Essais de traction-torsion sur élastomères

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Sollicitations subies par une suspension moteur

Les conditions d’usage

Afin de définir l’enveloppe de sollicitations à prendre en compte sur la pièce, des essais sur véhicule ont été menés. Les essais ont eu lieu sur les pistes du Centre Technique de Lardy (Essonne), où plusieurs conditions d’usage ont été testées. Ces conditions sont appelées tronçons. Parmi ces conditions, on distingue les sollicitations venant de la route, les sollicitations de mise sous couple et les sollicitations liées aux situations de roulage. Au total, 27 tronçons ont été réalisés. Dans la suite, chaque tronçon est nommé par son numéro.

Analyse des débattements du tampon moteur

Dans un premier temps, il est nécessaire de calculer les déplacements du GMP. Pour cela, des capteurs de déplacement polaires ont été disposés sur chacune des pièces de liaison des trois suspensions moteur. La figure I.1.3 montre l’instrumentation du tampon moteur, avec un capteur polaire fixé d’un côté à la caisse, et de l’autre à la coiﬀe. Les déplacements mesurés sont projetés dans le repère véhicule. Il s’agit des déplacements mesurés après avoir fixé le moteur aux suspensions. Ceux-ci ne prennent donc pas en compte le déplacement dû à la précharge du poids du moteur. L’hypothèse est faite que l’ensemble bloc moteur/pièces de liaison est un corps rigide. À partir des déplacements mesurés en trois points, le torseur cinématique en n’importe quel point du moteur par rapport à la caisse peut être calculé.
L’objectif est d’analyser les déplacements imposés à la partie élastomère. Il a donc été choisi de calculer les déplacements de l’interface coiﬀe/élastomère. Pour plus de sim-plicité, cette interface est traitée comme un parallélépipède rectangle rigide appartenant.

Construction d’un modèle adapté au cas de la précharge moteur

Objectif

L’objectif de cette première étape est de déterminer s’il est possible de simuler le comportement de la pièce lors de l’application de la précharge moteur (eﬀort de -900 N dans la direction Z, ce qui correspond à l’application du poids du moteur) pour un maillage correct, puis d’imposer les sollicitations sélectionnées précédemment. Le fichier source à disposition est une numérisation de la pièce.

Importation de la géométrie

l’aide du logiciel CATIA, deux fichiers ont été générés, contenant la partie élasto-mère avec les inserts et les inserts seuls. Ces deux fichiers sont importés dans le logiciel Abaqus. Une partie purement élastomère est créée en réalisant une coupe de l’intersection de la géométrie provenant des deux fichiers. Enfin, les parties latérales du caoutchouc sont rabotées sur 1 mm afin de rendre visibles les inserts. Les deux parties sont repré-sentées sur la figure I.1.5.

Modélisation des inserts

Il a été choisi de ne pas prendre en compte les frottements entre les surfaces du caou-tchouc et des inserts, mais de les lier complètement. Cette simplification permet d’éviter les problèmes de contact en fusionnant les régions sélectionnées, et ce même si leurs maillages sont diﬀérents. Les inserts étant la partie la plus raide, ceux-ci sont désignés comme surfaces maîtres alors que les surfaces esclaves seront celles de l’élastomère. Afin de diminuer le temps de calcul et puisque le comportement des inserts ne rentre pas dans l’objet de l’étude, ils seront considérés comme des corps rigides. Pour cela, la partie inserts est définie comme un solide 3D déformable à l’importation, puis une contrainte de corps rigide est ajoutée sur les éléments des inserts. Ainsi, le mouvement des trois parties des inserts en acier (partie centrale et les deux pieds) est contraint par le mouvement de son point de référence : les positions relatives de chaque région restent constantes. La loi de comportement utilisée est celle d’un matériau élastique linéaire avec un module d’Young E = 210 GPa et un coeﬃcient de Poisson ν = 0, 3.

