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Définition de l’erreur
Au cours de la simulation numérique d’un problème physique on peut distinguer plusieurs origines à l’erreur qui font que la solution obtenue est différente de la solution exacte du problème étudié. Les principales sources d’erreurs sont :
la modélisation mathématique du problème physique (les équations d’équilibres, les lois rhéologiques, les lois de frottement, les modèles des échanges thermiques, etc.). La qualité de la solution dépend du choix du modèle qui peut négliger des phénomènes physiques particuliers.
entrée des données : erreurs utilisateur.
la discrétisation spatiale du problème : c’est une source d’erreur intrinsèque à la méthode des éléments finis. Chaque discrétisation spatiale (maillage) du domaine considéré est associée à un niveau d’erreur qui dépend du pas de celle-ci (la taille h des éléments du maillage).
la résolution numérique : erreurs d’intégration numérique liées au choix du schéma d’intégration, les erreurs d’arrondi, les erreurs de convergence, etc.
la discrétisation temporelle (choix du pas de temps) : c’est une erreur qui s’apparente à l’erreur de discrétisation spatiale et à l’erreur d’intégration numérique.
Dans la suite de cette étude, on ne s’intéressera qu’à l’erreur de discrétisation spatiale, qu’on appellera erreur éléments finis, et qu’on notera eh. Celle-ci est définie comme la différence entre la solution exacte et la solution éléments finis du problème discret.
Choix d’un estimateur pour la mise en forme
Le choix d’un estimateur d’erreur pour les problèmes de mise en forme des matériaux repose sur les deux spécificités principales de ceux-ci, à savoir la non linéarité des lois de comportement et l’incompressibilité du matériau. Bien que l’approche de l’estimateur résiduel proposée par Babuška et Rheinbold [Babuška 78] soit mathématiquement rigoureuse, son extension aux problèmes non linéaires 3D est confrontée à quelques difficultés majeures. En effet l’efficacité de cet estimateur dépend de la qualité du maillage et de la régularité de la solution, ce qui le rend moins adapté aux problèmes de grandes déformations. D’autre part la méthode du résidu équilibré développée par Ainsworth et Oden [Ainsworth 92] risque d’être très lourde à généraliser. Dans la littérature, la majorité des applications sont présentées dans le cadre des problèmes académiques 1D et 2D. Celles dédiées aux problèmes non linéaires et des matériaux incompressibles sont peu nombreuses. Dans ce contexte on peut citer les travaux de Huerta et al. [Huerta 00] qui ont étendu l’estimateur résiduel aux problèmes 2D non linéaires, ainsi que Baranger et El Amri [Baranger 91] qui ont développé un estimateur d’erreur de type résiduel pour des écoulements de fluides quasi-Newtonien incompressibles. L’erreur totale est décomposée d’un terme de résidu, un terme de saut de contraintes et un terme lié à l’incompressibilité. L’approche peut être généralisée sur d’autre loi de comportement. L’estimateur proposé par Ladevèze et al. [Ladevèze 86] et appelé estimateur d’erreur en relation de comportement semble très attractif. Le principe de construction des champs admissibles ne dépend pas de la loi de comportement du matériau. L’estimateur d’erreur ainsi construit a été étendu à plusieurs types de problèmes 2D d’élasticité compressible [Coorevits 95] et incompressible [Marin 91], de plasticité [Ladevèze 99-a], [Gallimard 00], d’élastoplasticité [Ladevèze 86], [Coffignal 87], [Gallimard 94], [Gallimard 96], de viscoplasticité [Ladevèze 99-b] et pour des problèmes d’élasticité 3D compressibles [Florentin 02] et incompressibles [Marin 91]. Cependant, dans le cadre de matériaux incompressibles, le traitement de la condition d’incompressibilité rend l’approche plus délicate. En effet le champ de déplacement cinématiquement admissible doit vérifier la