :
ils contiennent tous deux un travail important sur le langage, travail qui consiste à préciser de quel type de discours s’occupe la logique, puis à décrire les formes de ce discours, pour pouvoir élaborer un système logique formel.
– La proposition, qui affirme des faits et porte le vrai ou le faux, est un élément de base de ces systèmes logiques. Dans la logique d’Aristote, la proposition est dé-composée en sujet, copule, prédicat. La copule peut-être affirmative ou négative, le sujet peut être prédiqué universellement ou particulièrement, ce qui donne 4 types de propositions. Cette logique est qualifiée de « logique des termes 18 » et néces-site pour la modéliser dans la logique mathématique actuelle d’utiliser le langage des prédicats. Dans la logique des Stoïciens, les propositions simples permettent de fabriquer des propositions composées et l’on retrouve certains connecteurs de notre calcul propositionnel moderne : la négation, la conjonction, la disjonc-tion exclusive. L’implication était sujet de débat : Philon de Mégare en avait une conception conforme au connecteur propositionnel moderne, mais s’opposait ainsi à la conception de son maître Diodore de Cronos. Et Chrysippe en avait encore une autre conception (les discussions s’expliquent notamment par le fait qu’ils ne distinguaient pas entre l’implication entre propositions et l’implication universellement quantifiée).
– Des variables sont utilisées pour remplacer, dans les schémas de raisonnement, les termes chez Aristote ou les propositions chez les Stoïciens. Elles ne sont que des simples marque-place chez Aristote, ces lettres de variables n’ont vocation qu’à être instanciées par des termes. Chez les Stoïciens, les variables utilisées sont des ordinaux, celles-ci étant également vouées à être remplacées par des propositions. Mais les Stoïciens pratiquaient également la substitution de variable, c’est-à-dire le remplacement d’une variable non plus par une valeur, mais par une autre variable.
Les termes sont ce qui peut être sujet ou prédicat.
Ces logiques s’occupent de la validité des raisonnements, garantie par la forme et non le contenu des propositions qui y interviennent. En cela, ces deux logiques peuvent être qualifiées de formelles. Notons cependant deux différences :
– les Stoïciens montraient une attention particulière au langage utilisé à l’intérieur même de la proposition, c’est-à-dire qu’ils rigidifiaient l’utilisation de certains mots de la langue courante, donnant alors à ces mots un rôle de constante lo-gique. Ce souci était moins présent chez Aristote. Nous pouvons ainsi dire que les Stoïciens étaient plus formalistes qu’Aristote.
– Aristote exprimait les schémas de raisonnement sous forme de lois logiques (si 1 et 2 alors ). La validité de ces lois logiques, qui garantissait la vérité de la conclusion sous réserve de la vérité des prémisses, était distinguée de la validité d’un raisonnement, qui était établie lorsque l’on appliquait une loi logique valide à des prémisses vraies. Les Stoïciens exprimaient leurs schémas de raisonnement sous forme de règles d’inférence ( 1 et 2 donc ), dans lesquelles les prémisses sont posées comme vraies et donc aussi la conclusion.
Dans ces deux systèmes cohabitent les aspects syntaxique (les schémas formels de raison-nement) et sémantique (les raisonnements, instanciations de ces schémas). De plus, les règles de conversion des propositions chez Aristote ou les thèmes chez les Stoïciens (règles permettant de ramener des schémas de raisonnement aux cinq tropes indémontrés) sont posés en se référant aux valeurs de vérité, c’est-à-dire avec des considérations sémantiques, mais sont ensuite utilisées de façon syntaxique dans le sens d’une manipulation de signes indépendamment de leur sens.
Il est important de souligner que ces deux systèmes logiques n’ont pas particulièrement vocation à être utilisés en mathématiques. Ils sont des théories du raisonnement dans un cadre général. Les démonstrations d’Euclide, par exemple, ne sont pas du tout rédi-gées sous forme de syllogismes. Ces deux systèmes sont en effet bien insuffisants pour rendre compte des raisonnements mathématiques, ce que nous voyons bien quand nous les « traduisons » dans les termes de la logique mathématique moderne : la logique des Stoïciens reste une logique propositionnelle et dans la logique d’Aristote n’interviennent que des prédicats monadiques, une proposition telle que « » n’y est pas exprimable.