Modélisation de l’élastomère

En ce qui concerne l’élastomère, une loi de comportement très simple est choisie, à savoir une loi élastique linéaire. En eﬀet, le premier objectif est de définir un maillage correct, le temps de calcul doit être faible afin de pouvoir optimiser la taille du maillage ainsi que le type d’éléments. Les paramètres choisis sont un module d’Young E = 6 MPa et un coeﬃcient de Poisson ν = 0, 4995. Cette valeur, très proche de 0,5 permet de se placer dans l’hypothèse d’incompressibilité tout en assurant une convergence du calcul rapide.

Conditions aux limites

L’étrier en aluminium n’est pas modélisé dans cette étude préliminaire ; seule sa fonction de limitation des débattements est prise en compte via les conditions aux limites, alors que les frottements étrier/caoutchouc sont négligés. Les surfaces inférieures des pieds sont encastrées, Les extrémités des butées X sont bloquées dans la direction X , et les déplacements ou eﬀorts sont imposés sur le point de référence RP , qui contrôle le mouvement de la partie centrale des inserts. Les conditions au limites sont représentées sur la figure I.1.6.

Maillage

Ensuite, les inserts sont maillés le plus grossièrement possible que le permet la contrainte de liaison avec l’élastomère, car on ne s’intéressera pas à leur déformation. Les éléments utilisés sont des tétraèdres linéaires C3D4. Après plusieurs tentatives infruc-tueuses pour obtenir un maillage correct sur l’ensemble de la pièce élastomère, il apparaît que plusieurs zones posent problème pour la convergence du calcul. En eﬀet, certaines zones présentent de fortes discontinuités. La discontinuité obtenue sur une grandeur (composante de déformation ou de contrainte, invariants) est la diﬀérence la plus élevée de valeur de cette grandeur évaluée aux nœuds qui sont communs à deux éléments ou plus. La figure I.1.7 montre un exemple de valeurs de discontinuités pour la contrainte de Von Mises. Il a été décidé d’ignorer les discontinuités et problèmes de convergence dans ces zones. En eﬀet, l’objectif ici est de modéliser la pièce par un modèle de type ressort non linéaire. Il est donc pertinent de se focaliser sur les parties les plus massives de la pièce, qui lui confèrent une grande partie de sa raideur.

Précharge de l’étrier et du moteur

La figure I.2.1 montre la déformée de la pièce après l’application des précharges étrier et moteur. La valeur de K3 à -0,96 au cœur des deux bras signifie que ceux-ci sont principalement sollicités en compression, puisque K3 est proche de -1 et qu’ils sont également soumis à un peu de cisaillement. L’amplitude de déformation dans cette zone est modérée, avec K2 = 0,37. Suite à la précharge de l’étrier, les deux butées X sont soumises à de la compression associée à du cisaillement et l’amplitude de déformation est très faible puisque K2 = 0,05. Les butées Z restent non déformées.
Il peut également être intéressant d’observer l’évolution de K2 et de K3 au cours du chargement. La figure I.2.2 montre ainsi l’évolution des deux invariants relevés au cœur d’un des bras, en fonction de la consigne en déplacement vertical U3 appliqué au point central de la pièce. Sur cette figure, il apparaît que K3 décroît très rapidement, puis reste constant. Cela signifie que le mode de déformation, à savoir ici de la compression avec un faible cisaillement, est le même pendant toute l’application de la précharge. L’amplitude de déformation, quantifiée par K2 évolue quant à elle linéairement avec le déplacement global.

Équations de la traction-torsion quasi-statique et iso-chore d’un cylindre

Les équations décrivant la traction-torsion quasi-statique d’un cylindre sont large-ment utilisées depuis Rivlin et Saunders (1951). La figure II.1.1 présente les diﬀérentes notations de la traction-torsion d’un cylindre homogène, dans la configuration non défor-mée (à gauche) et déformée (à droite). Dans notre cas d’étude, le matériau est considéré comme incompressible. Ainsi, toute transformation est supposée isochore (le volume reste constant).
Un cylindre homogène de longueur et rayon initiaux L et A est considéré. Dans la configuration initiale (C0 ), un point M du cylindre non déformé est repéré par ces coordonnées (R, Θ, Z) dans le repère cylindrique initial (eR, eΘ, eZ ). La transformation consiste en un déplacement axial u dans la direction eZ et un angle de torsion φ autour du même vecteur, appliqué sur la surface supérieure Ssup alors que la surface inférieure Sinf est maintenue et la surface latérale Slat est libre. La longueur et le rayon du cylindre déformé sont notés l et a respectivement. Par cette transformation, le point M devient M ′ , dont les coordonnées sont (r, θ, z) dans le repère cylindrique déformé (er , eθ , ez ). Le déplacement de M à M ′ est décrit par R r = √λ , θ = Θ + τ Z , z = λZ, (II.1.1)

