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Problématique du comblement sédimentaire
Les lacs sont des systèmes dynamiques complexes qui interagissent avec le milieu environnant et qui sont reliés au cycle de l’eau par les écoulements, issus des eaux de surface ou souterraines auxquelles il faut associer les flux liés aux précipitations ou à l’évaporation. Les constituants chimiques et les phases minérales transportés du bassin versant vers les lacs via les eaux de surface ou souterraines font également partie de ce système. Leurs comblements sédimentaires ont pour origine les apports sédimentaires liés au bassin-versant, notamment des fleuves. Lors de leur entrée dans le lac, ils peuvent se disperser dans la masse d’eau ou bien sédimenter immédiatement près de l’embouchure et des berges. L’apport sédimentaire via les cours d’eau est une des causes les plus évidentes du comblement des lacs.
Lors des précipitations, les matériaux sont érodés des sols et des roches du bassin versant, puis transportés vers des lacs ou autres cours d’eau. Le transport s’effectue principalement par les cours d’eau. Cependant les matériaux peuvent aussi être entraînés directement par les ruissellements aux abords des lacs.
Les dynamiques éoliennes par contre se répartissent en deux phénomènes : d’une part, les apports sédimentaires éoliens qui vont participer directement au comblement des lacs et d’autre part la redistribution des sédiments dans les lacs sous l’effet des courants et houles induit par les vents.
Le transport solide des sédiments constitue donc un flux de matières qui participe activement à la dynamique biophysique de l’écosphère continentale environnant.
Un bref aperçu historique
L’étude du transport des sédiments a pris de l’ampleur à la fin du dix-neuvième siècle. Dans la première partie du vingtième siècle, UC Berkeley est devenue un haut lieu de la connaissance en matière de transport sédimentaire. À l’époque, les activités de recherche (en particulier menées par Karl Gilbert [48],[49]) portaient surtout sur les sédiments de type sable. Elles étaient motivées par des questions opérationnelles liées au fonctionnement hydro-sédimentaire de la baie de San Francisco et du delta de la Sacramento-San Joaquin River.
Les travaux pionniers concernant la modélisation des sédiments fins ont été menés à UC Berkeley (dans les années 1940) par Hans Einstein ( le fils d’Albert) et ses étudiants ([32]).
Depuis les années 60, avec l’avènement de l’informatique, de nombreux modèles mathématiques et numériques ont été développés. Ils se sont tout d’abord intéressés aux écoulements monodimensionnels afin d’étudier la propagation de la marée et des crues. Ces modèles fournissent la vitesse moyenne sur la section et la hauteur d’eau.
Avec les modèles horizontaux de Saint-Venant (Cole et Miles [24], Nguyen K.D.[81]) et verticaux (De Borne de Grandpré [27]), la structure de l’écoulement a pu être décrite de manière plus générale. La production qui passe aujourd’hui pour être le fondement de la simulation hydro-sédimentaire moderne, a été le travail de R. Krone et de Ariathurai R.(cf [6]) qui ont mis au point une modélisation à plusieurs couches de sédimentsdéposés (l’article de revue de Mehta et al. ([73]) est une synthèse de ces modèles et méthodes). Enfin, depuis les années 80, les modèles tridimensionnels ont permis de simuler les problèmes les plus généraux. Parmi ces modèles nous pouvons citer POM ( Blumbert [15]), ECOMOD3D (Nguyen [81]), TELEMAC3D ( Janin et al. [46]), SAM3D (Cugier [25]).
État de l’art des modèles classiques du transport sédimentaire
Modèles d’évolution des fonds
Essentiellement, il existe deux types de modèles de transport sédimentaire : les modèles de transport de sédiments par charriage et les modèles liant charriage et suspension.
Modèle de transport de sédiments par charriage
Les modèles de charriage sont adaptés au transport de sédiments constitués des particules grosses et denses (de type sable). Pour résumer, ils expriment que la variation d’altitude du fond en un point est liée à un flux de sédiments autour de ce point.