condition d’incompressibilité. Dans ce contexte Marin [Marin 91] a développé une méthode de construction d’une solution cinématiquement admissible dans le cas de problème 2D et 3D d’élasticité. Il utilise une formulation mixte de type Hermann [Hermann 65] (uh,Hh) où H est la variable d’Hermann qui peut être interprétée comme une pression hydrostatique. La démarche pour définir une erreur en relation de comportement est la même que celle décrite précédemment mais la condition d’incompressibilité est considérée comme une condition d’admissibilité cinématique. La technique proposée par l’auteur est à la fois compliquée et coûteuse en terme de temps de calculs. De plus elle dépend du type de l’interpolation. Pour le problème d’élasticité 3D, l’auteur présente une technique pour des tétraèdres (P2,P1). Dans le cas d’un problème à 15000 ddl, le coût du calcul d’erreur est de l’ordre de 25% de celui des calculs éléments finis, ce qui est relativement important. Initialement développés dans le cadre de problèmes d’élasticité linéaire 2D [Zienkiewicz 87] [Zienkiewicz 92(II)], les estimateur d’erreur de type Z², ont été étendus aux différents types de problèmes 2D non linéaires de viscoplasticité [Zienkiewicz 88], [Fourment 92], [Dyduch 96], d’élastoplasticité [Booromand 99] ainsi qu’aux problèmes 3D d’élasticité linéaire [Dufeu 97], [Lee 97], [Lee 99], [Boussetta 03] et plus récemment pour les problèmes 3D de viscoplasticité incompressible [Boussetta 04]. Hétu et Pelletier [Hétu 92] ont étudié l’efficacité des estimateurs de type Z² pour l’adaptation des maillages dans le cadre des fluides visqueux incompressibles. L’étude est basée sur des problèmes analytiques de type Navier Stokes ainsi que des comparaisons à des résultats expérimentaux. Les auteurs ont montré que l’estimateur est très sensible aux zones de fortes déformations et peut capter différents phénomènes importants tels que les gradients et les couches de cisaillement. L’extension de l’estimateur Z² à différents types de problèmes non linéaires est faite sans qu’aucun résultat théorique ne soit établi dans ce contexte. L’approche repose seulement sur le fait que la contrainte h~σ est plus précise que la solution éléments finis et assure une meilleure approximation de la solution exacte . Cette propriété est souvent vérifiée, ainsi qu’on le montrera au chapitre 5. Dans la littérature c’est l’estimateur le plus répandu dans le contexte de problèmes non linéaires. Il allie à la fois efficacité et simplicité de mise en œuvre avec de très faibles coûts de calcul. Son intégration dans un code industriel existant se fait aisément et sans contraintes particulières. C’est l’estimateur d’erreur que nous adoptons dans le cadre de ce travail. Il sera intégré dans le logiciel Forge3® pour le pilotage de la procédure d’adaptation du maillage.
hp-adaptation
Cette technique est une combinaison entre la h-adaptation et la p-adaptation. L’objectif est d’améliorer la précision des calculs en profitant des avantages des deux méthodes. Par exemple, on commence par un raffinement par la méthode h pour répartir uniformément l’erreur, puis on le poursuit par un raffinement par la méthode p afin d’augmenter le taux de convergence qui devient ainsi exponentiel [Zienkiewicz 89-b], [Babuška 82] et [Ainsworth 00]. Cugnon [Cugnon 00] a testé un schéma d’adaptation h-p pour le contrôle d’erreur de discrétisation éléments finis sur un problème linéaire 2D (Barrage soumis à une pression hydrostatique en déformation plane). Il consiste à faire, dans une première étape, une série de raffinements de type h pour atteindre une précision intermédiaire. Ensuite la précision requise est atteinte par l’augmentation du degré des éléments par la p-adaptation. Les résultats montrent que l’adaptation h-p permet d’atteindre les précisions prescrites avec moins de degrés de liberté qu’avec une adaptation h.