Par stéréo-corrélation d’images

Face aux limitations rencontrées par l’utilisation du calcul numérique, nous décidons de considérer le problème d’un point de vue expérimental : comment déterminer la relation entre des grandeurs globales, à savoir des déplacements axiaux et des angles imposer sur la surface supérieure de l’éprouvette, et des grandeurs locales liées à la déformation, à savoir l’extension et l’angle par unité de longueur ? Alors que les grandeurs globales sont imposées par le biais de la machine et donc connues, la résolution du problème peut être décomposé en trois étapes :

Mesurer le champ de déformation local correspondant à plusieurs couples de dé-placement et d’angle dans la zone cylindrique de l’éprouvette ;

En se basant sur la solution analytique du cylindre parfait, extraire les valeurs de λ et τ ;

Déterminer précisément la zone de l’éprouvette dans laquelle ces valeurs de λ et τ peuvent être considérées comme uniformes, ce qui conduit à définir la partie de l’éprouvette qui peut être assimilée à un cylindre parfait.

Concernant le premier point, plusieurs méthodes expérimentales basées sur l’optique existent. Ces méthodes peuvent être regroupées en deux catégories, à savoir les mé-thodes basées sur l’interférométrie, comme par exemple la photoélasticimétrie ou l’in-terférométrie speckle (ESPI), et les méthodes géométriques, parmi lesquelles s’inscrivent la méthode des grilles et la corrélation d’images numériques (pour des détails sur ces diﬀérentes méthodes, se référer par exemple à Cloud (1998) et Vautrin et al. (2002)). Dans notre étude, nous nous focaliserons sur la corrélation d’images. La corrélation d’images est une méthode expérimentale qui permet de déterminer le champ de dépla-cement d’un ensemble de points d’une surface plane en corrélant deux images de cette même surface, avant et après transformation. La stéréo-corrélation d’images permet de mesurer un champ de déplacement en 3D à l’aide de deux caméras. Dans notre étude qui concerne les déplacements à la surface d’un cylindre, il s’agit en fait d’un champ 2D hors plan. Pour plus de détails sur le principe de la stéréo-corrélation, se référer à Orteu (2009). La mise en place de ces essais est plutôt complexe dû à la combinaison des grandes déformations et de la multiaxialité (voir par exemple Chevalier et al. (2001) et Sutton et al. (2008)). Dans cette partie, nous allons d’abord présenter la démarche expérimentale, puis le post-traitement permettant d’obtenir λ et τ , avant de discuter les résultats obtenus.

Mise en place expérimentale

Calibration La stéréo-corrélation d’images requiert une première étape de cali-bration, afin que le logiciel (nous utilisons DaVis de LaVision) connaisse les positions relatives des deux caméras et de la zone à filmer. Pour cela, une plaque de calibration est utilisée. Cette plaque carrée présente des marches en profondeur et des pastilles blanches régulièrement espacées. Une image de la plaque est acquise par chacune des caméras, qui sont réglées avec des paramètres identiques. Le logiciel requiert alors que l’utilisateur pointe trois pastilles identiques sur chacune des vues, et connaissant la répartition des pastilles sur la plaque, il détecte toutes les pastilles. Grâce à ces informations, le logiciel calcule la relation entre les coordonnées (X ,Y ,Z) des points dans le repère cartésien global défini par les directions de la plaque de calibration et ces coordonnées dans les repères du plan de référence de chacune des caméras : (X1, Y1 ) et (X2, Y2) (cf. figure II.1.16).

