Etat de l’art sur la stabilit´e des syst`emes non lin´eaires repr´esent´es par ´ des mod`eles T-S 

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Methodes de diagnostic basees sur les observateurs lineaires

Dans le cas de nombreux procedes industriels, il est di cile voire m^eme impossible de realiser les mesures de certaines de ses grandeurs physiques pouvant constituees les va-riables d’etat. De ce fait, pour assurer un contr^ole satisfaisant de ces procedes en l’absence de capteurs physiques adequats, il est necessaire d’avoir les valeurs des variables non ac-cessibles. La solution dans ce cas est d’employer les methodes a base d’observateur d’etat. La conception d’un observateur est realisee en deux etapes : une premiere phase de syn-these de l’observateur et une seconde d’analyse de la convergence de l’etat de l’observateur vers l’etat reel du systeme. La synthese de l’observateur se base sur les informations dis-ponibles concernant le systeme (le modele dynamique), les signaux d’entrees et les sorties mesurables. Il existe dans la litterature un observateur adapte a chaque representation du systeme : lineaire, non lineaire, deterministe, stochastique, etc. [Corriou (1996)] et [Borne et al. (1990)]. La reconstruction d’etat d’un systeme LTI a et proposee initialement dans [Luenberger (1971)], l’observateur est dit de Luenberger. Nombreux sont les observateurs proposes dans la litterature : observateur a entrees inconnues par decouplage [Koenig et Mammar (2001)], observateur proportionnel integral (en anglais Proportional Integral ou PI) [Hamdi et al. (2011)], observateur a modes glissants [Young et Ozguner (1999)], ob-servateur adaptatif, observateur par apprentissage iteratif et estimateur direct de sortie, etc. L’observateur a entrees inconnues (en anglais Unknown Input Observer ou UIO) a attire l’attention de nombreux chercheurs [Akhenak et al. (2004)], [Luenberger (1971)] et [Chen et Saif (2004)]. En presence d’incertitudes, le systeme de diagnostic est construit a partir d’UIO pour generer des residus sensibles aux defauts et insensibles aux incertitudes considerees comme des entrees inconnues.

Forme quasi-lineaire a parametres variables

A n d’obtenir une representation T-S du systeme non lineaire (I.10), ce dernier est reecrit sous une forme quasi-lineaire a parametres variables (en anglais quasi-Linear Pa-rameter Varying ou quasi-LPV) selon une forme polytopique : < x(t) = A( )x(t) + B( )u(t) (I.11) ou A, B et C sont des matrices representant l’espace d’etat continu avec des parametres variables. represente le vecteur des variables de premisse dependant des etats du systemes et des entrees de commande [Orjuela (2008)], [Orjuela et al. (2009)], [Nagy et al. (2010)], [Rodrigues et al. (2008)], [Leith et Leithead (2002)] et [Huang et Jadbabaie (1999)]. Ce-pendant, la forme d’un modele quasi-LPV n’est pas unique. A chaque representation quasi-LPV correspond un ensemble particulier de variables de premisse. Le choix de ces variables de premisse se base sur un ensemble de criteres mis au point selon l’analyse de stabilite et/ou les objectifs d’observabilit [Nagy et al. (2009)].

Representation d’etat d’un modele T-S

Le modele ou obtenu est constitue de deux ensembles de sous-modeles LTI represen- tant les bornes inferieures et superieures, ( ; ), comme il est decrit dans [Tanaka et al. (2001)], [Aouaouda et al. (2013)], [Ichalal et al. (2012a)], [Ichalal (2009)], [Ben Hamouda et al. (2014a)], [Ben Hamouda et al. (2014c)], [Djemili et al. (2012a)] et [Djemili et al. (2012c)]. La representation d’etat du modele T-S est donnee par la relation suivante : 8 N > X  > > x(t) = i( ) (Aix(t) + Biu(t)) > > <i=1 (I.12) N > X > > y(t) =i( )Cix(t) >> : i=1
Les matrices Ai; Bi et Ci sont constantes et fAi; Big sont des sous-modeles asymptoti-quement stables. La structure T-S du modele est decrite par les fonctions de ponderation i( ) [T. Johansen et Murray-Smith (2000)] et [Tanaka et al. (2001)]. La fonction d’activa-tion i(x(t); u(t)) est normalisee ; elle determine le degr d’activation du ieme sous modele associe, en fournissant une transition graduelle de ce modele vers le modele voisin. Ces fonctions sont generalement triangulaires ou gaussiennes et satisfont la propriet suivante : N X i(x(t); u(t)) = 1 (I.13) avec 0 i(x(t); u(t)) 1; 8 i 0. Bien evidemment, le ieme modele lineaire decrit la dynamique du systeme autour du ieme point de fonctionnement. Plusieurs etudes existent dans cet interessant axe, ou les cher-cheurs traitent des representations mathematiques variees de modeles non lineaires pou-vant se mettre sous la forme quasi-LPV avec une representation polytopique donnee par A0 + iN=1 i(t)Ai [Angeli et al. (2000)]. eme

