Soutenance mémoire
Préambule sur les algèbres de Leibniz
Généralités
On nomme algèbre tout couple (A, µ) composé d’un espace vectoriel A et d’une application linéaire µ : A ⊗ A → A, appelée multiplication. Sauf mention contraire, on considèrera dans ce manuscript des algèbres et des espaces vectoriels de dimension finie définis sur un corps K de caractéristique 0.
Définition 1.1.1. Une algèbre de Leibniz à gauche est une algèbre L dont la multiplication, notée [·, ·] et appelée « crochet », vérifie l’identité dite de Leibniz à gauche :
∀x, y, z ∈ L, [x, [y, z]] = [[x, y], z] + [y, [x, z]].
Remarque 1.1.2.
• L est une algèbre de Leibniz à gauche si et seulement si pour tout x ∈ L, l’application linéaire [x, ·] est une dérivation à gauche.
• Il existe une notion d’algèbre de Leibniz à droite, détaillée dans l’aparté 1.2. Sauf mention contraire, on travaillera dans cette thèse uniquement avec des algèbres de Leibniz à gauche, sans plus effectuer cette précision.
Exemple 1.1.3.
1. Une algèbre de Lie est une algèbre de Leibniz.
2. Le crochet défini pour tout i, j ∈ [1, n] par [pi , qj] := λijz, où λij est un réel fixé (les autres crochets élémentaires étant nuls), munit l’espace vectoriel Hn de base {z, p1, q1, . . . , pn, qn} d’une structure d’algèbre de Leibniz dite de Heisenberg (pour sa similitude avec les algèbres de Lie de Heisenberg définie dans [2]). En effet, toute composition du crochet de Hn est nulle.
3. Soit A une algèbre associative et D : A → A une application linéaire. Si D est soit un endomorphisme d’algèbres vérifiant D² = D, soit une dérivation vérifiant D² = 0, alors le crochet [a, b] := D(a)b − bD(a) fait de A une algèbre de Leibniz qui n’est pas en général une algèbre de Lie (voir [10]). Dans quelques cas particuliers comme D = 0, D = Id, etc… (A, [·, ·]) est une algèbre de Lie.
Remarque 1.1.4. Par soucis de concision, lorsque l’on définira le crochet d’une algèbre de Leibniz sur ces vecteurs de bases, on ne précisera que les valeurs non nulles.
Définition 1.1.5. Soit L une algèbre de Leibniz. Une sous-algèbre K de L est un sous espace vectoriel de L stable par crochet (i.e. : vérifiant [K, K] ⊂ K). On dit de plus qu’elle est :
• un idéal à gauche si [L, K] ⊂ K,
• un idéal à droite si [K, L] ⊂ K,
• un idéal bilatère si elle est un idéal à gauche et à droite.
Exemple 1.1.6.
1. Si L est une algèbre de Lie, tout idéal de L au sens de Lie est un idéal bilatère au sens de Leibniz.
2. [L, L] est toujours un idéal bilatère d’une algèbre de Leibniz L.
3. Le sous-espace de Hn (algèbre définie dans l’Exemple 1.1.3) de base {p1, . . . , pn} est un idéal à gauche, mais pas à droite. Par contre, tout sous-espace contenant le vecteur z est un idéal bilatère.
Exemple 1.1.7. Si L est une algèbre de Leibniz, alors Leib(L) := V ect({[x, x] | x ∈ L}) est un idéal bilatère de L, qui est de plus abélien (i.e. : ∀x, y ∈ Leib(L), [x, y] = 0).
En effet, pour tout x, y ∈ L, on a d’un côté par l’identité de Leibniz :
[[x, x], y] = [x, [x, y]] − [x, [x, y]] = 0,
ce qui montre à la fois que Leib(L) est abélien et que c’est un idéal à droite de L. De l’autre :
[y, [x, x]] =[[y, x], x] + [x, [y, x]]
=[[y, x] + x, [y, x] + x] − [x, x] − [[y, x], [y, x]] ∈ Leib(L),
donc Leib(L) est bien un idéal bilatère de L.
Remarque 1.1.8. Si Leib(L) = 0, alors : ∀ x, y ∈ L, 0 = [x + y, x + y] = [x, y] + [y, x], et donc L est une algèbre de Lie.
Démonstration. Soit L une algèbre de Leibniz de dimension 2 qui ne soit pas une algèbre de Lie. Leib(L) ≠ 0 car L n’est pas une algèbre de Lie, et Leib(L) ≠ L car L n’est pas abélienne. Donc Leib(L) est un sous-espace vectoriel de L de dimension 1. Soit donc e1 ∈ L − {0} tel que e2 := [e1, e1] ≠ 0 : Leib(L) = V ect(e2). De plus, e1 ∉ Leib(L) (sinon e2 = [e1, e1] = 0 car Leib(L) abélien), donc {e1, e2} est une base de L.
Aparté : algèbre de Leibniz à droite
Si on choisit de travailler avec des algèbres de Leibniz à droite, voici ce qu’il convient de modifier :
• Le crochet vérifie l’identité de Leibniz à droite : [x, [y, z]] = [[x, y], z] − [[x, z], y].
• Un L-module est défini de la façon suivante :
(LLM) [x, [y, m]l]l = [[x, y], m]l − [[x, m]l, y]r,
(LML) [x, [m, y]r]l = [[x, m]l , y]r − [[x, y], m]l ,
(MLL) [m, [x, y]]r = [[m, x]r, y]r − [[m, y]r, x]r.
• Cn(L, M) := M ⊗ L⊗n .
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Table des matières
INTRODUCTION
1 Préambule sur les algèbres de Leibniz
1.1 Généralités
1.2 Aparté : algèbre de Leibniz à droite
2 Préambule sur les suites spectrales
2.1 Généralités
2.2 Suites spectrales issues d’une filtration
2.3 Multiplicativité
3 Définition et études des suites spectrales
3.1 Etude de la première suite spectrale EC(L,M)
3.2 Etude de la deuxième suite spectrale FC(L,M)
3.2.1 Définition de la filtration
3.2.13 Calcul des premières pages
3.3 Etude de la troisième suite spectrale GC(L,M)
3.3.1 Définition de la filtration
3.3.11 Etude des premières pages
3.4 Etude de la quatrième suite spectrale GBC(L,M)
3.4.1 Définition de la filtration
3.4.8 Calcul des premières pages
3.4.15 Que peut-on dire de la deuxième page ?
4 Applications aux algèbres semi-simples
4.1 Définitions et théorèmes généraux
4.2 Applications
4.2.1 Applications concernant FC(L,M)
4.2.7 Application concernant GC(L,M)
4.2.9 Application concernant l’injection de Leib dans Lie
5 Conclusion
CONCLUSION