Suivi du déplacement L’étape suivante consiste en la reconstruction de la sur-face initiale en 3D. Un mouchetis est d’abord réalisé sur l’éprouvette, à l’aide de peinture blanche (figure II.1.17). Deux caméras (des FASTCAM SA1 et APX de Photron) filment l’éprouvette pendant qu’un déplacement et un angle lui sont appliqués. Les deux vues de la première image (avant sollicitations) sont analysées en termes de niveaux de gris. Une correspondance entre les deux images est alors réalisée pour reconstituer une image 3D, discrétisée en une grille dont les coordonnées (x,y) et la hauteur de surface z des points dans le repère global sont connus. Cette correspondance est réalisée pour chacune des séquences suivantes (éprouvette sous sollicitations). La position des points à la séquence i+1 est comparée à celle des points de la séquence i, ce qui permet de calculer le champ de déplacement (calcul réalisé par le logiciel). Les premiers résultats obtenus sont peu probants : la zone de l’éprouvette sur laquelle des points sont reconnus et suivis est peu étendue, et ces points ne sont pas suivis jusqu’à la fin de l’essai (pour de grands dépla-cements et angles). Il est donc décidé de lister d’une part les paramètres expérimentaux influençant la qualité de l’image et d’autre part les paramètres du calcul de corrélation. Du point de vue expérimental, les paramètres sont principalement la taille, la répartition et la nature (talc ou peinture) du mouchetis ; la qualité de l’éclairage (notamment l’in-tensité) ; l’angle entre les caméras ; l’éloignement des caméras par rapport à l’éprouvette et le nombre d’images acquises lors de la calibration avec des inclinaisons de la plaque diﬀérentes. Du point de vue du calcul de corrélation, il est possible de faire varier le mode de corrélation (slow/medium/accurate) ; le choix de l’image de référence (la première, la précédente ou les k-ième précédentes) ; la distance entre le centre de chaque maille (step) et la taille de chaque maille (window size). Après avoir fait varier indépendamment les paramètres dans chacune des catégories, il est apparu que la méthode la plus adaptée est la suivante : Accommoder l’éprouvette (5 cycles de charge/décharge à la sollicitation maxi-male, tous les essais sont réalisés à 10−3 s−1) ;

Apposer le mouchetis à l’aide d’une bombe de peinture blanche, de manière à obtenir un mouchetis fin et resserré ;

Positionner grossièrement les caméras avec un angle entre elles assez faible (entre 20◦ et 30◦ ). Cet angle est l’objet d’un compromis. En eﬀet, d’une part un grand angle entre les caméras permet d’augmenter la surface de l’éprouvette filmée, et donc le nombre de points suivis mais aussi l’angle maximum qui peut être appliqué à l’éprouvette sans que la majorité des points filmés initialement sortent du champ couvert par les caméras ; d’autre part, un angle faible entre les caméras permet d’augmenter la zone de l’éprouvette qui est filmée simultanément par les deux caméras, ce qui va dans le sens d’une meilleure corrélation d’images ;

La distance entre les caméras et l’éprouvette est réglée de telle manière à pouvoir faire le point et pour que le haut de la partie cylindrique soit à la limite du champ des caméras après déformation ; Opter pour un éclairage puissant (attention cependant à ce qu’il ne soit pas trop près de l’éprouvette pour éviter qu’il n’induise une augmentation de température non négligeable). L’inclinaison des deux caméras est réglée à l’aide d’un niveau, afin que leurs faces soient parfaitement horizontales et verticales ;

Eﬀectuer un zoom important de l’image à l’aide du logiciel d’acquisition, et faire la mise au point pour que l’image soit la plus nette possible ;

Poser un petit repère temporaire sur l’éprouvette, et régler finement l’angle entre les deux caméras de manière à ce que le repère soit au centre des deux images ;

Lancer le chargement de l’éprouvette et l’acquisition avec des paramètres adaptés au temps d’essai, tout en assurant un contraste et une résolution satisfaisants ;
Démonter l’éprouvette, placer la plaque de calibration au niveau des mors de la machine. Plusieurs vues de la plaque sont à acquérir, d’abord précisément droite, puis inclinées dans diﬀérentes directions. Eﬀectuer la calibration après avoir filmé l’éprouvette sous chargement permet de régler tout le montage expérimental pré-cisément par rapport à l’éprouvette, puis d’acquérir les images de calibration avec exactement le même montage.