La logique d’Aristote a continué d’être développée, notamment par des philosophes du Moyen-Âge en Europe. C’est de cette époque par exemple que date le classement des syllo-gismes à l’aide de noms mnémotechniques (Barbara, Baroco . . . ). Cette logique est parfois qualifiée de scolastique, car elle était enseignée dans les écoles à l’aide de volumineux trai-tés. Nous allons maintenant voir les positions de deux philosophes et mathématiciens du XVIIe siècle par rapport à cette logique : celle de Descartes et celle de Leibniz.
L’époque moderne : Descartes et Leibniz
L’esprit humaniste de la Renaissance, que l’on retrouve dans les propos de Descartes (phi-losophe et mathématicien français, 1596-1650), rejette l’aspect trop formel de cette logique scolastique. Descartes n’a pas écrit de logique, mais on retrouve ses idées dans La logique ou l’art de penser, traité écrit en 1662, connu sous le nom de logique de Port-Royal car on la doit à Antoine Arnauld et Pierre Nicole, membres de cette abbaye. Leibniz (philo-sophe et mathématicien allemand, 1646-1716) s’oppose presque à cette position. Pour lui l’aspect formel de la logique est la garantie de la validité des raisonnements, l’assimilation d’une démonstration à un calcul l’assurance de la nécessité des conclusions.
Le contexte mathématique dans lequel ces deux positions co-existent presque est très important : depuis Viète, les mathématiques sont en train de vivre une époque de sym-bolisation féconde, à laquelle Descartes et Leibniz ont grandement contribué. Pour l’un comme pour l’autre la démonstration mathématique est un modèle de pensée pour qui recherche des vérités, mais ils n’ont pas la même conception de la démonstration mathé-matique, comme le suggère J. Bouveresse :
Pour Descartes :
La correction du raisonnement ne peut être garantie, justement, que par une attention suffisante et constante au contenu lui-même, et certainement pas par la séparation rigoureuse de la forme d’avec le contenu et le respect de règles formelles de quelque nature que ce soit. (Bouveresse, 2006, p. 18)
Au contraire :
Leibniz soutient que la démonstration est valide en vertu de sa forme et non de son contenu. Elle est constituée d’une suite de propositions qui commence par des identités explicites totales ou partielles, c’est-à-dire des propositions
de la forme « est », « est », etc., et dont chaque proposition est tirée d’une des précédentes par une application du principe de substituabilité des termes identiques salva veritate. (Bouveresse, 2006, p. 20)
Descartes, la logique de Port-Royal
La méthode cartésienne
Descartes est l’un des meilleurs représentants de l’attitude critique vis-à-vis de la logique scolastique. Il lui reproche d’être trop formelle et de peu d’utilité dans la recherche de la vérité :
On sait que des sources de connaissance certaines qu’il admet, l’intuition et la déduction, il fait reposer la seconde sur la première. [. . . ] Dans ces conditions il ne saurait y avoir de raisonnement purement formel qui tienne : ou bien le départ de la déduction consiste en idées claires et distinctes, et alors la déduction n’est pas seulement valable formellement, elle est matériellement vraie ; ou bien les idées initiales sont obscures et confuses, et alors nous n’avons plus de certitude, même logique, quant aux conséquences que nous essayons d’en tirer. On ne saurait raisonner à vide. Ce que Descartes recherche pour la science, ce n’est pas essentiellement la cohérence, c’est la vérité. Ce qu’il demande à la méthode, ce n’est pas d’endormir l’esprit sous la fausse sécurité des règles, c’est au contraire de le rendre vigilant, d’« accroître la lumière naturelle de la raison ». (Blanché, 1970, p. 178)
Le syllogisme n’est plus le modèle pour raisonner, il lui préfère une méthode inspirée des raisonnements par analyse et synthèse des mathématiques. Descartes la résume dans les quatre règles données dans le Discours de la méthode, Pour bien conduire sa raison, et chercher la vérité dans les sciences :
[. . . ] ainsi, au lieu de ce grand nombre de préceptes dont la logique est composée, je crus que j’aurais assez des quatre suivants, pourvu que je prisse une ferme et constante résolution de ne manquer pas une seule fois à les observer.
Le premier était de ne recevoir jamais aucune chose pour vraie que je ne la connusse évidemment être telle : c’est-à-dire, d’éviter soigneusement la précipitation et la prévention ; et de ne comprendre rien de plus en mes jugements, que ce qui se présenterait si clairement et si distinctement à mon esprit, que je n’eusse aucune occasion de le mettre en doute.
