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Etat de l’art de l’écoulement de Couette-Taylor
A la fin du 19ème siècle le scientifique français Maurice Couette (1858 − 1943) [1] a conçu la première machine tournante constituée de deux cylindres coaxiaux où seul le cylindre extérieur pouvait se mettre en rotation. Son objectif était de mesurer la viscosité des fluides avec plus de précision et, ce faisant, il a inventé le viscosimètre d’aujourd’hui. Son dispositif a aussi fait l’objet de différents travaux sur la stabilité des écoulements. Couette [2] a ainsi cherché à vérifier expérimentalement les résultats de l’analyse de stabilité linéaire et le critère de Rayleigh [3]. Mallock [4] a aussi vérifié la stabilité de l’écoulement dans le cas où seul le cylindre intérieur est en rotation (?? = 0). Il a trouvé une instabilité pour toutes les vitesses de rotation du cylindre intérieur. Taylor [5] a donc prédit que la différence entre la théorie et ces résultats expérimentaux pouvait être liée à des perturbations ayant un caractère tridimensionnel de l’écoulement quand seul le cylindre intérieur est en rotation. Afin de bien répondre à cette problématique, il a décidé de construire un autre dispositif expérimental dans lequel les deux cylindres pouvaient tourner indépendamment l’un par rapport à l’autre. Dans son étude Taylor [5] a étudié le cas où les deux cylindres sont en contra-rotation et en co-rotation. En co-rotation, les images enregistrées dans ces expériences indiquent la présence de rouleaux identifiés par les lignes de courant à l’aide d’un traceur fluorescent. Ces rouleaux, maintenant appelés rouleaux de Taylor, occupent plus de 90% de la largeur de l’entrefer (figure1.1). En revanche quand les deux cylindres sont en contra-rotation le gap se devise en deux zones. La zone au voisinage du cylindre intérieur contient des rouleaux similaires à ceux trouvés en co-rotation. Par contre, la zone au voisinage du cylindre extérieur reste stable. Dans cette configuration, Taylor [5] a aussi observé des rouleaux hélicoïdaux qui se propagent autour du cylindre intérieur. Pour des problèmes optiques il n’a pas pu prendre des photographies de ce régime, mais il l’a bien décrit. Dans son article, Taylor [5] a établi un diagramme d’états en fonction des vitesses angulaires des cylindres intérieur et extérieur en indiquant les zones dans lesquelles l’écoulement est stable ou instable. Depuis cette contribution ce système est reconnu comme le système de Couette-Taylor.
Paramètres de contrôle
Les paramètres de contrôle sont des nombres adimensionnels caractérisant la dynamique de l’écoulement. Dans le système de Couette–Taylor, une fois le nombre de Prandtl ?? = ?/? (avec ν est la viscosité cinématique, et ? est la diffusivité thermique) fixé avec les propriétés du fluide, on peut distinguer les paramètres géométriques et les paramètres de contrôle physiques. Les paramètres de contrôle géométriques sont : le rapport des rayons ? = ??⁄??, le rapport d’aspect Γ = ?⁄? où L est la longueur de l’espace annulaire, et ? = ?? − ?? la largeur de l’entrefer. Les paramètres de contrôle physiques généralement utilisés pour les expériences sont les nombres de Reynolds attachés aux cylindres intérieur et extérieur Rei et Reo. Alternativement d’autres couples de paramètres de contrôle physiques sont utilisés : (?, Ta), (??? , ??) ou (??? , ????) où ? = ??/?? , est le rapport des vitesses angulaires, Ta est le nombre de Taylor, ??? le nombre de Reynolds de cisaillement, ???? le nombre de rotation et Ro le nombre de Rossby. Ces nombres sont explicités ci-dessous.
Travaux antérieurs
Après les travaux de Taylor [5] plusieurs chercheurs ont enchaîné des expériences dans le système da Couette-Taylor afin de caractériser les différents régimes observables en fonction des vitesses de rotation des cylindres. Coles [7] a étudié la transition vers la turbulence en passant par le régime de la spirale turbulente, une hélice de turbulence dans un écoulement par ailleurs laminaire. Il a réalisé des séries de visualisations dans ce régime. Van Atta [8] a ensuite réalisé des mesures de vitesse par la technique du fil chaud quand les deux cylindres sont en contra-rotation et plus particulièrement dans les régimes de coexistence laminaire turbulent. Ce régime a aussi retenu l’attention de Snyder [9,10] qui a réalisé une étude expérimentale et a aussi vérifié les travaux théoriques de Krueger et al. [11] sur l’apparition de modes axi- ou nonaxisymétriques lors de la déstabilisation de l’écoulement de base.