Notons qu’il est absolument requis que les mors de la machine soient parfaitement alignés, ce qui n’était pas le cas aux débuts de nos essais et résultait en une reconstruction de cylindre largement incliné, puisque l’éprouvette était réellement inclinée. Concernant les paramètres du calcul de corrélation, un réglage avec un mode de calcul medium en eﬀectuant des sommes de diﬀérentielles (c’est-à-dire l’image actuelle est comparée avec l’image précédente), un pas de grille resserré accompagné d’une taille de maille assez large conduit à des résultats satisfaisants.

Post-traitement

Les données récupérées (coordonnées des points initiaux et déplacements dans les trois directions) doivent être filtrées avant de calculer les extensions λ et angles par unité de longueur τ locaux. Le post-traitement a été eﬀectué avec le logiciel Matlab.

a) Post-traitement du cylindre de référence La corrélation est eﬀectuée sur la zone cylindrique de l’éprouvette. Or, il apparaît que la reconstruction de l’image 3D n’est pas parfaitement cylindrique, ce qui est dû à une imprécision de la mesure, concentrée principalement sur les points les plus éloignés du centre de l’image, puisque soit ils ne sont filmés que par une caméra, soit ils se trouvent au bord de l’image de la seconde caméra, où la netteté est moindre. Il faut également retirer les points qui ne font pas partie du cylindre. La figure II.1.18 montre les données brutes, puis les points après ce premier filtrage. Y est la coordonnée verticale, Z est la coordonnée en profondeur (hauteur de surface). Ensuite, on cherche les caractéristiques du cylindre parfait qui passe par ces points. Pour cela, on calcule le rayon optimal R et les coordonnées (X0, Z0 ) du centre du cercle qui permettent, à partir des coordonnées Xexpe des points, d’approcher au mieux leurs coordonnées Zexpe par la valeur Zoptim : Zoptim = R2 − (Xexpe − X0 )2 − Z0 . (II.1.41).

