Soutenance mémoire
De nombreux phénomèmes physiques sont modélisés par des équations aux dérivées partielles. Certaines de ces équations peuvent être résolues analytiquement et leurs solutions exactes sont connues. Toutefois, pour un nombre important d’équations, la solution exacte est inconnue. C’est dans cette optique que les recherches se sont penchées sur les méthodes numériques pour pouvoir approcher les solutions de ces équations. Ces méthodes fournissent des solutions approchées qui sont le plus souvent des fonctions appartenant à un espace fonctionnel de dimension finie. La discrétisation de ces équations par ces méthodes numériques donne lieu en général à des systèmes de grandes dimensions. La résolution des grands systèmes étant coûteuse en termes de temps de calcul et de resources informatiques, deux questions importantes se posent.
Tout d’abord, est-ce que la résolution de ce système fournit une solution approchée de bonne qualité ? Dans le cas des solutions numériques des équations aux dérivées partielles, cette question est reliée au problème d’estimer et de contrôler l’erreur due à la discrétisation entre la solution exacte et la solution approchée. En d’autres termes, il s’agit de déterminer la précision de la méthode numérique.
La deuxième question qui se pose est la suivante : est-ce que les ressources informatiques disponibles sont bien utilisées ? En effet, dans plusieurs cas, la solution d’un problème physique présente un comportement local dû par exemple à la discontinuité des coefficients, à des sources localisées, à des conditions de bord…Dans ce cas, la précision globale de la méthode numérique peut se détériorer. Une solution évidente pour remédier à ce problème est de raffiner les régions du maillage où ce comportement local se présente. On est alors face à deux problèmes, en premier, repérer les régions du comportement singulier et en second, raffiner de façon à ce que l’erreur globale soit uniformément répartie sur tout le domaine.
Les réponses à ces questions peuvent être décisives dans la construction des ponts et barrages, la fabrication des voitures et avions, les prévisions de la météo, l’exploitation du pétrole et du gaz naturel, la dépollution des sols et océans, les applications biomédicales, les simulations de la dynamique des populations, les prévisions économiques et financières etc… En effet, la décision est souvent prise sur la base du résultat numérique ; cf., par exemple, Babuška et Oden [15] et Oden, Babuška, Nobile, Feng, et Tempone [85] pour une discussion générale sur les erreurs dans les simulations.
Dans cette direction de raisonnement, on se propose de concevoir un algorithme permettant la réalisation de ces deux objectifs :
1. Le contrôle global de l’erreur due à la discrétisation du problème.
2. L’utilisation efficace des ressources informatiques disponibles.
L’analyse d’erreur a posteriori contribue à la satisfaction de ces objectifs. En effet, le but des estimations d’erreur a posteriori est de donner des bornes sur l’erreur entre l’approximation numérique et la solution exacte qui peuvent être calculées en pratique, une fois que la solution approchée est connue, cf. Verfürth [105], Ainsworth et Oden [9], Babuška et Strouboulis [18], Neittaanmäki et Repin [80], ou Repin [94]. Cette analyse peut alors fournir des critères d’arrêt qui garantissent le contrôle global de l’erreur.
Un autre point important permettant de réaliser des calculs efficaces est de distinguer et d’estimer séparément les différentes composantes de l’erreur. Par exemple, dans le cas des problèmes instationnaires, il y a d’habitude une erreur provenant de la discrétisation en espace et une erreur provenant de la discrétisation en temps. Pour traiter ce point, il faut ajuster les paramètres du calcul (par exemple les maillages en espace ou les pas de temps) de telle sorte que ces deux erreurs soient de grandeur comparable et qu’elles soient distribuées de façon équilibrée, cf. Ladevèze et Moës [74], Ladevèze [72], Verfürth [107], Bergam, Bernardi et Mghazli [24], et Ern et Vohralík [53].
L’équation de convection–diffusion–réaction
La distribution de certaines quantités en espace et en temps dépend de différents processus et peut être modélisée par des principes physiques. Une classe importante de ces principes exprime la conservation d’une certaine quantité et donne lieu à des lois de conservation. L’équation de convection–diffusion–réaction exprime la conservation de la concentration u d’une certaine substance dont les variations en espace et en temps résultent de processus de diffusion, convection et réaction, par exemple dans un milieu poreux. Cette équation se rencontre également dans la modélisation du transfert de chaleur à travers un milieu perméable, ou du transport d’un polluant à travers l’atmosphère.
L’analyse d’erreur a posteriori
Une simulation réalisée par une méthode numérique peut prendre beaucoup de temps. Une phase délicate dans ce processus est la construction du maillage. En effet, si le maillage est trop grossier, la durée des calculs sera courte, mais le résultat ne sera pas satisfaisant car trop approximatif. Par contre, si le maillage est très fin, il y a deux inconvénients : premièrement le fait que le calcul sera peut être inutilement long car certaines zones ne nécessitent pas un maillage fin ; deuxièmement, le processus lui-même risque de se terminer par une interruption extérieure (limite de temps dépassée par exemple). Il faut donc trouver un bon compromis de manière à ce que le maillage soit fin uniquement là où cela est nécessaire.
