Étude bibliographique sur la mobilité et ses applications

Étude bibliographique sur la mobilité et ses applications

Dans la littérature, la méthode des mobilités a inspiré de nombreux chercheurs dans de nombreux domaines. Ceux-ci concernent aussi bien l’importance des couplages entre degrés de liberté, que la façon de caractériser le système Source, ou encore les moyens à mettre en œuvre pour réduire la puissance injectée. Les quelques lignes qui suivent portent sur la définition des mobilités et donnent un aperçu des recherches publiées à ce jour dans ce contexte.

Définition de la mobilité

La mobilité peut être définie comme l’inverse de l’impédance, qui est un terme plus courant en physique. Chaque domaine physique possède une définition propre de l’impédance. En mécanique il s’agit du rapport entre une force, exercée ou résultante, et une vitesse, ou un déplacement associé, la dernière définition étant la plus utilisée dans le domaine du génie parasismique. La mobilité caractérise, comme son nom l’indique, la capacité de l’objet à vibrer sous l’action d’une force. Dans la méthode des mobilités, la définition usuelle est le rapport de la vitesse ponctuelle sur la force exercée ; c’est la forme que nous utiliserons dans la majeure partie de ce document. Néanmoins, les fondations sont souvent caractérisées par une impédance calculée avec le déplacement. Pour faire la différence, les expressions utilisant le déplacement seront notées avec l’indice u alors que celles exprimant un rapport avec la vitesse n’auront pas d’indice particulier. Il existe quatre formes de mobilités différentes, chacune d’entre elles relie une force et une vitesse différentes.
1 La plus facile à définir et à utiliser est la mobilité d’entrée ou “point mobility », définie par Cremer & al [79] (p.241). Elle relie une vitesse et une force portées par le même degré de liberté et se situant au même endroit.
2 La mobilité de couplage relie une force appliquée sur un degré de liberté à une vitesse portée par un autre degré de liberté observées au même point.
3 La mobilité de transfert est définie comme le rapport d’une vitesse en un point sur la force appliquée sur le même degré de liberté en un autre point.
4 Enfin la mobilité reliant une vitesse et une force portées par deux ddl différents en deux points de l’espace différents est appelée mobilité de couplage transféré.

Dans ce document le terme seul au singulier, “la mobilité », fait généralement référence à la matrice et le terme au pluriel “les mobilités » aux composantes de la matrice. Généralement les mobilités sont des grandeurs ponctuelles, les forces et les vitesses considérées sont observées en un point, i.e. sur une surface dont les dimensions sont bien inférieures aux longueurs d’ondes mises en jeu. Il est cependant possible de définir les composantes des mobilités pour des surfaces plus grandes .

Les mobilités de fondation ou de bâtiment expriment une grandeur matricielle ponctuelle qui réunit toutes les valeurs des mobilités d’entrées, de couplages et de transferts que l’on peut obtenir pour un tel système dont la surface se comporte comme une surface rigide. Le nombre de degrés de liberté est alors au maximum de 6. Ceux-ci doivent être caractérisés sur tous les points ayant un intérêt pour l’étude envisagée. Dans notre problématique il s’agit des zones de contact (zdc) entre les fondations et le bâtiment ; leur nombre peut, si les fondations ne sont pas trop larges, être assimilé au nombre de ces dernières. Ainsi les mobilités constituent, dans le cas général, une matrice 6N × 6N, où N est le nombre de fondations. Dans une étude en deux dimensions, il y a trois degrés de liberté et Y est une matrice 3N × 3N.

Ces grandeurs sont sensibles à l’ensemble des propriétés du système comme les propriétés élastiques, les masses volumiques des constituants ou la géométrie. De plus les mobilités doivent respecter le principe de causalité (la réponse à un signal d’entrée dans le système représenté par la mobilité doit être causale) et celui de réciprocité (la mobilité est représentée par une matrice symétrique).

Il existe de nombreuses façons de déterminer les composantes d’une mobilité et cela est l’objet du deuxième paragraphe du Chapitre II. Toutes les méthodes usuelles en mécanique sont applicables, qu’elles soient analytiques [38, 31], numériques [91], expérimentales [100] ou empiriques [82].

Fonction caractéristique de Source et Fonction de couplage 

L’un des atouts de la méthode des mobilités est de pouvoir exploiter des résultats portant sur un sous-système connu, et en particulier sa mobilité, dès que celui-ci est présent dans le système entier. Le système Source est particulièrement concerné par ces recherches. En effet l’objectif des études exposées dans ce paragraphe est de présenter des objets qui, comme le décrit Moorhouse (2001) [46], possèdent les qualités qui doivent permettre :
– de comparer les Sources entre elles ainsi que leurs différentes composantes,
– de prédire le niveau de vibration lorsque la Source est connectée à un Récepteur et que la mobilité de ce dernier est connue,
– de quantifier la capacité de la source à délivrer de la puissance.