Application à l’adaptation de maillage et comparaison des estimateurs
On considère le problème du filage de la barre qui présente une légère singularité à l’angle droit de la filière. Pour la procédure d’adaptation de maillage, on suppose que le taux de convergence de la méthode des éléments finis est uniforme et égal à 1. Théoriquement, et pour un problème présentant une singularité d’intensité λ, le taux de convergence est Min(p,λ) (cf. § 2.2.1). L’objectif de cette étude est donc, d’une part, la comparaison des estimateurs d’erreur, et d’autre part la vérification de la remarque faite au chapitre 2 : pour une succession de maillages optimaux (erreur uniformément répartie), la vitesse de convergence est indépendante de la singularité. Sur le maillage initial, l’erreur est estimée autour de 45% (tableau 5.2). Nous nous fixons pour objectif de diminuer cette erreur en trois étapes en essayant d’atteindre pour chacune de celles-ci une précision prescrite. Les maillages sont adaptés à l’aide des trois estimateurs Z²- REP², Z²-SPRP et Z²-MPR. On commence par une consigne de 18% puis 9% et finalement 4,5%. Nous utilisons la procédure d’adaptation décrite au paragraphe 5.2.2.5 en tenant compte des facteurs correctifs proposés pour les estimations d’erreur et en considérant une vitesse de convergence théorique (p = 1). Les propriétés du maillage initial sont regroupées dans le tableau 5.2 (les estimations indiquées sont «corrigées»). Le tableau 5.3 donne les valeurs de l’erreur estimée par les 3 estimateurs en fonction de celle demandée en consigne. Du point de vue de la fiabilité, les estimateurs Z²-REP² et Z²- SPRP donnent des résultats satisfaisants : respect de l’erreur imposée en consigne et d’adaptation de maillage (figure 5.33). L’estimateur Z²-REP² génère plus d’éléments à la troisième itération et l’erreur estimée est la plus proche de l’erreur consigne. Dans le cas de l’estimateur Z²-MPR, celui-ci semble sous-estimer l’erreur malgré le facteur correctif pris en compte. A la première itération et avec la correction initiale de l’erreur il génère pratiquement le même nombre d’éléments que Z²-SPRP et Z²-REP², cependant l’erreur estimée est très différente (17,97% par rapport à 25,47% et 23,02%). Afin d’évaluer la fiabilité des estimateurs ici où nous ne pouvons connaître la solution exacte, une approche consiste à comparer les estimations entre elles sur un même maillage. Pour cela on considère le maillage adapté final obtenu par l’estimateur Z²-MPR. Nous y calculons l’estimation Z²-REP² et Z²-SPRP. Les résultats sont réunis dans le tableau 5.4. Ils confirment la tendance de Z²-MPR à sous-estimer l’erreur malgré la prise en compte du facteur correctif. Cette correction a été obtenue sur des maillages réguliers et elle semble non valable pour les maillages non structurés ce qui est de mauvais augure pour la robustesse de la technique MPR. Il semble donc que l’erreur de discrétisation sur de maillage soit proche de 6%. Si maintenant nous rapportons cela au nombre de nœuds du maillage, on constate que la procédure de raffinement Z²-MPR est aussi efficace que les autres (précision équivalente pour un nombre de nœuds donné) mais qu’elle n’est pas supérieur comme cela semblait être le cas en élasticité. Les estimations Z²-SPRP et Z²-REP² paraissent en revanche très cohérentes par rapport aux résultats d’adaptation précédents (tableau 5.3). Du point de vue de la réponse à l’erreur imposée en consigne, l’estimateur Z²-REP² semble être le plus fiable. Concernant la convergence de la procédure d’adaptation et pour les estimateurs Z²-REP² et Z²-SPRP, les résultats montrent que celle-ci converge moins bien à la première itération qu’aux suivantes, sans doute à cause de la singularité du problème. Les maillages obtenus présentent des erreurs autour de 23% et 25%, alors que la consigne est de 18%. A la troisième itération, la convergence est devenue presque parfaite, car les maillages sont presque optimaux. Ceci confirme l’hypothèse que la fiabilité des estimateurs d’erreur n’est pas très affectée par la présence d’une singularité, et que peu d’itérations permettent de construire un maillage satisfaisant avec une précision requise.
Conclusions