Une traduction de ce principe en termes d’équations aux dérivées partielles aboutit à considérer le champ Z (t, x, y ) désignant l’altitude du fond au point (x, y) à l’instant tet le débit solide total. Le champ Z est alors solution d’une équation de type :
Modèles physiques pour la description des fonds sédimentaires
Les modèles décrivant l’évolution des fonds doivent fournir aux modèles hydrodynamiques la bathymétrie et la rugosité de ceux-ci. Ils doivent également expliquer comment les sédiments sont transportés dans des colonnes d’eau, par l’intermédiaire d’un modèle de mise en suspension de la quantité des sédiments provenant du fond.
Ces types de modèles sont utilisés par Lumborg ([62]), Soltanpour et Jazayeri ([101]).
Les modèles des fonds décrivent l’évolution temporelle en chaque point (x, y) de trois quantités : la bathymétrie b(t,x,y), le coefficient de frottement Cb (t, x, y ) et la contrainte de cisaillement τ mes(t, x, y ) à partir de laquelle le sédiment est remis en suspension.
Modèle de transport utilisant la vitesse de sédimentation
L’évolution de la densité C de masse de sédiments peut faire appel à un modèle tridimensionnel ou à un modèle bi-dimensionnel. Un modèle tridimensionnel décriral’évolution de la densité de masse de sédiments C (t,x,y,z) en un point (x, y, z) à un instant t tandis que que celle d’un modèle bi-dimensionnel est décrite et un point (x,y) moyennée sur la hauteur d’eau à un instant t.
Conclusion
Les sédiments présents dans les lacs ont des caractéristiques particulières induisant une formation ou déformation des fonds atypiques par leurs aspects cohésifs ou non et biogéniques. L’interface eau/sédiment est caractérisée par la présence des sédiments de différents types de grains et parfois d’une couche de vase fluide organique. La dynamique de cet interface semble être dépendante des flux de sédiments aux bords, des coups de vents, courants et vagues, du taux d’érosion lié à la tectonique des fonds pouvant remettre en suspension les sédiments, des phénomènes d’origine climatique (précipitation, ruissellement, infiltration), de la pente et rugosité des fonds et aussi de la dynamique active de la faune et flore benthique . Ainsi, une fois déposés, les sédiments sont rapidement colonisés par des organismes benthiques végétaux ou animaux plus ou moins fouisseurs. L’évolution des fonds sédimentaires dépendra des caractéristiques mécaniques des sédiments déposés lesquels dépendent de l’intensité de ces perturbations. Les caractéristiques listées ci-dessus sont actuellement peu modélisées et même souvent malcomprises. Il semble donc difficile de les prendre en compte de manière fine dans un modèle hydro-sédimentaire d’évolution des fonds des lacs. Ainsi, un tel modèle pourra difficilement décrire ou reproduire de manière qualitative le comportement du fond. Cependant, les phénomènes décrits ci-dessus ont sans doute une action résultante à long terme importante sur la morphologie du fond. Donc pour répondre aux questions de type : les lacs sont-ils sensibles aux phénomènes de sédimentation ? sont-ils arrivés à un état d’extinction ?
Construction d’un modèle de sédimentation à long terme
Les modèles mathématiques de sédimentation tels que conçus dans [44], [111] sontpour la plupart basés sur l’idée que la sédimentation se fait à travers la surface et neprennent pas en compte l’activité géologique du fond des lacs. Ils pâtissent en outre de la très faible prédictivité des propriétés d’extinction des lacs à long terme. En effet, l’action d’assèchement d’un lac peut se faire par ensablement ou comblement sédimentaire, par eutrophisation, et par une activité géologique des fonds. L’objectif de ce chapitre est donc de construire un modèle numérique d’évolution du fond sédimentaire d’un lac, à grande échelle de temps qui tient compte à la fois des aspects de sédimentation et de la tectonique du sol. À cet effet nous nous intéresserons aux différents modes de transport de sédiments au fond d’un lac et à la stratégie de mise en équations du comportement du fond sédimentaire sur une grande échelle de temps suivie d’un modèle numérique aux différences finies des processus sédimentaires sous les effets conjugués de la suspension et du charriage.
