Soutenance mémoire
L’étude de la convection naturelle occupe une place de choix vue son importance dans de nombreuses applications naturelles et industrielles. La convection naturelle thermique est définie comme le mouvement d’ascension des fluides dû a un gradient de température. Elle représente, avec les transferts de chaleur par conduction et par rayonnement un des trois modes de transfère de chaleur.
Beaucoup de chercheurs ont travaillé théoriquement ou e xpérimentalement sur la convection naturelle dans un e space annulaire situé entre deux cylindres ou de ux sphères. Weber et al. [1] , Powe et al. [2], Astill et al. [3] ont étudié la convection naturelle entre deux sphères excentrées verticalement. D’autres auteurs Sarr et al. [4], Ingham et al. [5], Garg et al. [6], Fujii et al. [7] ainsi que Sanjai et al. [8] ont étudié le cas de deux cylindres ou 2 sphères. Sow et al. [9] ont eu à traiter récemment le cas de la convection naturelle d’un fluide entre deux sphères excentrées verticalement, la sphère interne étant soumise à une densité de flux de chaleur constante en utilisant mais l’application dans un espace annulaire situé entre deux hémisphères excentrées verticalement n’a pas encore fait l’objet d’études poussées. Notons qu’elle est intéressante car elle constitue une généralisation de la cavité annulaire utilisée par exemple comme échangeur dans la conversion énergétique.
DESCRIPTION ET FORMULATION MATHEMATIQUE DU PROBLÈME
description du problème
Cette étude a pour objet l’étude de la convection naturelle d’un fluide dans l’espace situé entre deux hémisphères excentrés verticalement. Les frontières du domaine sont solides, immobiles et imperméables. Les parois verticales de l’enceinte sont adiabatiques tandis que celles qui sont sphériques sont isothermes.
hypothèses simplificatrices
Nous faisons les hypothèses simplificatrices suivantes :
− l’écoulement est bidimensionnel
− les propriétés physiques du fluide sont constantes hormis la masse volumique dans l’équation du mouvement approchée par la loi de Boussinesq suivante: ρ=ρ0 (1-β (T-T0))
− dans l’équation de la chaleur, on néglige l’effet de pression, la fonction de dissipation et le rayonnement
résolution des équations
résolution des équations paraboliques
Les équations paraboliques ayant se feront résoudre en deux étapes selon la méthode appelée en anglais méthode « ADI » (Alternative Direction Implicite). Cette méthode a déjà été utilisée par PEACEMAN et RACHFORD en 1955. Elle consiste à discrétiser les paramètres de l’équation en deux demis pas de temps en utilisant le développement de Taylor
Méthode A D I
– Algorithme de Thomas pour les équations de type parabolique Ces équations permettent d’aboutir chacune à un système tri diagonal qu’on résout avec la méthode d’élimination de THOMAS lorsqu’elles sont appliquées à un poi nt du do maine Comme hypothèse de départ, nous considérons que pendant un certains temps ∆t étudié les gradients de température dans les deux équations paraboliques sont constantes. Il en sera de même aux niveaux des frontières. Cette approximation, adoptée par de nombreux auteurs comme WILKES et CHURCHILL, SAMUELS et CHURCHILL …etc.
Test de convergences des calculs
Les tests de convergence sont utilisés pour apprécier la convergence des calculs dans ce cas d’espèce
-sur une période de temps ∆t donné, les résultats ne sont pris en considération qu’après convergence des calculs itératifs sur les vorticité les températures.
-à la fin d’une période ∆t donnée, les résultats sont comparés à ceu x de l’instant précédent et les calculs sont arrêtés lorsque la solution stationnaire est atteinte .
Nous avons étudié la convection naturelle dans l’espace située entre deux hémisphères isothermes dont les parois verticales sont adiabatiques. Les parois externes et internes sont fixées respectivement aux températures T1 etT2.
Une étude mathématique reposant sur les expressions analytiques des équations de Navier Stockes en coordonnées bisphèriques a é té mise en œuvre pour modéliser le mouvement du fluide à l’intérieur de l’enceinte ainsi que les transferts de chaleur à travers les parois actives. Ce modèle est basé par sur les hypothèses de Bousinesq et sur la bidimensionnalité de l’écoulement. Cependant, nous avons étudié les conditions aux limites mais nous avons introduit le nombre de Nusselt pariétal .
