Etat de l’art sur les méthodes de fiabilité des structures

La connaissance progresse en intégrant en elle l’incertitude, non en l’exorcisant. (Edgar Morin, 1921) .

Actuellement, les structures modernes exigent des conceptions plus critiques et complexes, le besoin d’approches précises et efficaces pour évaluer les incertitudes dans les charges, la géométrie, les propriétés des matériaux, les procédés de fabrication et des environnements opérationnels a augmenté de manière significative. L’application des techniques d’évaluation de la fiabilité contribuent à développer une orientation initiale pour la réalisation d’une conception fiable. Elles peuvent également être utilisées pour identifier et prendre en compte les incertitudes que se produisant dans les systèmes et structures [1].

L’estimation de la probabilité de défaillance d’une structure a été le principal sujet de plusieurs ouvrages sur la fiabilité des structures. Dans le cas d’une structure simple, la probabilité de défaillance peut être obtenue sous une forme fermée par intégration de la fonction de densité de probabilité conjointe (Joint Probability Density Function, JPDF) de toutes les variables aléatoires [2]. Dans la pratique, la détermination de la probabilité de défaillance par l’intégration multidimensionnelle analytique ou numérique est très difficile, par conséquent, plusieurs méthodes d’approximation ont été développées. Il existe essentiellement cinq catégories [3, 4], à savoir les méthodes de tirage [5, 6], les méthodes d’expansi on [7], les méthodes basées sur la surface de réponse [8], les méthodes d’approximation par intégrale [9, 10], et les méthodes basées sur le point le plus probable (Most Probable Point, MPP) comme la méthode de fiabilité du premier ordre (First Order Reliability Method, FORM) [11, 12] et la méthode de fiabilité du second ordre (Second Order Reliability Method SORM) [13, 14].

L’idée de base des méthodes basées sur le MPP, tels que FORM, SORM ou d’autres comme la méthode univariée [15, 16], est d’employer le MPP comme le point de référence pour déterminer l’indice de fiabilité β et ensuite prédire la probabilité de défaillance. Dans l’espace normal (Gaussien), l’indice de fiabilité b représente la distance minimale de l’origine à la surface de l’état limite. La évaluation de ce dernier, connu aussi sous le nom de l’indice de Hasofer-Lind, est un problème d’optimisation sous contrainte où la fonction objectif est la distance euclidienne β =||U||, sous la contrainte de G(U) = 0 (G(.) est la fonction d’état limite). La méthode la plus couramment utilisée pour résoudre ce problème d’optimisation est l’algorithme de Hasofer-Lind-RackwitzFiessler (HLRF) [11, 12]. L’algorithme de HLRF a été développé pour être efficace, mais pas robuste, car il ne parvient pas à converger pour un nombre important de problèmes [17].

De nombreux travaux ont été réalisés pour améliorer cet algorithme. Liu et Kiureghian [18] ont présenté une version améliorée de l’algorithme de HLRF appelé M-HLRF pour surmonter les problèmes de convergence de l’algorithme de HLRF. L’idée de base est d’effectuer une recherche linéaire dans la direction de recherche générée par l’algorithme HLRF jusqu’à ce qu’une baisse suffisante de la fonction de mérite soit atteinte. Par la suite, Zhang et Kiureghian [19] ont présenté un algorithme amélioré (iHLRF) basé sur la recherche linéaire avec une nouvelle fonction de mérite. Santosh et al. [20] ont suggéré d’appliquer la règle de Armijo pour déterminer le pas. Santos et al. [21] ont proposé d’utiliser une nouvelle fonction de mérite combinée avec les conditions de Wolfe pour sélectionner la longueur du pas dans la recherche linéaire. Récemment, Yang[4] a présenté une nouvelle méthode pour remédier les problèmes d’instabilité numérique de l’algorithme HLRF, en se basant sur les méthodes de contrôle du chaos.

