Estimation adaptative de densite dans différents modèles 

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Estimation par seuillage

Le choix d’une représentation appropriée d’une fonction est souvent cruciale pour résoudre un problème donné. On peut par exemple décomposer une fonction inconnue f que l’on cherche à estimer en séries polynômiale ou encore en série de Fourier. En générale, si la fonction f présente des singularités, on utilise plutôt un développement en série d’ondelettes. Si le nombre de coefficients proche de zéro de la décomposition est faible, on parle de représentation creuse ou parcimonieuse de la fonction f relativement à la base considérée.

Approximation linéaire

Dans le cadre de l’estimation de densité, les premiers estimateurs linéaires en onde-lettes ont été introduits par [42] et [57, 58]. L’approximation linéaire d’une fonction f consiste à ne conserver qu’un nombre fini de coefficients d’ondelettes de la décomposition en ondelettes. Autrement dit, une approximation linéaire f^Ml d’une fonction f apparte-nant à un certain espace de Hilbert H projette la fonction dans une base orthonormée B = fgmgm2N de H sur les M premiers termes du développement
Si la régularité de f est suffisante et connue, on peut généralement construire des estima-teurs performants en minimisant l’erreur d’approximation linéaire. Lorsque l’on considère une base d’ondelettes, on peut montrer que l’erreur d’approximation est minimale lorsque la fonction f appartient à un espace de Sobolev. Cependant, les M premiers termes de la décomposition ne sont pas toujours les plus appropriés pour estimer f.

Approximation non-linéaire

L’approximation adaptative par seuillage des coefficients d’ondelettes constitue une alternative intéressante à l’approximation linéaire. Les premiers estimateurs de seuillage en ondelettes ont été introduits par [38, 39] pour le modèle de régression à pas équidistants et [41] dans le cadre de l’estimation de densités. Une telle approximation vise à sélectionner les meilleurs coefficients d’ondelettes dans la base d’ondelettes considérée de manière à décrire la fonction f avec un minimum de coefficients. Cette sélection s’opère par seuillage, c’est à dire en ne conservant que les M coefficients dont la magnitude dépasse un certain seuil.

Boules de Besov

Il existe différents moyens de de mesurer la régularité de fonctions, le plus souvent au moyen d’un espace de régularité approprié et d’une norme associée. Des exemples classiques sont les espaces de Sobolev et les espaces de Besov. Ces espaces permettent de caractériser la vitesse à laquelle une fonction f peut-être approcher par un estimateur en ondelettes. En effet, les espaces Besov sont des espaces fonctionnels très larges qui décrivent les propriétés de régularité des fonctions et un de leur principale intérêt est qu’ils peuvent être caractérisé en termes de coefficients d’ondelettes :
Soit M > 0, s > 0, p 1 et r 1. On dit qu’une fonction h appartient à la boule de Besov Bp;rs(M) si et seulement si il existe une constante M > 0 (qui dépend de M) tel que les coefficients d’ondelettes associés

Table des matières

Introduction générale 
I Problèmes inverses et estimation fonctionnelle adaptative 
1 Cadre et outils mathématiques
1.1 Cadre et outils mathématiques
1.1.1 Analyse multirésolution et ondelettes
1.1.2 Les ondelettes à support compact
1.1.3 Les bases d’ondelettes d’Yves Meyer
1.2 Estimation par seuillage
1.2.1 Approximation linéaire
1.2.2 Approximation non-linéaire
1.2.3 Boules de Besov
2 Block thresholding for wavelet-based estimation of derivative
2.1 Problem statement and motivation
2.2 Relation to prior work
2.3 Wavelets and Besov balls
2.3.1 Periodized Meyer Wavelets
2.3.2 Besov balls
2.4 The deconvolution BlockJS estimator
2.4.1 The ordinary smoothness assumption
2.4.2 BlockJS estimator
2.5 Minimaxity results of BlockJS over Besov balls
2.5.1 Minimax upper-bound for the MISE
2.5.2 Minimax lower-bound for the MISE
2.6 Simulations results
2.6.1 Monochannel simulation
2.6.2 Multichannel simulation
2.7 Conclusion and perspectives
2.8 Proofs
2.8.1 Preparatory results
2.8.2 Proof of Theorem 2.5.1
2.8.3 Proof of Theorem 2.5.2
3 Adaptive parameter selection for block wavelet-thresholding
3.1 Problem statement and motivating example
3.2 Overview of previous work
3.3 Nonlinear estimation via Block thresholding
3.3.1 Smoothness of the kernel g
3.3.2 Wavelet deconvolution in the Fourier domain
3.3.3 Block deconvolution estimator
3.3.4 Unbiased risk estimation for automatic parameter selection
3.4 Simulation experiments
3.5 Conclusion
II Estimation adaptative de densite dans différents modèles 
4 On adaptive wavelet estimation of a class of weighted densities
4.1 Problem statement and motivation
4.2 State-of-the-art
4.3 Wavelet estimators
4.3.1 Wavelets and Besov balls
4.3.2 Plug-in block wavelet estimator
4.4 Estimator convergence rates
4.4.1 An illustrative application
4.5 Simulation results
5 On a plug-in wavelet estimator for convolutions of densities
5.1 Problem statement and motivations
5.2 Wavelet estimators
5.2.1 Basics on wavelets
5.2.2 Estimators
5.2.3 Besov balls
5.3 Upper bound
5.4 Application I : the density model
5.4.1 Upper bound
5.4.2 Simulation results
5.4.3 Application to insurance data
5.5 Application II : the deconvolution density model
5.5.1 Upper bound
5.5.2 Simulation results
5.6 Conclusion and perspectives
5.7 Proofs
6 Fast nonparametric estimation for convolutions of densities
6.1 Introduction
6.1.1 Problem statement and motivations
6.1.2 Relation to prior work
6.2 Estimation procedure
6.2.1 Notations
6.2.2 Estimator
6.2.3 A selection method for h
6.3 Results
6.3.1 Performances of ^gh under the pointwise L2-risk
6.3.2 Performances of ^gh
6.3.3 Performances of ^g^h
6.4 Numerical experiments
6.4.1 Computational aspects
6.4.2 Bandwidth selection procedure
6.5 Conclusion and perspectives
6.6 Proofs
6.6.1 Intermediary results
6.6.2 Proof of the main results
Production scientifique
Références bibliographiques 
Table des figures
Liste des tableaux

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