Le second, de diviser chacune des difficultés que j’examinerais en autant de parcelles qu’il se pourrait, et qu’il serait requis pour les mieux résoudre.
Le troisième, de conduire par ordre mes pensées, en commençant par les objets les plus simples et les plus aisés à connaître, pour monter peu à peu comme par degrés jusques à la connaissance des plus composés ; et supposant même de l’ordre entre ceux qui ne se précèdent point naturellement les uns les autres.
Et le dernier, de faire partout des dénombrements si entiers, et des revues si générales, que je fusse assuré de ne rien omettre.
Ces longues chaînes de raison toutes simples et faciles, dont les géomètres ont coutume de se servir, pour parvenir à leurs plus difficiles démonstrations, m’avaient donné occasion de m’imaginer que toutes les choses, qui peuvent tomber sous la connaissance des hommes, s’entre-suivent de la même façon, et que pourvu seulement qu’on s’abstienne d’en recevoir aucune pour vraie qui ne le soit, et qu’on garde toujours l’ordre qu’il faut pour les déduire les unes des autres, il n’y en peut avoir de si éloignées auxquelles enfin on ne parvienne, ni de si cachées qu’on en découvre. (Descartes, 1991, pp. 90-91)
Nous retrouvons ici une description de la méthode déductive dans laquelle est affirmé un attachement à la connaissance des objets, c’est-à-dire une préoccupation constante du contenu et le refus d’un raisonnement se détachant du sens.
La logique de Port-Royal
Des extraits de la logique de Port-Royal se trouvent en annexe C, page 463.
Ces positions de Descartes sont reprises dans La logique ou l’art de penser, rédigée par Antoine Arnauld et Pierre Nicole. Cet ouvrage a eu un grand succès et a servi pendant près de deux siècles à l’initiation à la logique de beaucoup de jeunes gens. Sa rédaction marque une rupture avec les gros traités de l’époque scolastique, la volonté des auteurs étant explicitement de proposer quelque chose de court, aisé à retenir et utile (voir extraits du premier discours en annexe page 463). Cette importance accordée à l’aspect pratique de la logique se voit dans l’utilisation de nombreux exemples plutôt que de schémas syllogistiques utilisant des variables.
Par ailleurs, la logique est conçue comme étant un outil d’analyse du langage et du rai-sonnement plutôt qu’un outil pour s’exprimer et raisonner (voir intégralité du préambule intitulé « Logique » en annexe page 465) :
La logique est l’art de bien conduire sa raison dans la connaissance des choses, tant pour s’instruire soi-même que pour en instruire les autres.
Cet art consiste dans les réflexions que les hommes ont faites sur les quatre principales opérations de leur esprit, concevoir, juger, raisonner et ordonner.
Tout cela se fait naturellement, et quelquefois mieux par ceux qui n’ont appris aucune règle de la logique que par ceux qui les ont apprises.
Ainsi, cet art ne consiste pas à trouver le moyen de faire ces opérations, puisque la nature seule nous les fournit en nous donnant la raison ; mais à faire des réflexions sur ce que la nature nous fait faire. (Arnauld & Nicole, 1992, p. 30)
La logique de Port-Royal est divisée en quatre parties, les trois premières reprennent les développements de la logique d’Aristote, la quatrième traite de la méthode cartésienne. C’est l’association de ces deux approches qui est une véritable nouveauté, même si elles sont plus juxtaposées qu’articulées.
La naissance de la logique mathématique : Boole et Frege
Dans la lignée des idées des algébristes anglais de son époque (réunis autour de C. Babbage et G. Peacock), George Boole (philosophe et mathématicien britannique, 1815-1864) veut mettre en place une algèbre nouvelle dans le cadre de la logique, c’est-à-dire exprimer la logique classique avec le symbolisme algébrique. Ses travaux se situent en cela dans la continuité des essais de Leibniz.
Gottlob Frege (philosophe et mathématicien allemand, 1848-1925) est traditionnellement considéré comme le père de la logique mathématique actuelle avec son œuvre Begriff-sschrift (Idéographie). D’autres logiciens (B. Russell, G. Peano, K. Gödel, E. Zermelo, A. Fraenkel, A. Turing. . .) joueront bien sûr un rôle important dans le développement de cette nouvelle discipline qui traite le langage et les raisonnements comme des objets mathématiques.