La méthode de fiabilité du deuxième ordre (SORM) a été établie pour améliorer la précision de FORM, en utilisant une approximation de deuxième ordre de l’équation d’état limite. La première approche de SORM a été proposée par Fiessler et al. [22] où ils ont utilisé la série de Taylor pour approximer la surface d’état limite au point le plus probable et les courbures de cette surface à ce point pour estimer la probabilité de défaillance. Breitung [13] a dérivé un résultat asymptotique exact de la parabole générée par la série de Taylor, puis, Tvedt [14] a proposé une formule à trois points pour approximer la probabilité de défaillance. Généralement, les formules de Breitung et Tvedt sont les plus utilisées dans la pratique. Ils existent d’autres formules de SORM dans la littérature [23-26], mais leur application reste faible .

Parmi les méthodes d’échantillonnage, la simulation de Monte Carlo (Monte Carlo Simulation, MCS) est l’une des plus puissantes et plus coûteuse en temps de calcul [27, 28]. Pour approximer la probabilité de défaillance, un nombre important de tirage doit être réalisé pour couvrir l’espace de conception. Par conséquent, cette méthode consomme un énorme temps de calcul, spécialement si la probabilité de défaillance est très petite [1, 27-29]. Cependant, plusieurs méthodes basées sur les tirages ont été proposées pour réduire le temps de calcul, comme la méthode de tirage d’importance (Importance Sampling, IS)[30, 31], la méthode de tirage directionnel (Directional Sampling, DS) [32, 33], la méthode de tirage basée sur l’hypercube latin, (Latin Hypercube Sampling, LHS) [34, 35] et la simulation par sous-ensemble (Subset Simulation, SI) [36, 37].

Analyse de la fiabilité des structures

L’analyse de fiabilité consiste à évaluer la probabilité de défaillance d’une structure en déterminant si les fonctions d’états-limites sont dépassées ou non. Lorsqu’une structure (ou une partie de la structure) est soumise à des sollicitations qui dépassent une limite spécifique, la structure (ou une partie de la structure) est incapable d’exercer les besoins exigés. Cette limite spécifique est appelée équation d’état limite. La structure sera considérée comme défaillante et non-fiable, si la probabilité de défaillance dépasse la valeur requise. Pour la plupart des structures, l’équation d’état-limite peut être divisée en deux catégories :

Les états limites ultimes sont liés à un effondrement d’une partie ou la totalité d’une structure. La corrosion, la fatigue, la détérioration, le feu, la déformation plastique, l’effondrement progressif, la rupture …etc., sont des exemples d’états limites ultimes. Un tel état-limite doit avoir une très faible probabilité d’occurrence, car il peut risquer la perte de la vie et des pertes financières importantes. Les états-limites de service sont liés à la perturbation de l’utilisation normale des biens. Des exemples d’états limites de service sont la déviation excessive, les vibrations excessives, la fuite, les dommages locaux, …etc. Les états-limites de service sont moins dangereux que dans le cas des états limites ultimes, se qu’implique la possibilité de tolérer une probabilité d’occurrence plus grande. Cependant, les gens ne peuvent pas utiliser les structures qui produisent trop de déflexion ou de vibrations, …etc.

Méthode de fiabilité du premier ordre (FORM) 

L’idée principale de FORM consiste à utiliser la série de Taylor pour créer une approximation linéaire de première ordre (d’où le nom premier ordre) de l’équation d’état limite au point le plus probable (Most Probable Point, MPP), qui présente le point de la surface d’état limite (g(x) = 0) dont la probabilité d’occurrence est la plus haute des autres points de la surface.