Ce travail a permis de mettre en place un outil efficace pour le contrôle d’erreur et le remaillage adaptatif dans le cadre de la simulation numérique de la mise en forme des matériaux. Le contrôle d’erreur est basé sur un estimateur d’erreur de type Z2, initialement développé dans le cadre de problèmes d’élasticité bidimensionnels. Nous avons proposé de l’étendre aux problèmes tridimensionnels non linéaires incompressibles pour lesquels aucun des résultats théoriques établis en élasticité ne peut être étendu. Notre approche revêt alors un caractère heuristique. L’approche repose sur l’hypothèse que la contrainte recouvrée h~σ est plus proche de la solution exacte que la contrainte éléments finis h. Nous avons développé différentes techniques de recouvrement qui nous permettent de construire h~σ : la technique SPR, la technique de différences finis locales LO, la technique REP que nous avons améliorée (REP²) ainsi que deux variantes de la technique SPR que l’on a notées SPR-P et MPR. Ceci nous a permis de tester et de comparer les cinq estimateurs Z² associés à ces techniques. Dans une première étape, l’efficacité des estimateurs est évaluée dans le cadre d’un problème analytique d’élasticité. Les motivations de cette étude sont, d’une part, le développement d’un estimateur d’erreur pour les calculs dans les outillages dont la déformation est supposée purement élastique. D’autre part, cela nous a permis de comparer les résultats obtenus en 3D avec des éléments tétraédriques et une formulation mixte vitesse/pression avec ceux de la littérature. A l’issu de cette étude, nous avons montré que les propriétés de superconvergence de la contrainte h~σ démontrées en 2D dans la littérature sont retrouvées en 3D avec des maillages réguliers et irréguliers. Cela nous a permis de construire un estimateur d’erreur asymptotiquement exact pour les problèmes d’élasticité. Par ailleurs, la comparaison des techniques de recouvrement a montré que MPR améliore localement la précision de la technique SPR au niveau des zones de fortes contraintes. Cependant l’estimateur Z2-MPR est moins efficace et nécessite la prise en compte d’un facteur correctif de 1,1. Les résultats obtenus dans un exemple d’adaptation de maillage, ont montré que pour des niveaux de précision comparables, cet estimateur produit moins de degrés de liberté que les estimateurs Z²-REP², Z²-SPR et Z²-SPRP qui présentent des efficacités comparables. Il présente ainsi les propriétés d’un bon indicateur d’erreur. Les estimateurs, ainsi évalués en élasticité, sont ensuite étudiés dans le cadre de problèmes de viscoplasticité incompressible. Les expérimentations numériques ont montré que les propriétés de superconvergence obtenues en élasticité n’ont pas été confirmées lors du passage à une loi viscoplastique. Toutefois, les contraintes recouvrées sont toujours de meilleure précision que la solution éléments finis et les estimateurs d’erreur donnent des résultats très satisfaisants. En effet, dans ce cas il n’est pas indispensable que l’estimateur soit asymptotiquement exact et il suffit qu’il soit régulier. Ceci veut dire qu’il doit converger asymptotiquement vers une valeur constante qui ne dépend pas du type de problème. Les résultats obtenus sur deux problèmes différents et avec des maillages réguliers montrent que les estimateurs Z²-REP², Z²-SPR et Z²-SPRP convergent vers la valeur 0,8 et l’estimateur Z²- MPR converge vers la valeur 0,65. La prise en compte d’un facteur correctif de 1,25 pour les estimateurs Z2- REP² et Z²-SPRP permet d’améliorer leur fiabilité. En terme de réponse à la précision consigne nous avons noté la meilleure efficacité avec Z²-REP². Dans le cas de l’estimateur Z²-MPR, le facteur correctif obtenu à partir des maillages réguliers ne semble pas fiable pour les maillages irréguliers. Malgré la correction introduite, cet estimateur a toujours tendance à sous-estimer l’erreur même s’il s’avère tout aussi performant en tant qu’indicateur d’erreur pour piloter le raffinement du maillage. Après avoir étudié la fiabilité des estimateurs d’erreur, nous avons développé une procédure d’optimisation de maillage fiable et robuste pour les problèmes de mise en forme et les problèmes évolutifs de manière générale. Celle-ci est pilotée par un estimateur d’erreur et permet de construire des maillages optimaux, soit au sens de la précision souhaitée, ou au sens de la taille du problème. La validation de cette procédure sur différents types de problèmes industriels (forgeage, filage, poinçonnement) a permis de mettre en évidence sa robustesse et son aptitude à contrôler la précision de la simulation numérique ainsi que la nécessité d’un tel outil dans un code de calculs éléments finis. D’autre part, nous avons souligné l’efficacité de l’estimateur Z² qui semble être très sensible aux phénomènes physiques dans un procédé de mise en forme tels que les contacts entre la pièce et les outils, les concentrations de contrainte et des taux de déformation, les couches de cisaillement, etc.