L’analyse numérique proposée, qui repose sur une méthode de discrétisation des équations précitées dans le domaine et sur les parois, a été développée selon la méthode aux différences finies. Ensuite nous avons procédé a la résolution par la méthode ADI (Alterning Direction Implicit method) pour les équations de la vorticité et de la chaleur qui sont parabolique et par la méthode SOR (Successive Overrelaxation method) pour l’équation de la fonction de courant qui est elliptique. Enfin, un organigramme numérique est établi pour les résultats obtenus La résolution de l’équation elliptique aboutit à un calcul itératif tan disque les équations paraboliques permettant de déterminer les champs de température et de la vorticité ont abouti à des systèmes d’équations tridiagonales dont les coefficients des différentes équations ont été explicités
La résolution de l’équation elliptique aboutit à un calcul itératif tan disque les équations paraboliques permettant de déterminer les champs de température et de la vorticité ont abouti à des systèmes d’équations tri diagonales dont les coefficients des différentes équations ont été explicités La théorie et la résolution des équations devaient prédire le taux d’amplification,la localisation les caractéristiques(fréquentielles)des modes les plus instables( ou les plus stables apparaissant dans la route du chaos aux sein de cette cavité.
Mais il se trouve qu’à ce jour, il n’existe pas de modèle capable de simuler correctement les transfères par convection naturelle dans les enceintes. Les spécialistes évoquent, par exemple : « un déficit de stratification » c’est-à-dire l’impossibilité de bien recaler les modèles sur des expériences de laboratoire à partir de la comparaison des gradients de température rencontrés dans le volume intérieur à l’enceinte. Nous nous proposons donc de bâtir un programme de recherche qui permettrait de résoudre ce type d’énigme à travers l’étude des phénomènes rencontrés dans la convection naturelle en cavité.
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Table des matières
INTRODUCTION
I. DESCRIPTION ET FORMULATION DU PROBLEME
-1 DESCRIPTION DU PROBLEME
-2 HYPOTHESES SYMPLIFICATRICES
-3 FORMULATION VECTORIELLE DU PROBLEME
-3-1 EQUATION DE CONTINUITE
-3-2 EQUATION DU MOUVEMENT
-3-3 EQUATION DE LA CHALEUR
-4 INTRODUCTION DE LA FONCTION DE COURANT ET DE LA VORTICITE EN COORDONNES BISPHERIQUES
-4-1 DEFINITION DES COORDONNES BISPHERIQUES
-4-2 FONCTION DE COURANT
-4-3 VORTICITE
-5 EQUATIONS DE TRANSFERT AVEC LA FORMULATION VORTICITE ET FONCTION DE COURANT
-5-1 EQUATION DU MOUVEMENT
-5-2 EQUATION DE LA CHALEUR
-5-3 EQUATION DE LA FONCTION DE COURANT
-6 CONDITIONS INNITIALES
-7 CONDITIONS AUX LIMITES
-8 ADIMENTIONNALISATION
-8-1 CHOIX DES GRANDEURS
-8-2 EQUATIONS DU MOUVEMENT
-8-3 EQUATION DE LACHALEUR
-8-4EQUATION DE LA FONCTION DE COURANT
-9 COEFFICIENT D’ECHANGE DE CHALEUR : NOMBRE DE NUISSELT
-9-1 DEFINITION
-9-2 NOMBRE DE NUISSELT PARIETAUX
-10 CONCLUSION
II. RESOLUTION NUMERIQUE DES EQUATIONS
-1 DISCRETISATION DU DOMAINE ET DES FONCTIONS
-1-1 MAILLAGE
-1-2 DISCRETISATION DES FONCTIONS
-2 FORMULATION NUMERIQUE DU PROBLEME
-3 DISCRETISATION DES EQUATIONS
-3-1 DISCRETISATION DES EQUATIONS DE TYPE PARABOLIQUE
DISCRETISATION DE L’EQUATION DE LA CHALEUR
DISCRETISATION DE L’EQUATION DE LA VORTICITE
-3-2 DISCRETISATION DE L’EQUATION DE TYPE HYPERBOLIQUE : EQUATION DE LA FONCTION DECOURANT
-4 DISCRETISATION DES CONDITIONS INITIALES ET AUX NIVEAUX DES FRONTIERES
-5 DEVELOPPEMENT DES EQUATIONS DANS LE DOMAINE
-5-1 EQUATION PARABOLIQUE
-5-1-1 EQUATION DE LA CHALEUR
-5-1-2 EQUATION DE LA VORTICITE
-5-2 EQUATION ELLYPTIQUE : EQUATION DE LA FONCTION DE COURANT
-6 DEVELOPPEMENT DES EQUATIONS SUR LES FRONTIERES
-6-1 EQUATION DE LA CHALEUR
-6-2 EQUATION DE LA VORTICITE
-6-3 EQUATION DE LA FONCTION DE COURANT
-7 RESOLUTION DES EQUATIONS
-7-1 RESOLUTION DES EQUATIONS DE TYPE PARABOLIQUE
-7-1-1 METHODE ADI
-7-1-2 RESOLUTION
-7-2 RESOLUTION DE L’EQUATION DE LA FONCTION DE COURANT
-8 TEST DE CONVERGENCE DES CALCULS
-9 ORGANIGRAMME GENERAL DES CALCULS
-10 CONCLUSION
III. CONCLUSION GENERALE