Le but de l’œuvre logique de Frege est différent de ce que nous avons déjà pu rencontrer. En effet, ce sont essentiellement les besoins des mathématiques qui l’amènent à développer son système, qu’il n’érige pas en théorie générale du raisonnement. Il veut, en mathématiques, assurer la sécurité du raisonnement et estime que les ambiguïtés du langage ordinaire le rendent inadéquat pour ce but, car il ne peut empêcher que quoi que ce soit d’intuitif ne s’insère de manière inaperçue. Il faut alors constituer un système de signes pour le raisonnement mathématique dont « le premier objectif est donc de nous fournir le critère le plus sûr de la validité d’une chaîne d’inférences et de nous permettre de remonter jusqu’à la source de tout ce qui y restait implicite » (G. Frege, cité dans Blanché, 1970, p. 311). Ici le formalisme garantit la rigueur et la rigueur en mathématiques doit être absolue. Il n’est plus seulement question dans son système logique de décrire le langage mais bien de fournir un langage.
Boole et de Frege ne visent pas le même but lorsqu’ils élaborent leurs systèmes respectifs.
Frege s’en explique dans Sur le but de l’idéographie :
Mais le reproche qui m’est adressé ignore que mon but fut autre que celui de Boole. Je n’ai pas voulu donner en formules une logique abstraite, mais donner l’expression d’un contenu au moyen de signes écrits, et d’une manière plus précise et plus claire au regard que cela n’est possible au moyen des mots. (Frege, 1971, pp. 70-71)
Les lois de la pensée de George Boole
Des extraits de Les lois de la pensée se trouvent en annexe D, page 487.
G. Boole expose pour la première fois en 1847 son approche algébrique de la logique dans un petit essai intitulé Analyse mathématique de la logique. Mais cet ouvrage suit encore l’ordre traditionnel d’exposition de la logique classique, aristotélicienne. Puis dans Les lois de la pensée, publié en 1854, il inverse l’ordre de présentation en établissant « d’em-blée une “théorie générale du raisonnement déductif” sur des principes fondamentaux, mathématiques dans leur forme, et dont Boole estime qu’ils constituent les lois mêmes du langage et de l’entendement humains. » (Souleymane Bachir Diane, dans l’introduction à Boole, 1992, p. 14), et en montrant ensuite la puissance de ce système en procédant à un examen de la logique classique à la lumière de celui-ci.
De même que Leibniz développe son système au moment où l’apparition des symboles fait faire de grands progrès à l’algèbre, Boole développe le sien en même temps que ses contemporains algébristes anglais fondent l’« algèbre symbolique », où l’on se contente de calculer sur les signes, sans tenir compte de leur signification qui peut varier dans diverses interprétations. Leur démarche s’appuie sur une relation forte entre travail heuristique et explicitation formelle en algèbre, qu’illustre par exemple le « principe des formes équiva-lentes » de Peacock :
: N’importe quelle forme qui est algébriquement équivalente à une autre lorsqu’elle est exprimée en symboles généraux continue à être équivalente quel que soit ce que ces symboles désignent.
: Proposition réciproque : Toute forme équivalente qui est mise en évidence dans l’algèbre arithmétique considérée comme science de suggestion, lorsque les symboles sont généraux dans leur forme, bien que spécifiques dans leur valeur, doit continuer à être une forme équivalente lorsque les symboles sont généraux dans leur nature ainsi que dans leur forme. (Peacock, A report on a recent progress and actual state of certain branches of analysis, 1833, p. 194, cité dans Le Mignot, 2011, pp. 3-4)
Le propos de Peacock montre que l’articulation entre la syntaxe et la sémantique reste au coeur du travail mathématique. Mais le but de Boole dépasse le cadre des mathématiques, ainsi qu’il l’expose dès le début de Les lois de la pensée (d’autres extraits du premier chapitre Nature et but de l’ouvrage se trouvent en annexe page 489) :
Le but de ce traité est d’étudier les lois fondamentales de l’esprit par les-quelles s’effectue le raisonnement ; de les exprimer dans le langage symbolique d’un calcul, puis, sur un tel fondement, d’établir la science de la logique et de constituer sa méthode ; de faire de cette méthode elle-même la base d’une méthode générale que l’on puisse appliquer à la théorie mathématique des Probabilités ; et enfin, de dégager des différents éléments de vérité qui seront apparus au cours de ces enquêtes, des conjectures probables concernant la nature et la constitution de l’esprit humain. (Boole, 1992, p. 21)
Ainsi, G. Boole constitue une logique qui s’applique à un domaine plus large que les mathématiques. En cela il est dans la continuité de la logique aristotélicienne, et reven-dique fortement le caractère mathématique de son approche. Il propose une entreprise nouvelle que nous pourrions qualifier de « mathématisation de la logique », qu’il base sur la proposition suivante :
Proposition I
Toutes les opérations du langage en tant qu’instrument du raisonnement se peuvent conduire dans un système de signes composé des éléments suivants :
Des symboles littéraux tels que , , etc. représentant les choses en tant qu’objets de nos conceptions.