Estimations d’erreur a posteriori pour la méthode des éléments finis
Pour la méthode des éléments finis, les estimations d’erreur a posteriori ont été développées depuis plus de trente ans. Elles ont été initiées par Babuška et Rheinboldt [16, 17] à la fin des années 70, et une vaste litérature existe sur ce sujet. On réfère, par exemple, aux livres de Verfürth [105] ou de Ainsworth et Oden [9]. Plusieurs techniques ayant été développées, on retrouve plusieurs classes d’estimations a posteriori. Les estimations par résidu, initiées par Babuška et Rheinboldt [16] et détaillées par Verfürth [105], sont probablement les plus populaires. Les bornes supérieures sont en général des bornes calculables multipliées par une constante indépendante de la solution exacte et du pas du maillage mais dont la valeur est difficile à calculer explicitement ; citons toutefois les travaux de Verfürth [106], Carstensen et Funken [31], et Veeser et Verfürth [101]. L’estimation n’est donc pas en général garantie. Les estimations par résidu équilibré, cf. Ainsworth et Oden [9], suppriment ce désavantage sous la condition que des problèmes locaux de dimension infinie puissent être résolus. Cela n’est pas possible en pratique, et les solutions de ces problèmes doivent être approchées et par suite on perd la borne garantie et le coût de calcul est augmenté. Les estimations par moyenne, comme celles de Zienkiewicz–Zhu [118], sont basées sur des moyennes locales calculables facilement. Ces estimations sont souvent asymptotiquement exactes mais ne sont pas garanties. Les estimations fonctionnelles, cf. Neittaanmäki et Repin [80] et Repin [94], donnent des bornes garanties par construction. Cependant, il est difficile d’assurer l’exactitude asymptotique avec un coût de calcul qui reste négligeable. Les estimations d’erreur a posteriori les plus proches de la démarche privilégiée ici sont basées sur la reconstruction locale de flux équilibrés comme celles développés par Ladevèze [71, 72], Ladevèze et Leguillon [73], Destuynder et Métivet [44], Luce et Wohlmuth [78], Braess et Schöberl [27], ou Ern et Vohralík [53].
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Table des matières
1 Introduction
1.1 Motivations
1.2 L’équation de convection–diffusion–réaction
1.2.1 Espaces fonctionnels et hypothèses sur les données
1.2.2 Problème faible
1.3 Les méthodes des volumes finis
1.4 L’analyse d’erreur a posteriori
1.4.1 Principes généraux et propriétés
1.4.2 Estimations d’erreur a posteriori pour la méthode des éléments finis
1.4.3 Estimations d’erreur a posteriori pour les méthodes des volumes finis
1.4.4 Estimations d’erreur a posteriori pour les problèmes instationnaires
1.5 Plan de la thèse
2 Estimation en norme d’énergie
2.1 Cadre discret
2.1.1 Pas de temps et maillages variant en temps
2.1.2 Espace de Raviart–Thomas–Nédélec
2.1.3 Espace de Sobolev H1 brisé, gradient brisé et norme d’énergie brisée
2.1.4 Notations pour les données
2.2 Reconstructions pour les schémas volumes finis
2.2.1 Le schéma volumes finis modifié
2.2.2 Reconstruction des flux
2.2.3 Solution post-traitée
2.2.4 Reconstruction H1 0(Ω)-conforme du potentiel
2.3 Borne supérieure de l’erreur
2.3.1 Inégalités utiles
2.3.2 Estimateurs d’erreur
2.3.3 Résultat principal
2.3.4 Distinction entre l’erreur en espace et l’erreur en temps
2.4 Exemples de schémas volumes finis
2.4.1 Schéma volumes finis à quatre points
2.4.2 Schéma DDFV
3 Algorithme et résultats numériques
3.1 Algorithme adaptatif
3.1.1 Structure globale
3.1.2 Techniques de marquage, de raffinement et de déraffinement
3.1.3 Algorithme
3.2 Résultats numériques
3.2.1 Cas test avec solution analytique
3.2.2 Cas test avec couche intérieure et couche limite
4 Estimation et efficacité en norme augmentée
4.1 Equivalence entre le résidu et l’erreur
4.2 Borne supérieure de l’erreur
4.2.1 Hypothèses sur le problème
4.2.2 Inégalités utiles
4.2.3 Les indicateurs d’erreur
4.2.4 Résultat principal
4.3 Borne inférieure de l’erreur
4.3.1 Hypothèses sur les maillages espace-temps
4.3.2 Notations
4.3.3 Hypothèses sur les reconstructions du potentiel et des flux
4.3.4 Borne inférieure
5 Conclusion et perspectives
Bibliographie
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