Mécanismes de transport solide
Il est bien connu dans la littérature ([11],[96],[106]) que l’alimentation d’un lac en sédiments a lieu essentiellement à partir de la surface et des bords. Il en résulte que la topographie du fond d’un lac repose donc en grande partie sur le flux de sédiments aux bords et en surface contrôlé par des processus externes ou internes (les activités géologiques et biochimiques de fond).
Les sédiments solides sont donc transportés et dispersés dans la masse d’eau. Ils alimentent le fond par un processus de dépôt et peuvent être mis en mouvement sur la surface du lit granulaire ou remis en suspension par un processus d’érosion du fond. Un lac reçoit de son environnement (ses bassins versants) une grande masse de sédiments destinée à former le fond sédimentaire selon différents modes de transport.
L’usage a conduit à distinguer différents modes de transport sédimentaire selon la nature des forces dominant la dynamique. Trois types de forces exercent sur les particules sédimentaires : les forces hydrodynamiques, la gravité et les forces de contact inter-particulaires.
Lorsque les forces hydrodynamiques dominent, les particules sédimentaires sont réparties en surface et dispersées dans la masse d’eau. Elles se déposent sur le fond par un processus de diffusion. C’est généralement le cas des sédiments fins (argile, silt etautres).
Lorsque la force de gravité est suffisamment grande, les particules sédimentaires sont confinées aux bords et migrent vers le fond par un processus d’advection. Ce type de processus concerne les sédiments grossiers (sables, galets, blocs rocheux, et autres). On distingue alors différents types de trajectoires. Lorsque les grains font des successions de saut, on parle de saltation, les forces dominantes sont alors la gravité et les forces hydrodynamiques. Lorsqu’au contraire l’écoulement entraîne les grains en roulement à la surface du fond avec des contacts de longue durée entre les grains, on parle alors de charriage ou de tractation. Les trois forces sont donc à l’oeuvre simultanément.
Enfin, lorsque le choc des grains en saltation sur le lit granulaire est suffisamment énergétique, il s’ensuit un déplacement des particules du lit que l’on nomme reptation. La reptation est donc un mode de transport dominé par les forcesde contact et de gravité.
Processus mis en jeu dans le transport sédimentaire
Le comportement des sédiments dans les lacs est influencé par de nombreux phénomènes. Lesparticules chutent, sédimentent et se déposent sur le fond où se produisent les processus de tassement et de consolidation. Lorsque l’agitation engendrée par les courants et les vagues est suffisante, les sédiments peuvent être remis en suspension ou érodés puis transportés dans l’eau. Au cours de ce transport, les sédiments cohésifs peuvent floculer pour former des agrégats modifiant ainsi leur chute. Mehta et al. ([71]) puis Parker R. ([84]) ont proposé un modèle conceptuel de la dynamique sédimentaire des lacs reliant les processus de dépôt – érosion – transport aux étapes spécifiques des vases ( Fig. 3.3). Les phénomènes hydrodynamiques tels que la marée, les vagues, le mélange des eaux douces et salées vont fortement influencer la dynamique sédimentaire.
Nous allons décrire succinctement ces différents processus.
La sédimentation est définie comme le processus de chute d’éléments solides (particules, flocons, agrégats, …) dans un liquide sous l’action de la pesanteur et des forces de frottement dues à la viscosité du fluide. Au cours de ce processus, les grains sont distants les uns des autres de sorte que les interactions directes entre les particules sont faibles tant que la distance interparticulaire est grande. Le transport en suspension des sédiments est assuré par l’advection, et la dispersion liée aux fluctuations turbulentesd’autre part. Lorsque l’intensité de la turbulence devient trop faible, les particulessédimentaires se déposent sur le fond (Eisma D.[33] ).
Conclusion
Dans ce chapitre, nous avons proposé un modèle numérique aux différences finies basé sur une approche non classique de modélisation des processus de transport solide.