Les objets présentés ici ne dépendent que des caractéristiques de la Source et peuvent toujours être associés à une fonction de couplage de la forme : CSR = Q/S, où S est la fonction caractéristique de la source, CSR la fonction de couplage Source-Récepteur et Q la puissance complexe. Une liste très fournie des grandeurs disponibles à l’époque est donnée par Wolde et Gadefelt (1987) [61].

Parmi ceux qui retiennent notre intérêt, le plus ancien est celui de Mondot et Petersson (1980) défini dans l’article [45] avec lequel les auteurs proposent une description de la puissance transmise par une machine vibrante à une superstructure. Après avoir rappelé le principe décrit dans le paragraphe précédent, les auteurs introduisent les notions de puissance active et réactive ainsi que le concept de “source descriptor » que nous appellerons la “fonction caractéristique de Source ». Cette grandeur permet de comparer les systèmes sources entre eux indépendamment des systèmes récepteurs. Elle est construite à partir des seules caractéristiques de la Source, c’est-à-dire la vitesse libre vL et la mobilité YS, représentant respectivement les vibrations internes de la Source et son comportement dynamique sur l’interface considérée.

Mobilités effectives

Les couplages entre degrés de liberté au même point, les couplages entre les points de contact et les couplages mixtes reliant un ddl en un point de contact à un autre ddl en un autre point de contact. La prise en compte de l’ensemble de ces couplages est certes possible, mais conduit à manipuler des matrices qui sont mal conditionnées car tous les couplages ont une importance plus ou moins grande selon la situation envisagée. Les chercheurs ont donc été amenés à définir la notion de “mobilité effective » qui représente une matrice ou un scalaire constitué par les termes significatifs de la matrice de mobilité.

L’une des premières études sur l’importance des termes croisés dans la puissance injectée a été publiée par Petersson et Plunt en (1981) [48]. Dans cet article, les auteurs cherchent à disposer d’outils synthétiques permettant de représenter l’interaction entre Source et Récepteur, autrement dit de mobilités effectives. Afin de conserver le formalisme des relations (I.3), (I.2) et (I.1) à un degré de liberté et un point de contact, ils proposent la notion de “mobilité d’entrée effective » Y nnΣ et de “mobilité globale effective » Y EEF . Ces deux quantités sont destinées à simplifier les calculs de l’évaluation de la puissance injectée et de réduire le nombre de mesures nécessaires à sa caractérisation.

La mobilité d’entrée effective est une estimation de la mobilité globale qui prend en compte uniquement les composantes correspondant aux mobilités d’entrées de toutes les zones de contact. L’importance de chaque zone est traduite par l’intermédiaire d’une pondération des forces de contact afférentes à chaque zone.

Petersson et Gibbs (1993) [50] présentent une étude de l’influence des différents points de contact sur la fonction caractéristique de la Source. L’idée principale est d’obtenir un critère permettant de quantifier l’importance des termes de couplage dans le calcul des forces et vitesses de contact. Pour ce faire, ils définissent une mobilité d’entrée effective qui peut se décomposer comme la somme d’un terme direct Y nn ii et de trois sommes qui expriment les contributions des termes de couplages, des mobilités de transferts et des termes doublement croisés. Avec cette décomposition, les auteurs donnent une condition permettant de définir dans quelles conditions les termes de transfert entre les points de contact, ou de couplage entre les degrés de liberté, peuvent être négligés.

A l’aide de cette mobilité effective, les auteurs observent qu’au-delà d’une certaine fréquence ou d’une certaine distance entre les points de contact, les termes de transferts des mobilités peuvent être négligés. Dans les publications récentes, certains auteurs reprennent l’idée de mobilité effective et abordent l’effet des termes de couplages sur la fonction caractéristique de Source. C’est notamment le cas dans l’article de congrès de Ohlrich (2001) dans lequel l’auteur retrouve des conclusions analogues à celles de [50]. Une approche similaire est proposée par Spah et al [56]. Dans le même ordre d’idée, Spah, Gibbs et Fisher (2003) [72] ont étudié trois différentes procédures pour caractériser une “mobilité globale » dans le cadre d’une étude expérimentale. Les auteurs montrent que, sur l’ensemble du spectre, négliger les termes secondaires des mobilités donne des comportements comparables au cas où ces termes sont considérés, sauf en ce qui concerne les pics en amplitude.