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Table des matières
Introduction générale
Chapire 1 Problème mécanique: formulation et méthode de résolution
1.1 Modélisation mécanique du forgeage
1.1.1 Équation de l’équilibre dynamique
1.1.2 Équation de l’incompressibilité
1.1.3 Les conditions aux limites
1.1.4 Les lois de comportement
1.1.4.1 Lois rhéologiques
1.1.4.2 Lois de frottement
1.1.5 Le problème mécanique à résoudre
1.2 Discrétisation du problème mécanique
1.2.1 Formulation faible
1.2.2 Discrétisation spatiale
1.2.3 Discrétisation temporelle
1.2.4 Traitement du contact
1.3 Résolution numérique du problème discret
1.4 Remaillage et transport des variables
1.4.1 Transport P1
1.4.2 Transport P0
Chapitre 2 Estimation d’erreur
2.1 Introduction
2.1.1 Définition de l’erreur
2.1.2 Mesure de l’erreur
2.2 Méthodes d’estimation d’erreur
2.2.1 Estimation d’erreur a priori
2.2.2 Estimation d’erreur a posteriori
2.2.2.1 Problème d’élasticité linéaire
2.2.2.2 Efficacité d’un estimateur d’erreur
2.2.2.3 Estimateurs d’erreur basés sur le calcul des résidus des équations d’équilibre et les sauts des contraintes aux frontières des éléments
2.2.2.4 Estimateurs d’erreur basés sur le concept de l’erreur en relation de comportement
2.2.2.5 Estimateurs d’erreur basés sur la comparaison à une contrainte continue
2.2.2.6 Choix d’un estimateur pour la mise en forme
Chapitre 3 Maillage et adaptation
3.1 Introduction
3.2 Méthodes de génération de maillage d’un domaine à partir du maillage de sa frontière
3.2.1 Méthode frontale
3.2.2 Méthode de type Octree
3.2.3 Méthode de type Delaunay
3.2.3.1 Définitions
3.2.3.2 Méthode de maillage de Delaunay
3.2.4 Méthode de maillage par optimisation topologique
3.2.4.1 Topologie de maillage
3.2.4.2 Critère de volume minimal
3.2.4.3 Génération de maillage par le mailleur topologique
3.2.4.4 Remaillage de la surface et couplage avec le volume
3.2.4.5 Adaptation de maillage : carte de taille
3.3 Techniques d’adaptation de maillage
3.3.1 h- adaptation
3.3.2 r-adaptation
3.3.3 p-adaptation
3.3.4 hp-adaptation
3.4 Stratégies d’optimisation du maillage
3.4.1 Stratégie d’optimisation pour une précision imposée
3.4.2 Stratégie d’optimisation pour un nombre d’éléments maximal imposé
3.5 Traitement de la singularité du problème
3.5.1 Identification des singularités et calcul des taux de convergence réels
3.5.2 Atténuation de l’effet de la singularité par itérations de maillages adaptatifs
Chapitre 4 Techniques de recouvrement
4.1 Introduction
4.2 Technique SPR (Superconvergent Patch Recovery)
4.2.1 Principe de la technique
4.2.2 Recouvrement des contraintes par la technique SPR
4.2.3 Recouvrement SPR sur la frontière du domaine
4.2.4 Technique SPR améliorée
4.2.5 Synthèse
4.3 Technique des différences finies locales
4.3.1 Principe de la technique
4.3.2 Définition du voisinage différences finies
4.3.3 Synthèse
4.4 Technique MPR (Minimal Patch Recovery)
4.4.1 Principe de la technique
4.4.2 Recouvrement MPR sur la frontière du domaine
4.4.3 Synthèse
4.5 Technique REP (Recovery by Equilibrium in Patches)
4.5.1 Principe de la technique
4.5.2 Recouvrement REP sur la frontière du domaine
4.5.3 Technique REP modifiée
4.5.4 Technique REP améliorée : REP2
4.5.5 Synthèse
4.6 Conclusions
Chapitre 5 Estimateurs d’erreur de type Z² : évaluation et étude d’efficacité
5.1 Introduction
5.2 Efficacité des estimateurs d’erreur en élasticité
5.2.1 Présentation du problème d’élasticité étudié
5.2.2 Étude numérique
5.2.2.1 Tests de convergence de la méthode des éléments finis
5.2.2.2 Choix du nombre de voisins pour le recouvrement LO
5.2.2.3 Etude locale
5.2.2.4 Etude globale
5.2.2.5 Application à l’adaptation de maillage et comparaison des estimateurs
5.2.2.6 Synthèse
5.3 Efficacité des estimateurs d’erreur en viscoplasticité
5.3.1 Présentation des problèmes de viscoplasticité étudiés
5.3.1.1 Problème 1 : écrasement d’un lopin cubique entre tas plats
5.3.1.2 Problème 2 : filage d’une barre
5.3.2 Étude numérique
5.3.2.1 Étude locale
5.3.2.2 Étude globale
5.3.2.3 Application à l’adaptation de maillage et comparaison des estimateurs
5.3.2.4 Synthèse
Chapitre 6 Remaillage adaptatif : applications
6.1 Introduction
6.2 Vers une stratégie d’optimisation fiable pour la mise en forme des matériaux
6.3 Applications
6.3.1 Forgeage d’un triaxe
6.3.1.1 Remaillage adaptatif dans la pièce à forger
6.3.1.2 Remaillage adaptatif dans la pièce et les outils
6.3.2 Forgeage d’un engrenage
6.3.3 Filage à travers une filière ellipsoïdale
6.3.4 Forgeage du panneau de commande d’ouverture du train avant d’un avion (A 320)
6.3.5 Problème de poinçonnement d’une tôle
Conclusions et perspectives
Annexes
Bibliographie
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