Ce modèle a le mérite de prendre en compte les différents facteurs régissant l’évolution du fond sédimentaire connus aujourd’hui comme étant principalement :
– l’accommodation, distance entre le socle du fond et le niveau d’un lac ( résultante des mouvements tectoniques ou variation du niveau d’un lac), définissant l’espace disponible au remplissage des sédiments du fond ; prise en compte par le terme advectif (3.8) et la contrainte (3.12) du modèle numérique ;
– les apports en sédiments dans un lac sous forme de flux de sédiments aux frontières entrant d’un lac (apportés par les bassins versants, ou les points hauts du fond) oude termes sources de production en milieu ( production de sédiments pélagiques, etc.) pris en compte par l’équation (3.10) ;
– les facteurs climatiques ( précipitations, ruissellements, infiltrations, courants, vents, etc.), pris en compte par le terme diffusif (3.7) du modèle.
Notre modèle numérique offre l’opportunité d’implémenter une approche discrète du transport solide par charriage et suspension, et multi-échelles des flux solides, en termes de prédiction des réponses d’un lac aux forçages d’origine climatique et anthropique.
Le chapitre suivant donnera les éléments d’analyse du modèle numérique.
Formulation compacte
Il s’agit ici d’expliciter les termes du modèle numérique (3.9)-(3.10) en notation matricielle. L’introduction de ces matrices nous permettra de traduire le schéma discret dans un formalisme matriciel débouchant sur un algorithme de résolution sous forme matricielle plutôt qu’aux algorithmes utilisant des boucles « for » susceptibles d’alourdir tout programme de résolution en terme d’implementation et de temps de calcul.
Conclusion générale et perspectives
L’objectif principal de cette thèse a été la modélisation des phénomènes d’assèchement des lacs à travers une étude mathématique de processus de sédimentation. Deux axes d’actions ont sous-tendu les recherches entreprises.
• Il s’agit, d’une part, d’une contribution à l’élaboration d’un modèle mathématique d’évolution du fond sédimentaire d’un lac à grande échelle de temps. Ce modèle met en exergue les parts respectives du transport de sédiments non cohésifs (charriage dominant) et du transport de sédiments cohésifs (suspension) sur l’évolution morphologique du lit sédimentaire d’un lac.
• D’autre part, toute modélisation fidèle des processus de transport solide, notamment hydrosédimentaires, passe par une analyse théorique proprement dite. A cet effet des investigations approfondies au sujet des propriétés mathématiques du schéma modèle (3.9)-(3.11) sont menées. L’objectif ultime est d’élaborer un modèle capable d’expliquer un processus d’assèchement à long terme en mettant en exergue les parts respectives des transports par charriage et par suspension.
Synthèse des travaux effectués
Dans le chapitre 2, nous avons présenté un aperçu des principaux modèles actuels d’évolution morphologique d’un lit sédimentaire par l’apport extérieur de sédiments.
Ces modèles reposent sur une hypothèse d’équilibre local entre le dépôt de sédiments et le lit mobile. On suppose que le fond sédimentaire s’adapte instantanément aux variations du taux sédimentaire déposé. Ce chapitre se veut d’être un reflet des possibilités contemporaines d’établissement des équations mécanistes des modèles d’évolution morphologique des hydrosystèmes. De plus, ces modèles incluent tout type de processus de transport dans la phase liquide et permettent un couplage aisé avec l’équation d’Exner, afin de décrire un fond érodable.
Dans le chapitre 3, nous avons élaboré un modèle mathématique discret d’évolution d’un lit sédimentaire dans un contexte d’assèchement. Aucune hypothèse restrictive n’est introduite en ce qui concerne la répartition des champs inconnus selon la hauteur de fluide. L’éventail des phénomènes sédimentaires y est restreint aux écoulement où le transport solide par charriage et suspension de tous les granulats est dominant.
Ce choix a été guidé par l’ambition ultime du travail proposé. Dans ces conditions, où l’advection et la diffusion s’avèrent incontestablement dominante, les sédiments sont tous en mouvement. Dans le modèle, seul la hauteur du fond sédimentaire est variable en fonction du temps et ne depend que des coefficients de diffusion et d’advection qui peuvent être estimés par des techniques d’assimilation des données en s’appuyant sur des cas de figure d’intérêt pratique très généraux.