Au début des années quatre-vingts, Andereck et al. [12] ont répertorié les différents régimes observés dans le système de Couette-Taylor dans le cas où les deux cylindres sont en co-rotation. Ils ont étudié des régimes non traités dans les travaux antérieurs et ont ainsi présenté cinq nouveaux régimes à l’aide d’une technique de visualisation de l’écoulement. Ils ont complété ensuite leur travail en ajoutant le cas où les deux cylindres sont en contra-rotation [13]. Tous ces travaux ont donné naissance à un nouveau diagramme de bifurcation qui reste à nos jours l’une des références pour l’écoulement de Couette-Taylor.
Dans leurs travaux, Andereck et al. [12,13] ont mis en place un protocole pour atteindre les différents états qui leur a permis d’obtenir des seuils de transition, entre les différents régimes, bien contrôlés. Au début ils augmentent tout doucement la vitesse de rotation du cylindre extérieur jusqu’à atteindre la vitesse de consigne. Nous notons que dans ce cas l’écoulement reste toujours laminaire. Ensuite ils augmentent de la même manière la vitesse de rotation du cylindre intérieur jusqu’à atteindre la valeur désirée. Ce même protocole a été suivi par Coles [7], Van Atta [8] et Snyder [9,10].
Dans le cadre de ce travail de thèse nous nous intéressons au cas où les deux cylindres sont en contra-rotation avec des nombres de Reynolds plus élevés. Comme nous voyons sur le diagramme d’Andereck el al. [13], pour un nombre de Reynolds ??? fixe et un nombre de Reynolds ??? petit, l’écoulement de base est laminaire, appelé écoulement de Couette circulaire. En augmentant ce nombre de Reynolds ??? l’écoulement passe par un régime de rouleaux non axisymétriques formant une hélice (spirale) laminaire qui se propage autour du cylindre intérieur. Avec une petite augmentation du nombre de Reynolds ??? , des spots se forment dans l’écoulement et déstabilisent les rouleaux non axisymétriques donnant naissance à un régime de coexistence laminaire-turbulent intermittent. Ce régime a été étudié en détail par Goharzadeh et Mutabazi [14]. Nous notons que ce régime n’est visible que pour des petits nombres de Reynolds ???. Cette coexistence peut aussi être présente sous la forme d’une hélice (spirale) turbulente qui se propage autour du cylindre intérieur pour des nombres de Reynolds ??? plus grands. Ce régime est caractérisé par une dynamique spatio-temporelle bien organisée en temps et en espace. Prigent et al. [15,16] ont aussi retrouvé et étudié ce régime de la spirale turbulente en diminuant le nombre de Reynolds intérieur plutôt qu’en l’augmentant, c’est-àdire en partant du régime pleinement turbulent vers l’écoulement de Couette circulaire plutôt que l’inverse. Le régime de la spirale turbulente a été étudié numériquement par Dong and Zheng [17], et Meseguer el al. [18]. Ce régime de la spirale turbulente est très sensible aux conditions aux limite [19], ainsi qu’aux rapports d’aspect du système [20].
Au-delà des valeurs du nombre de Reynolds ??? du diagramme d’Andereck et al. [13], dans le cas où les deux cylindres sont en contra-rotation, ils ont mentionné une réémergence de structures turbulentes qui ressemblent aux rouleaux de Taylor (TTV) observés pour ??? = 0. En revanche, dans le cas où les deux cylindres sont en contra-rotation l’émergence de structures à partir de l’écoulement pleinement turbulent n’a pas été étudiée par Andereck et al. [13].