ModÈlisation T-S des systËmes non linÈaires 19

Modeles obtenus par identi cation

Les modeles consideres sont de type bo^te noire. Leur identi cation est etablie gr^ace aux informations disponibles sur les entrees/sorties autour de di erents points de fonc-tionnement [Tanaka et Sugeno (1992)]. L’identi cation passe par trois etapes : rechercher une structure optimale du modele, estimer les parametres et valider le modele nal.

Modeles obtenus par linearisation

Pour cette approche, nous devons disposer d’un modele mathematique non lineaire representant le processus physique. Ce modele est linearis autour de di erents points de fonctionnement. Ceci revient a approximer la fonction non lineaire h(:) a travers son plan tangent au point (xi; ui). Dans ce cas, le nombre N de sous-modeles depend du degr de precision desir pour la modelisation, de la complexit du systeme non lineaire et du choix de la structure des fonctions d’activation [Nagy (2010)].

Modeles obtenus par secteur non lineaire

Initialement proposee par Tanaka et al dans [Tanaka et al. (1998)], cette approche dite aussi par transformation d’un systeme non lineaire a ne en la commande, est basee sur une Transformation Polytopique Convexe (TPC) de fonctions scalaires origines de la non linearit . L’approche par secteur non lineaire n’engendre pas d’erreur d’approximation. Elle a egalement l’avantage de reduire le nombre de modeles locaux par comparaison avec l’approche de linearisation. En e et, c’est l’approche la plus utilisee dans des contextes comme l’analyse de stabilite des systemes non lineaires representes par un modele T-S et la synthese de regulateurs [Tanaka et al. (1996)], [Ichalal et al. (2012a)], [Djemili et al. (2012a)]et [Abidi et al. (2012)]. L’approche par secteur non lineaire permet d’obtenir une forme T-S equivalente au modele non lineaire sans perte d’information. Cette approche est moins conservative et basee uniquement sur les bornes superieures et inferieures des termes non lineaires, comme est decrit par le Lemme I.3.1. Dans [T. Johansen et Murray-Smith (2000)] et [Boyd et al. (1994)], l’approche T-S obtenue par secteur non lineaire a partir d’un modele mathematique est une representation polytopique convexe.
Lemme I.3.1 Soit une fonction (x; u) continue et bornee sur un domaine D Rn Rm a valeurs dans R avec x 2 Rn et u 2 Rm. Il existe deux fonctions (v = 1; 2) : v : D 7![0; 1]

Stabilisation par observateurs T-S

Observateurs non lineaires

De nombreuses methodes ont et consacrees a l’estimation d’etat de classes particu-lieres de systemes non lineaires ( ltre de Kalman etendu, observateur a grands gains, ob-servateurs bases sur des transformations sous une forme canonique d’observabilite, etc.) [Kalman (1960)] et [Chen et Patton (1999)]. L’observateur a entrees inconnues pour les systemes bilineaires a et introduit dans [Yang et Saif (1997)] et l’observateur pour les sys-temes comportant des non linearites de type Lipschitz dans [Koenig et Mammar (2001)] et [Pertew et al. (2005)]. L’observateur a entrees inconnues a et concu dans [Akhenak et al. (2004)] pour le diagnostic d’un turboreacteur d’un avion. Nous citons les travaux de [Marx et al. (2003)] et [Koenig (2005)] portant sur le diagnostic par observateurs PI et proportionnel multi integral (en anglais Proportional Multi Integral ou PMI) pour les systemes lineaires singuliers. Rodrigues a generalis dans [Rodrigues (2005)] l’observateur a entrees inconnues, propose initialement dans [Darouach et al. (2001)], pour les systemes lineaires. D’autres travaux ont aussi et dedies a l’estimation d’etat des systemes a entrees inconnues decrits par des multi-modeles a etats decouples [Orjuela (2008)].
Le premier travail concernant le cas d’un modele T-S a Variables de Premisse Non Mesurables (VPNM) a et propose dans [Chen et Saif (2004)], ou la variable de decision est l’etat du systeme. Les auteurs supposent que les termes non lineaires issus de la non-mesurabilit des variables de premisse satisfont une condition de type Lipschitz. Cette approche est conservatrice. Ceci est lie a la severit de la condition de Lipschitz sur le terme non lineaire. Un autre inconvenient est la condition structurelle qui devient tres restrictive lorsque le nombre de sous-modeles devient plus important que le nombre de sorties du systeme. Une extension de ces resultats aux modeles T-S est proposee dans [Marx et al. (2007)], pour la detection et la localisation de defauts de systemes a temps continu et discret. Une approche a et appliquee pour decoupler une partie des entree inconnues veri ant les contraintes structurelles et a minimiser le gain L2 du transfert de l’autre partie des entrees inconnues vers l’erreur d’estimation d’etat.