Table des matières

Introduction générale
Chapitre 1 : Etat de l’art sur les méthodes de fiabilité des structures
1.1 Introduction
1.2 Analyse de la fiabilité des structures
1.3 Méthode de fiabilité du premier ordre (FORM)
1.3.1 Algorithme HLRF
1.3.2 Algorithme iHLRF
1.3.3 Algorithme nHLRF
1.4 Méthode de fiabilité du second ordre (SORM)
1.4.1 Approximation de Breitung
1.4.2 Approximation de Tvedt
1.5 Méthode de Simulation de Monte Carlo
1.6 Epilogue
Chapitre 2 : Algorithme des chauves-souris directionnelles
2.1 Introduction
2.2 Algorithme des chauves-souris standard
2.3 Enquête sur les différentes variantes de BA existant dans la littérature
2.4 Le nouvel algorithme de chauve-souris directionnelle
2.4.1 La 1ère modification
2.4.1 La 2ème modification
2.4.3 La 3ème modification
2.4.4 La 4ème modification
2.5 Simulations et discussions
2.5.1 La 1ère expérience
2.5.2 La 2ème expérience
2.5.3 La 3ème expérience
2.6 Conclusions
Chapitre 3 : Estimation de la fiabilité des structures par l’algorithme des chauvessouris directionnelles
3.1 Introduction
3.2 Adaptation de dBA pour l’analyse de fiabilité structurelle
3.3 Résultats de simulation et validation
3.3.1 Validation et analyse de sensibilité
3.3.1.1 Exemple 1 : poutre en béton armé
3.3.1.2 Exemple 2 : une structure conique
3.3.1.3 Exemple 3 : systèmes en parallèle et en série
3.3.2 Application à quelques problèmes de fiabilité structurelle
3.3.2.1 Exemple4 : une poutre en porte à faux
3.3.2.2 Exemple 5 : un joint soudé en acier
3.4 Pourquoi cet algorithme ?
3.5 Conclusions
Chapitre 4 : Optimisation basée sur la fiabilité par l’algorithme des chauves-souris directionnelles
4.1 Introduction
4.2 Optimisation basée sur la fiabilité
4.2.1 Principes de l’RBDO
4.2.2 Revue sur l’ensemble des méthodes de résolution des problèmes d’RBDO
4.2.3 RBDO et les algorithmes métaheuristiques
4.3 RBDO avec l’algorithme des chauves-souris directionnelles
4.3.1 Description de l’approche à boucle unique adopté
4.3.2 Adaptation de dBA pour la résolution des problèmes d’optimisation sous contraintes
4.4 Exemples d’application et validation
4.4.1 Exemple 1 : résistance à l’impact latéral d’un véhicule
4.4.2 Exemple 2 : problème mathématique
4.4.3 Exemple 3 : conception d’un réducteur de vitesse
4.4.4 Exemple 4 : poutre soudée
5 Conclusions
Chapitre 5 : Optimisation basée sur la fiabilité de la poutre principale d’un pont roulant
5.1 Introduction
5.2 Revue de littérature
5.3 Dimensionnement de la poutre principale
5.3.1 Critère sur contrainte admissible en traction de l’aile inférieure
5.3.2 Critère sous contrainte de fatigue admissible de l’aile inférieure
5.3.3 Critère sur le flambement de l’aile supérieure
5.3.4 Critère sur le flambement de l’âme principale
5.3.5Critère sur le flambement de l’âme secondaire
5.3.6 Critère sur la flèche maximale de la poutre
5.4 Optimisation de la poutre principale
5.4.1 Formulation du problème d’optimisation
5.4.2 Résultats d’optimisation et discussions
5.4.2.1 Analyse de sensibilité et paramétrages de dBA
5.4.2.2 Optimisation du pont roulant par dBA
5.4.3 Conclusion partielle
5.5 Analyse de fiabilité de la poutre optimisée
5.5.1 Définition du problème d’analyse de fiabilité et configuration
5.5.1 Résultats d’analyse de fiabilité et discussion
5.5.1 Conclusion partielle
5.6 Optimisation basée sur la fiabilité
5.6.1 Formulation du problème d’optimisation basé sur la fiabilité
5.6.2 Résultats et discussions
5.6.3 Conclusion partielle
5.7 Conclusions
Chapitre 6 : Proposition d’un système de mouvement autonome avec évitement des obstacles pour un pont roulant basé sur dBA
6.1 Introduction
6.2 Stratégie proposée
6.3 Simulation, résultats et discussions
6.4 Conclusions
Conclusion générale et perspectives
Références

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