(2) Des signes d’opération tels que +, , , qui traduisent les opérations de l’esprit par lesquelles les conceptions des choses sont combinées ou séparées de manière à former de nouvelles conceptions comprenant les mêmes éléments.
(3) Le signe d’identité =. et ces symboles logiques voient leur usage soumis à des lois déterminées, qui en partie s’accordent et en partie ne s’accordent pas avec les lois des symboles correspondants dans la science de l’algèbre. (Boole, 1992, p. 45)
Gottlob Frege et la logistique
Des extraits de l’Idéographie se trouvent en annexe E, page 501.
Dans l’algébrisation de la logique, telle que la présente notamment Boole, la mathématique est l’auxiliaire de la logique. À l’inverse, dans la logistique qui naît à la fin du XIXe, la logique est l’auxiliaire indispensable au problème de fondement des mathématiques. Il faut pour cela une logique plus adaptée aux mathématiques que la logique des classes, aussi élaborée que soit celle de Boole. Il faut une logique des relations, qui commence être développée dans les travaux de C. Peirce, ainsi que l’explique L. Couturat dans la conclusion de son ouvrage L’Algèbre de la Logique dans lequel il présente la logique booléenne :
La Logique doit étudier bien d’autres espèces de concepts que les concepts génériques (concepts de classes) et bien d’autres relations que la relation d’in-clusion (de subsomption) entre de tels concepts. Elle doit, en un mot, se dé-velopper en une logique des relations, que Leibniz a prévue, que Peirce et Schröder ont fondée, et que MM. Peano et Russell paraissent avoir établie sur des bases définitives. Or, tandis que la Logique classique et l’Algèbre de la Lo-gique ne sont presque d’aucune utilité aux Mathématiques, celles-ci trouvent au contraire dans la logique des relations leurs concepts et leurs principes fon-damentaux [. . .] On peut donc dire que l’Algèbre de la Logique est une Logique mathématique, par sa forme et par sa méthode ; mais il ne faut pas la prendre pour la Logique des Mathématiques. (Couturat, 1905, p. 95)
Ce commentaire est très intéressant à lire d’un point de vue didactique : les sytèmes lo-giques d’Aristote, des Stoïciens, de Port-Royal, de Leibniz et de Boole peuvent être étudiés dans le cours de mathématiques en tant que systèmes, pour pratiquer le raisonnement et s’astreindre à le formuler dans un certain langage (pour le système d’Aristote par exemple, on peut utiliser les formulations en langage courant « Tous les sont », ou le langage ensembliste, « », ou le langage des prédicats unaires, « [ ] [ ] »), mais ils ne nous sont que de peu d’utilité pour comprendre ce qui se passe dans l’activité mathématique telle qu’elle se pratique, et notamment s’exprime, aujourd’hui.