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Table des matières

Introduction générale
I De la problématique industrielle à la problématique scientifique
1 Problématique industrielle
1.1 Présentation du système étudié
1.1.1 La suspension moteur
1.1.2 Les enjeux de la problématique industrielle
1.1.3 Caractéristiques du tampon moteur
1.2 Sollicitations subies par une suspension moteur
1.2.1 Les conditions d’usage
1.2.2 Analyse des débattements du tampon moteur
1.3 Modèle éléments finis du tampon moteur
1.3.1 Construction d’un modèle adapté au cas de la précharge moteur
1.3.2 Adaptation du modèle pour des chargements verticaux plus sévères
2 Analyse des déformations subies par un tampon moteur 21
2.1 Un outil original de compréhension de l’état de déformation : des invariants bien choisis du tenseur des déformations vraies
2.2 Méthode
2.3 Résultats
2.3.1 Précharge de l’étrier et du moteur
2.3.2 Tronçon 10
2.3.3 Tronçon 23
2.3.4 Tronçon 14
2.4 Bilan
II Essais de traction-torsion sur élastomères
1 Méthodologie expérimentale de la traction-torsion sur élastomère
1.1 Équations de la traction-torsion quasi-statique et isochore d’un cylindre
1.2 Conception de l’éprouvette
Remerciements
1.2.1 Les contraintes de conception
1.2.2 Étude préliminaire
1.2.3 Géométrie finale
1.2.4 Bilan
1.3 Calcul de l’extension et de l’angle par unité de longueur équivalents
1.3.1 Par simulation éléments finis
1.3.2 Par stéréo-corrélation d’images
1.3.3 Comparaison entre les résultats numériques et expérimentaux
2 Post-traitement des essais de traction-torsion sur élastomère
2.1 Quelles grandeurs choisir pour identifier une loi de comportement hyper-élastique à partir d’essais de traction-torsion ?
2.1.1 Calcul des dérivées de l’énergie de déformation
2.1.2 Résultats
2.1.3 Discussion
2.1.4 Bilan
2.2 Post-traitement des essais cycliques
2.2.1 Post-traitement des déplacements et angles : linéarisation de la déformation
2.2.2 Post-traitement des efforts et couples
2.2.3 Quelles grandeurs choisir pour identifier une loi viscoélastique linéarisée pour des oscillations autour d’une grande précharge quasistatique multiaxial
2.2.4 Bilan
3 Résultats des essais de traction-torsion 109
3.1 Description de la campagne d’essais
3.1.1 Accommodation
3.1.2 Essais quasi-statiques
3.1.3 Essais cycliques
3.1.4 Bilan
3.2 Essais quasi-statiques
3.2.1 Base de données et répétabilité
3.2.2 Observations classiques sur les courbes de traction-torsion quasistatique
3.2.3 Influence du chemin suivi
3.2.4 Contraintes expérimentales
3.2.5 Dérivées de l’énergie de déformation expérimentales
3.3 Essais cycliques autour d’une précharge
3.3.1 Base de données et incertitudes
3.3.2 Comportement dynamique en fonction de la fréquence et de l’amplitude
3.3.3 Comportement dynamique en fonction de la précharge . .
III Modélisation
1 Modélisation du comportement quasi-statique en traction-torsion
1.1 Les modèles hyperélastiques
1.1.1 Les modèles physiques
1.1.2 Les modèles phénoménologiques
1.1.3 Bilan
1.2 Méthode d’identification des paramètres des trois modèles hyperélastiques sélectionnés
1.2.1 Choix du nombre de paramètres
1.2.2 Procédure d’identification
1.3 Résultats
1.3.1 Résultats sur la base de données d’identification
1.3.2 Résultats sur les autres essais en traction-torsion simultanées
2 Modélisation du comportement sous chargement cyclique superposé à une précharge statique
2.1 Les modèles viscoélastiques
2.1.1 L’approche intégrale
2.1.2 L’approche par variables internes
2.1.3 Une caractéristique commune entre certains modèles des deux approches
2.2 Les modèles de Zener et de Poynting-Thomson en grandes déformations
2.2.1 Décomposition multiplicative des deux modèles
2.2.2 Relation contrainte/déformation pour le modèle de Zener
2.2.3 Relation contrainte/déformation pour le modèle de Poynting-Thomson
2.3 Linéarisation de modèles viscoélastiques
2.3.1 Méthode de linéarisation
2.3.2 Linéarisation du modèle de Zener
2.3.3 Linéarisation du modèle de Poynting-Thomson
2.3.4 Bilan
2.4 Identification des paramètres des modèles
2.4.1 Les paramètres du modèle de Zener
2.4.2 Les paramètres du modèle de Poynting-Thomson
2.5 Résultats
2.5.1 Prédiction des efforts et couples de la précharge
2.5.2 Prédiction des efforts et couples des oscillations
IV Validation du modèle
1 Adaptation de la modélisation pour l’application numérique
1.1 Méthode d’adaptation
1.1.1 Les modèles existants dans Abaqus
1.1.2 Définition de la loi viscoélastique
1.1.3 Analyse de la loi de comportement adaptée à l’utilisation d’Abaqus avec précharge
1.2 Résultats sur éprouvette
1.2.1 En statique
1.2.2 En cyclique
2 Validation du modèle éléments finis de la pièce de suspension moteur245
2.1 En statique
2.1.1 Déplacement en Z
2.1.2 Déplacement en X
2.1.3 Bilan
2.2 En cyclique
2.2.1 Oscillations en Z autour de la précharge
2.2.2 Oscillations en X autour de la précharge
2.2.3 Sollicitations cyclique des butées X seules
2.2.4 Bilan
Conclusion générale
Références bibliographiques