Stabilisation et observation des systËmes non linÈaires reprÈsentÈs par des modËles T-S 

Observateurs T-S a VPM

L’observateur T-S a VPM a une structure T-S et utilise la m^eme representation d’etat qu’un observateur de type Luenberger. Sa representation d’etat est donnee par : 8 x^_(t) = i=1 i( ) (Aix^(t) + Biu(t) + Li(y(t) y^(t))) (I.39) N > P < y^(t) = Cx^(t) > : ou x^ represente le vecteur d’etat estim . Pour determiner les gains Li d’observateurs T-S (I.39), une etude de stabilite du systeme generant l’erreur d’estimation d’etat doit ^etre realisee. A n d’ameliorer les performances temporelles du diagnostic d’un moteur en de-faut, un observateur par placement de p^oles a et propose dans [Patton et al. (1998)]. Une etude de la stabilite par la theorie de Lyapunov et des conditions formulees par LMIs ont et realisees. Dans le cadre de l’analyse de stabilite, d’autres methodes ont et proposees utilisant d’autres fonctions de Lyapunov, poly-quadratiques [Chadli (2002)] et [Fang et al. (2006)] ou non quadratiques [Boyd et al. (1994)], [Johansson (1999)], [Kruszewski (2006)] et [Tanaka et al. (2003)]. La plupart des travaux concernant la conception d’observateurs d’etat suppose que les variables de premisse sont connues [Akhenak et al. (2004)] et [Ro-drigues (2005)]. Dans ce cas, les observateurs T-S (I.39) utilisent les m^emes variables de premisse que le modele. Ainsi, une factorisation par les fonctions d’activation est possible dans l’evaluation de la dynamique de l’erreur d’estimation qui s’ecrit : N Xi e(t) =i( ) (Ai LiC) e(t) (I.40).