G. Frege va proposer une nouvelle logique dans le but d’assurer une parfaite rigueur en mathématiques. Il expose ainsi ses motivations dans l’introduction de l’Idéographie (Begriffsschrift), publiée en 1879, ouvrage capital dans l’histoire de la logique :
Ainsi, nous divisons toutes les vérités ayant besoin d’une justification en deux sortes selon que la preuve, pour les unes, peut avancer par la logique pure ou, pour les autres, doit s’appuyer sur des faits d’expérience. [. . . ] Alors que je me demandais à laquelle de ces deux sortes de vérités les jugements arithmétiques appartenaient, je devais d’abord chercher jusqu’où l’on pourrait aller dans l’arithmétique grâce aux déductions seules, appuyé uniquement sur les lois de la pensée, qui sont au-dessus de toutes les particularités. À partir de là, ma démarche était de chercher d’abord à réduire le concept de succession dans une suite à la conséquence logique, puis à progresser vers le concept de nombre. Pour que, ce faisant, quelque chose d’intuitif ne puisse pas s’intro-duire de façon inaperçue, tout devait dépendre de l’absence de lacunes dans la chaîne de déductions. Tandis que je visais à satisfaire cette exigence le plus rigoureusement, je trouvais un obstacle dans l’inadéquation de la langue ; mal-gré toutes les lourdeurs provenant de l’expression, plus les relations devinrent complexes, moins elle laissa attendre l’exactitude que mon but exigeait. De ce besoin résultat l’idée de l’idéographie dont il est question ici. Elle doit ainsi d’abord servir à examiner de la manière la plus sûre la force concluante d’une chaîne de déductions et à dénoncer chaque hypothèse qui veut s’insinuer de façon inaperçue, afin que finalement sa provenance puisse en être recherchée. (Frege, 1999, p. 6)
Frege n’est pas cité dans le commentaire de Couturat car ses travaux n’ont pas eu, à l’époque de leur publication, l’accueil qu’il espérait. Pour J. Largeault, « à la fin du XIXe siècle l’indifférence des mathématiciens à l’égard de l’invention d’une idéographie s’explique donc par le fait qu’on ne ressentait pas d’urgence à remplacer partout l’intui-tion par le calcul », et « plus tard, lorsque la formalisation c’est-à-dire l’utilisation d’une idéographie sera reconnue comme la base de toute discussion ou comme une condition nécessaire dans tout travail sur les fondements, on disposera d’un traité plus commode et plus complet que les Grundgesetze, grâce à Whitehead et à Russel . » (Largeault, 1970, p. 4)
Frege est tout de même aujourd’hui reconnu comme précurseur de la logique mathéma-tique contemporaine et nous allons voir maintenant quels ont été ses apports majeurs dans ce domaine. Il a notamment fourni les éléments de base du langage des prédicats moderne.
Synthèse pour la période de la naissance de la logique mathématique
Le XIXe siècle voit se renforcer les liens entre logique et mathématiques. D’abord avec le développement de l’Algèbre de la Logique de G. Boole, qui est une approche mathématique de la logique, puis avec le développement, initié par G. Frege, de la logique en vue de répondre aux problèmes de fondements des mathématiques.
Pour ce qui est de mon étude, je rappelle les éléments suivants de ces deux systèmes étudiés, qui concernent essentiellement le langage :
– Boole propose une algébrisation de la logique. Il n’introduit pas un nouveau langage, mais traduit les propositions en utilisant des symboles algébriques existant (lettres minuscules, signes d’addition et de multiplication, 0 et 1, signe d’égalité) et s’appuie sur le raisonnement usuel pour établir des lois concernant ces symboles. Il franchit un pas important en substituant à la description de la proposition en termes de sujet et prédicat une description en termes d’égalité de classes.
– Frege au contraire propose un nouveau système de signes, une Idéographie spéciale-ment conçue pour exprimer les propositions et les raisonnements mathématiques. Il introduit ainsi les éléments de la logique mathématique actuelle. Sa description de la proposition en termes de fonction et argument est un pas essentiel qui permet enfin que soient formalisées des propositions faisant intervenir des prédicats à plus d’une place. La quantification est alors un procédé qui opère sur les arguments, mais qui n’est pas nécessaire à la construction d’un contenu de jugement, ce qui permet que le système modélise aussi bien la proposition dans laquelle les variables et ne sont pas quantifiées, que la proposition et la proposition , et donc que soit possible la distinction fondamentale entre proposition « ouverte » (les deux premières) et proposition « close » (la troisième, dans laquelle toutes les variables sont quantifiées) sur laquelle nous reviendrons la suite de Frege, Bertrand Russell (philosophe et mathématicien britannique, 1872-1970) a beaucoup contribué à accréditer cette nouvelle logique en publiant entre 1910 et 1913, avec son collègue Alfred Whitehead, les Principia Mathematica. De nombreuses no-tions de cet ouvrage sont communes avec l’œuvre de Frege, dont Russell avait eu connais-sance et dans laquelle il avait découvert une contradiction, et c’est plutôt les notations de Russell, inspirées du Formulaire de mathématiques de G. Peano 32, qui seront ensuite utilisées.