Ces dernières années les chercheurs se sont d’avantages intéressés aux régimes turbulents qui restent à nos jours parmi les problèmes majeurs non résolus de physique. De nombreux travaux ont été réalisés sur ce sujet depuis l’étude de Reynolds en 1883 dans une conduite cylindrique. Le système de Couette-Taylor est aussi un très bon candidat pour contrôler et étudier la turbulence. L’évolution de la technologie ces dernières années a permis de faire progresser l’étude de ces régimes turbulents à la fois d’un point de vue expérimental et numérique. Comme nous l’avons vu sur le diagramme établi par Andereck et al. [13] le système de Couette-Taylor peut atteindre un régime pleinement turbulent quand les deux cylindres sont en contra-rotation. Plusieurs travaux se sont focalisés sur cet écoulement turbulent dans lequel les structures cohérentes ne sont pas présentes. Rudman et al. [21] ont étudié numériquement cet écoulement pleinement turbulent. Dans leur simulation ils ont trouvé une asymétrie de l’écoulement moyen et du tenseur de Reynolds dans la direction radiale, par rapport à sa médiane. Ravelet et al. [22] ont étudié la transition entre deux régimes d’écoulements turbulents avec et sans structures cohérentes, des rouleaux axisymétriques. Ils ont réalisé des mesures de couple et de vitesse par PIV en variant le nombre de rotation, ????. Ils ont trouvé que la transition entre ces deux régimes est supercritique avec un seuil d’apparition des rouleaux égal à ???? = 0. Dong [23] a étudié numériquement les régimes turbulents dans le système de Couette-Taylor. Les résultats de ses simulations montrent la formation de petits rouleaux appelés rouleaux de Görtler près des parois intérieure et extérieure. Görtler proviennent des frontières d’écoulement sortant entre les rouleaux turbulents [24]. Paoletti et al. [25] ont réalisé des mesures de couple et de contrainte de cisaillement à la paroi pour une large gamme de valeurs des nombres de Reynolds intérieur et extérieur correspondant à des écoulements turbulents. Ils ont mis en évidence l’existence de plusieurs régimes d’écoulements turbulents. Van Gils et al. [26] ont étudié le régime turbulent pour des nombres de Reynolds encore plus grands ( 10⁶ ) en se basant sur des mesures de couple. Brauckmann et Eckhardt [27] ont expliqué que le couple augmente avec l’augmentation de la contra-rotation comme les rouleaux deviennent de plus en plus forts. Pour une contra-rotation encore plus forte ces rouleaux ne supportent plus la turbulence dans le gap, ce qui implique une diminution du couple qui conduit à une intermittence dans le gap. Ce résultat a été revérifié par van Gils et al. [28] à l’aide de mesures de vitesse par LDV.
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Table des matières
Chapitre ? : Introduction
1.1 Etat de l’art de l’écoulement de Couette-Taylor
1.1.2 Paramètres de contrôle
1.1.3 Critère de Rayleigh
1.1.4 Description des grandeurs turbulentes
1.1.4 Vorticité
1.1.5 Travaux antérieurs
1.2 Objectif de la thèse
1.3 Organisation du manuscrit
Chapitre ? : Dispositif expérimental et techniques de mesures
2.1 Le dispositif de Couette-Taylor
2.2 Techniques de mesure
2.2.1 Mesures de vitesses par PIV stéréoscopique
2.2.2 Visualisation de l’écoulement
2.2.3 Mesures de vitesse par LDV
Chapitre 3 : Résultats préliminaires : observation de la transition vers la turbulence et validation des mesures de vitesse
3.1 Visualisations par Kalliroscope
3.1.1 Diagrammes spatio-temporels de l’intensité lumineuse
3.1.2 Signaux temporels moyens
3.1.3 Spectres spatiaux moyens
3.2 Validation de la PIV stéréoscopique
3.2.3 Fluctuations de vitesse
3.2.4 Régimes transitoires vers la turbulence et turbulence
3.3 Les mesures par LDV
Chapitre ? : Emergence de structures cohérentes dans le régime turbulent
4.1 Vitesses
4.1.1 Champs moyens de la vitesse
4.1.2 Profils moyens de la vitesse azimutale
4.1.3 Couches limites
4.1.4 Surface nodale
4.2 Champs de vitesse et vorticité
4.2.1 Champs moyens dans le temps
4.2.2 Diagrammes spatio-temporels
4.2.3 Champs instantanés
4.2.4 Signaux spatiaux de la vorticité azimutale
4.3 Visualisation par kalliroscope
4.3.1 Diagrammes spatio-temporels
4.3.2 Fréquences spatiale et temporelle
4.4.1 Fluctuations de la vitesse radiale
4.4.2 Fluctuations de la vitesse axiale
4.4.3 Fluctuations de la vitesse azimutale
4.4.4 Estimation du bruit expérimental
4.5 Diagramme d’états-transitions pour ??? = −4368 et conclusion
Chapitre ? : Analyse statistique de la transition vers les rouleaux turbulents
5.1 Fonction de densité de probabilité de la vitesse
5.2 Asymétrie et aplatissement
5.3 Fonction densité de probabilité conjointe (JPDF)
5.4 Tenseur de Reynolds et énergie cinétique
5.5 Nombre de Reynolds ???
5.6 Fonction d’autocorrélation
Chapitre 6 : Conclusion