Table des matières

Table des figures
Liste des tableaux
Table de notations
Liste des publications
Introduction g´en´erale
I Etat de l’art sur la stabilit´e des syst`emes non lin´eaires repr´esent´es par ´ des mod`eles T-S 
I.1 Introduction
I.2 G´en´eralit´es sur le FTC
I.2.1 Les techniques passives
I.2.2 Les techniques actives
I.2.2.1 Accommodation
I.2.2.2 Reconfiguration de lois de commande
I.2.3 G´en´eralit´es sur le diagnostic
I.2.3.1 D´efinitions et terminologies
I.2.3.2 Classification des d´efauts
I.2.3.3 M´ethodes de diagnostic bas´ees sur les observateurs lin´eaires
I.3 Mod´elisation T-S des syst`emes non lin´eaires
I.3.1 Forme quasi-lin´eaire `a param`etres variables
I.3.2 Repr´esentation d’´etat d’un mod`ele T-S
I.3.3 Approches d’obtention d’un mod`ele T-S
I.3.3.1 Mod`eles obtenus par identification
I.3.3.2 Mod`eles obtenus par lin´earisation
I.3.3.3 Mod`eles obtenus par secteur non lin´eaire
I.3.4 Crit`eres de choix des variables de pr´emisse
I.4 Stabilisation et observation des syst`emes non lin´eaires repr´esent´es par des mod`eles T-S
I.4.1 Etude de la stabilit´e d’un syst`eme non lin´eaire repr´esent´e par un mod`ele T-S autonome
I.4.2 Stabilisation par une commande de type PDC
I.4.3 Analyse de la stabilit´e : relaxation des conditions de stabilisation
I.4.4 Stabilisation par observateurs T-S
I.4.4.1 Observateurs non lin´eaires
I.4.4.2 Observateurs T-S `a VPM
I.4.4.3 Observateurs T-S `a VPNM
I.4.5 Stabilisation des syst`emes non lin´eaires repr´esent´es par des mod`eles T-S incertains
I.4.5.1 Stabilisation robuste par retour d’´etat : cas incertain
I.4.5.2 Commande bas´ee sur un mod`ele de r´ef´erence : cas incertain perturb´e
I.4.5.3 Stabilisation par observateurs des syst`emes non lin´eaires repr´esent´es par des mod`eles T-S incertains
I.4.6 Stabilisation H1
I.4.7 Stabilisation par poursuite de trajectoires selon la norme L2
I.5 FTC pour la poursuite de trajectoires
I.5.1 Cas VPM
I.5.2 Cas VPNM : m´ethode par perturbations
I.5.3 FTC robuste pour la poursuite de trajectoires
I.6 Position du probl`eme
I.7 Solutions envisag´ees
I.8 Conclusion
II Synth`ese de commandes pr´edictives tol´erantes aux d´efauts `a base de mod`eles T-S 
II.1 Introduction
II.2 Synth`ese de la commande pr´edictive
II.2.1 Principe et conception de la commande pr´edictive
II.2.2 Fonction co^ut
II.2.3 Formes quadratiques
II.2.4 Optimisation convexe et probl`eme QP
II.2.5 Choix des param`etres de la MPC
II.3 Lin´earisation globale non stationnaire
II.4 Proposition d’une strat´egie de contr^ole tol´erant aux d´efauts bas´ee sur des mod`eles T-S flous
II.4.1 Commande pr´edictive `a base de mod`ele quasi-LPV
II.4.1.1 Pr´edictions stabilis´ees
II.4.1.2 Commande pr´edictive bas´ee sur mod`ele T-S flou
II.4.2 FMPC et observateur non lin´eaire
II.4.3 FMPC et observateur T-S `a VPM
II.4.4 FMPC et observateur T-S `a VPNM
II.4.5 FMPC bas´e sur un mod`ele T-S incertain `a VPM
II.5 Conclusion
III Application au circuit d’air du moteur Diesel 
III.1 Introduction
III.2 Sur le moteur Diesel
III.2.1 Constitution du moteur Diesel
III.2.2 Principe de fonctionnement du moteur `a quatre temps
III.2.3 Normes Europ´eennes anti-pollutions
III.2.4 M´ecanisme d’admission d’air
III.2.5 Vanne de recyclage des gaz d’´echappement
III.2.6 Turbocompresseur `a g´eom´etrie variable
III.3 Mod`ele de repr´esentation du syst`eme DEAP
III.3.1 Collecteur d’admission
III.3.2 Collecteur d’´echappement
III.3.3 Turbocompresseur
III.3.4 Mod`ele orient´e commande du syst`eme DEAP
III.3.5 Mod´elisation r´eduite du DEAP
III.4 Etat de l’art sur les lois de commande pour le contr^ole moteur
III.4.1 Commande par modes glissants
III.4.2 Commande optimale
III.4.2.1 Commande robuste
III.4.2.2 Commande pr´edictive
III.4.3 R´eseaux de neurones
III.4.4 Commande par logique floue
III.5 FTC propos´e pour le syst`eme DEAP
III.5.1 Probl`eme de contr^ole du DEAP
III.5.2 Mod´elisation du syst`eme DEAP pour un contr^ole T-S
III.5.2.1 Repr´esentation d’´etat affine en la commande du syst`eme DEAP
III.5.2.2 Description T-S du DEAP
III.5.2.3 Mod´elisation du syst`eme DEAP en pr´esence d’une fuite d’air
III.5.3 Commande pr´edictive `a base de mod`eles T-S
III.5.3.1 Structure de la strat´egie de contr^ole propos´ee
III.5.3.2 FMPC propos´ee pour le syst`eme DEAP
III.5.3.3 R´esultats de simulation
III.6 Conclusion
Conclusion G´en´erale 
Bibliographie 

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