David Hilbert (mathématicien allemand, 1862-1943) expose au congrès international des mathématiciens de 1900 une nouvelle discipline mathématique, la théorie de la démons-
Le Formulaire de mathématiques est une œuvre dirigée par G. Peano qui vise à exprimer de façon organisée les principales théories mathématiques dans la langue symbolique introduite par Peano (le pre-mier chapitre est intitulé « Logique Mathématique »). La publication du formulaire connut cinq éditions différentes de 1895 à 1908 avec comme but de démontrer la cohérence des mathématiques. La présentation axiomatique des mathématiques se développe et les théories mathématiques deviennent elles-mêmes objet d’étude. En 1931, avec le théorème d’incomplétude, Kurt Gödel (ma-thématicien autrichien, naturalisé américain, 1906-1978) montre qu’un système suffisant pour exprimer l’arithmétique ne peut pas montrer sa propre consistance, c’est-à-dire qu’il n’est pas contradictoire (on trouvera une version plus rigoureuse du théorème d’incomplé-tude en annexe page 453). Ceci porte un coup dur à l’idée de fonder les mathématiques sur la logique, mais n’empêche pas la logique mathématique de continuer à se développer indépendamment de prétentions fondatrices.
Synthèse de l’étude épistémologique
Nous avons pu voir dans ce chapitre l’évolution qui a mené à la constitution récente de la logique mathématique. Nous y avons rencontré différentes conceptions de ce qu’est la logique, de ses buts, de ses moyens. La logique d’Aristote, et parallèlement celle des Stoïciens, est une théorie de l’inférence valide (Quine, cité dans Durand-Guerrier, 2005, p. 12). À partir de certains raisonnements de base considérés comme évidents, ces auteurs donnent des méthodes permettant de justifier la validité d’autres raisonnements. Du point de vue du langage, la logique d’Aristote est traditionnellement décrite comme une logique des termes : la proposition est décomposée en sujet-copule-prédicat 33 et il distingue quatre formes de propositions, selon un critère de qualité (positive ou négative) et un critère de quantité (universelle ou particulière). De leur côté, les Stoïciens développent une logique des propositions, c’est-à-dire qu’ils décrivent les mécanismes de construction de proposi-tions composées à partir de propositions simples à l’aide de connecteurs logiques.
Ces deux systèmes logiques continuent d’être développés dans la tradition scolastique du Moyen-âge et leur exposition est l’objet de volumineux traités. Puis la Renaissance est une période de mise en sommeil pour la logique, celle-ci étant délaissée au profit de la recherche d’une méthode. Au XVIIe siècle, Descartes critique ce traitement formel des raisonnements qui n’en assure que la cohérence et pas la vérité. C’est également dans cette période qu’est rédigée la logique de Port-Royal (1662) dans laquelle l’utilisation de nombreux exemples servant à exercer la perception est préférée à l’utilisation de schémas formels pour décrire les raisonnements. Le formalisme de la tradition scolastique est vu comme une entrave au fonctionnement de l’intuition.
la même époque, de façon isolée, Leibniz propose un système logique dans lequel plu-sieurs logiciens d’aujourd’hui s’accordent à retrouver les enjeux de la logique moderne. Contrairement à Descartes, Leibniz voit dans la formalisation de la logique un moyen d’atteindre des vérités de manière indiscutablement valide. Dans le sillage de Viète et de Descartes, il apporte sa contribution aux progrès en algèbre, notamment en matière de symbolisation, et a l’ambition de constituer une algèbre de la pensée. Ceci signifie une mathématisation de la logique, par la constitution d’un langage universel, Lingua cha-racteristica universalis, permettant un Calculus ratiocinator, c’est-à-dire le remplacement des raisonnements par un calcul.
Un siècle plus tard, G. Boole propose une construction formelle qui a pour but de per-mettre un traitement algébrique de la pensée. En cela, il peut être vu comme l’initiateur du développement de la logique comme discipline mathématique, mais ici ce sont les ma-thématiques, et plus particulièrement l’algèbre, qui viennent prêter leurs méthodes à la logique. Ainsi, si la logique booléenne est bien une logique mathématique, elle n’est pas adaptée à la pratique des mathématiques, ce qui n’était d’ailleurs pas son but.