Les mobilités effectives sont également utilisées pour simplifier l’étude de l’impact de différentes formes d’excitations. Sur ce point nous retenons les travaux de Hammer et Petersson (1988) [19]. Contrairement à l’approche ponctuelle, dans la réalité les excitations sont toujours appliquées sur des surfaces. L’article précité étudie comment prédire la puissance injectée lorsque l’excitation est distribuée sur une zone spatiale donnée. La puissance complexe transmise sur une surface est égale par définition à l’intégrale sur cette surface du “vecteur contrainte » par la vitesse en chaque point de la zone considérée. A partir de la relation entre la puissance complexe et la force de réaction, Q = Y |F| 2 , ils en déduisent la mobilité “équivalente » pour un système à un degré de liberté et un point de contact en utilisant une extension de la mobilité effective définie dans [48].

En comparant les puissances obtenues avec une excitation ponctuelle et une excitation distribuée sur une zone donnée, les auteurs remarquent qu’un changement dans les conditions d’excitations impacte peu la transmission de la puissance active (i.e. la partie réelle). Un facteur important à considérer est la distribution géométrique des forces. En effet, la puissance transmise atteint un minimum lorsque les forces d’excitations sont uniformément distribuées sur la zone considérée et un maximum lorsque la distribution des forces est concentrée. De plus, les auteurs soulignent qu’en champ lointain, la réaction du Récepteur ne dépend que peu de la distribution des forces, ce qui est physiquement compréhensible.

Plusieurs études montrent clairement qu’une excitation sous la forme d’un moment n’est pas forcément négligeable. La fonction caractéristique de la Source obtenue lorsque l’excitation est un moment peut devenir en moyennes et hautes fréquences équivalente, voire supérieure, à celle obtenue lorsque l’excitation est une force [50, 100]. De ce fait aucun des degrés de liberté ne doit être négligé dans le cas général [50]. L’effet du type d’excitation sur la puissance injectée est également abordé dans les articles de Petersson et Heckl (1996) [51] et Fulford et Petersson (1999) [16].

Table des matières

Introduction
I Méthode des mobilités
Avant-propos
I.1 Principe physique
I.1.1 Force et Vitesse de contact
I.1.2 Puissance injectée
I.1.3 Interfaçage par la méthode des mobilités
I.1.4 Formulation Générale
I.1.5 Cas particuliers
I.2 Étude bibliographique sur la mobilité et ses applications
I.2.1 Définition de la mobilité
I.2.2 Fonction caractéristique de Source et Fonction de couplage
I.2.3 Mobilités effectives
I.2.4 La méthode des mobilités pour l’isolation
I.3 Simulations numériques
I.3.1 Cas d’un système simple : une poutre semi-infinie
I.3.2 Sol semi-infini et structure 2D
Conclusion du chapitre
II Système Source
Mobilités – Vitesses Libres – Calibration
Avant-propos
II.1 Interaction sol-structure et impédances de fondation
II.1.1 Définitions
II.1.2 Impédance de fondation
II.2 Calcul des mobilités
II.2.1 Formes des fondations adoptées
II.2.2 Procédure de calcul des mobilités
II.2.3 Vérifications
II.2.4 Mobilités 2D
II.2.5 Mobilités 2.5D
II.3 Calcul de la vitesse libre de la Source
II.3.1 Vitesses libres 2D
II.3.2 Vitesse libre 2.5D
II.4 Calibration sur des mesures accéléromètriques
II.4.1 Recalage de l’excitation sur une mesure accéléromètrique
II.4.2 Recalage des propriétés du sol
Conclusion du chapitre
III Système Récepteur
Mobilités & Propagation
Avant-propos
III.1 Modélisation par Éléments finis
III.1.1 Modèle utilisé
III.1.2 Interfaçage par la méthode des mobilités
III.2 Modèle ondulatoire bidimensionnel
III.2.1 Méthode utilisée
III.2.2 Calculs avec ou sans corrélation
III.3 Modèle Mixte S.E.A.-Ondulatoire
III.3.1 La S.E.A
III.3.2 Modèle de Hassan
III.4 Comparaison des modèles : un bâtiment de six étages
Conclusion du chapitre
IV Mobilités Stochastiques des fondations
Avant-propos
IV.1 Principe du calcul de la mobilité stochastique
IV.2 Principales définitions
IV.2.1 Forme des matrices du modèle à variables cachées
IV.2.2 Décomposition du problème d’identification
IV.3 Première étape et problème de minimisation
IV.3.1 Écriture du problème
IV.3.2 Résolution du problème de minimisation
IV.4 Deuxième étape : identification des sous-matrices
IV.5 Construction des impédances et mobilités stochastiques
IV.5.1 Ensemble des matrices aléatoires
IV.5.2 Modèle des matrices d’impédances non-paramétriques
IV.6 Résolution des instabilités
IV.6.1 Résolution à partir du théorème de Karitonov
IV.6.2 Résolution systématique
IV.6.3 Optimisation sur la fonction poids w
IV.7 Application
IV.7.1 Présentation du cas traité : étude d’une fondation 2D
IV.7.2 Vitesses stochastiques moyennes de dalles
Conclusion du chapitre
Conclusion

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