C’est par contre celui de G. Frege, qui est aujourd’hui considéré comme le père de la logique mathématique contemporaine. A travers un important travail de formalisation et de symbolisation, il propose un langage pour les mathématiques, une Idéographie, dont le but est de garantir l’infaillibilité des raisonnements. Les éléments constitutifs de la proposition élémentaire ne sont plus sujet-copule-prédicat mais fonction et argument. La notion de fonction correspond aux prédicats dans l’expression Logique des prédicats : c’est une propriété des objets de l’univers du discours. Ces prédicats peuvent comporter plusieurs arguments et c’est là une différence avec la logique d’Aristote 34 et une avancée essentielle. Frege utilise ensuite deux connecteurs : la négation et l’implication. Autre grande avancée de la logique de Frege, les arguments d’une fonction peuvent être des variables et ces variables peuvent être quantifiées. La quantification se fait à l’aide d’un quantificateur (Frege n’utilise que le quantificateur universel), qui devient, au côté des connecteurs, un autre élément permettant la construction des propositions. Muni d’un tel langage dont il montre la pertinence pour faire des mathématiques, Frege envisage de fonder les mathématiques sur la logique. Il voit dans ce travail non pas une fin mais un moyen, nécessaire pour atteindre son but d’une parfaite rigueur. Ce but est également celui poursuivi par le courant logiciste dont fait partie B. Russell, mais la découverte de paradoxes rend la tâche difficile au point de provoquer ce qu’on a appelé la « crise des fondements ». Ce début du XXe siècle est aussi l’époque du courant axiomatique et du rêve de D. Hilbert d’un système axiomatique formel « universel » permettant pour tout énoncé de le démontrer ou de démontrer sa négation. Cet espoir est ruiné par le théorème d’incomplétude de K. Gödel, ce qui n’empêche pas la logique mathématique de continuer ses recherches, dégagée de cette question des fondements, comme une branche des mathématiques parmi d’autres.
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Table des matières
Introduction
Problématique et questions de recherche
Choix méthodologiques
I Approches épistémologique et didactique
1 Étude de différents systèmes logiques
1.1 L’Antiquité grecque : Aristote et les Stoïciens
1.2 L’époque moderne : Descartes et Leibniz
1.3 La naissance de la logique mathématique : Boole et Frege
1.4 Synthèse de l’étude épistémologique
2 Étude didactique
2.1 Pertinence de la logique des prédicats pour l’étude didactique
2.2 Le langage dans la classe de mathématiques
2.3 Synthèse de l’étude didactique
Conclusion des études épistémologique et didactique
II Proposition d’une référence pour l’enseignement de notions de logique
3 Notions de logique et étude du langage mathématique
3.1 Langage mathématique, discours mathématique, expressions mathématiques
3.2 Variable
3.3 Connecteurs ET et OU
3.4 Négation
3.5 Implication
3.6 Quantificateurs
3.7 Synthèse de l’étude du langage mathématique
4 Les raisonnements
4.1 Formalisation des démonstrations
4.2 Preuves dans le calcul des propositions
4.3 Implication et déduction
4.4 Introduction et élimination des quantificateurs
4.5 Divers types de raisonnement
4.6 Synthèse de l’étude des raisonnements
Conclusion sur la référence pour l’enseignement de notions de logique
III Étude du savoir à enseigner
5 Étude de la place de la logique dans les programmes de mathématiques pour la classe de Seconde depuis 1960
5.1 Analyse globale des programmes
5.2 Analyse par notion de logique des documents qui accompagnent les programmes
5.3 Synthèse de l’étude des programmes et documents d’accompagnement
6 Analyse des manuels
6.1 Analyse des pages « Logique » des manuels de Seconde
6.2 Analyse des exercices dans 5 manuels de 2010
Conclusion de l’analyse du savoir à enseigner 289
IV Analyse d’une formation continue « Initiation à la logique »
7 Les besoins de formation : analyse d’un questionnaire à destination des professeurs de Seconde
7.1 Modalités de passation du questionnaire
7.2 Caractéristiques générales des enseignants qui ont répondu
7.3 Mise en place d’un enseignement de notions de logique et notions travaillées dans la classe
7.4 Connaissances en logique mathématique et activités trouvées ou conçues pour atteindre les objectifs fixés par le programme
7.5 Recours à des ressources
7.6 Mise en forme de l’enseignement de notions de logique et institutionnalisation des connaissances
7.7 Des précisions sur l’institutionnalisation sur les connecteurs ET et OU
7.8 Synthèse du questionnaire et retour sur les besoins supposés
8 Analyse de la formation continue « Initiation à la logique »
8.1 Le scénario de la formation
8.2 Déroulement et analyse de la première journée du stage de 2013
8.3 Les activités présentées par les stagiaires
8.4 Bilan de la formation 2013
Conclusion de l’étude de la formation continue « Initiation à la logique »
Conclusion générale et perspectives
Études épistémologique et didactique
Proposition d’une référence pour l’enseignement de notions de logique
Étude du savoir à enseigner
Analyse d’une formation continue « Initiation à la logique »
Perspectives
Références
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