Notre apport à travers le modèle mathématique élaboré offre l’opportunité d’implementer une approche intégrée transport solide par charriage et suspension, et multiéchelle des flux solides en termes de prédiction des réponses d’un lac aux forçages
d’origine climatique et anthropique.
Dans le chapitre 4, nous avons établi des résultats d’existence et de l’unicité de la solution au sens faible du modèle proposé au chapitre 3. Ce chapitre nous a permis par un passage du modèle discret au continu – ce qui assure de fait la consistance du schéma numérique (3.9)-, de développer une technique d’étude de l’existence et de l’unicité de la solution faible du continu.
Une contribution à cet effet a été de développer une stratégie de construction d’une suite solution d’un système de Cauchy avec une condition initiale non nulle, dont la limite est solution faible du modèle de sédimentation. L’extinction en temps fini d’un lac a été déduite des conditions donnant une solution entropique.
Dans le chapitre 5, nous avons mené une étude sur la stabilité du modèle suivie d’un algorithme itératif de résolution en temps. En particulier, le chapitre 5 a permis d’établir des conditions (5.10) sous lesquelles le schéma modèle (3.9) proposé est stable.
Enseignements principaux
Les diverses orientations données aux recherches entreprises se distinguent par plusieurs éléments qui lui confèrent un caractère novateur. Nous les épinglons ici et nous synthétisons également les principaux enseignement qui ont pu être déduits des travaux réalisés.
Par rapport au modèle obtenu
Le niveau de généralité que nous avons développé découle notamment du souci systématique de ne tenir compte que de la hauteur du fond sédimentaire, tant dans la procédure d’établissement des équations discrètes de convection et de diffusion que lors de la dérivation du modèle par application de la loi de conservation de masses.
De plus, la méthodologie suivie ne postule aucune restriction sur la hauteur, ou sur le caractère mobile de la topographie du fond, ou encore de la présence de termes sources.
Ces deux derniers effets sont modélisés en tenant compte de leur influence sur les bilans de quantité de mouvement.
Par rapport à l’analyse mathématique
Une démarche non classique par rapport aux possibilités contemporaines se retrouve également aux stades ultérieurs d’analyse des propriétés mathématiques d’existence et d’unicité de la solution. À partir du discret, elle consiste à établir l’équivalent continu puis étudier l’existence et l’unicité au sens faible de l’équivalent continu. De plus, de part les similitudes entre toutes les demarches, un parallélisme parfait se retrouve aux stades d’analyse de la stabilité du schéma modèle mais la propriété d’extinction en temps fini est obtenue comme conséquence des conditions donnant une solutionentropique.
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Table des matières
Dédicaces
Rémerciements
Résumé
Abstract
Notations
1 Introduction générale
1.1 Contexte scientifique
1.2 Problématique du comblement sédimentaire .
1.3 Objectifs
1.4 Plan de la thèse
2 État de l’art
2.1 Introduction
2.2 Un bref aperçu historique
2.3 Principes des modèles mécanistes
2.3.1 Schémas conceptuels dans la stratégie de modélisation
2.3.2 Equations mécanistes de convection-diffusion
2.4 État de l’art des modèles classiques du transport sédimentaire
2.4.1 Modèles d’évolution des fonds
2.4.2 Modèles hydro-sédimentaires
2.4.3 Modèles physiques pour la description des fonds sédimentaires
2.4.4 Modèles d’interaction fond-fluide
2.4.5 Modèle de transport utilisant la vitesse de sédimentation
2.5 Conclusion
3 Construction d’un modèle de sédimentation à long terme
3.1 Mécanismes de transport solide
3.2 Différents modes de transport des sédiments
3.2.1 Description des modes de transports sédimentaires
3.2.2 Processus mis en jeu dans le transport sédimentaire
3.3 Dérivation des équations de sédimentation à grande échelle de temps
3.3.1 Analogues discrets des opérateurs gradient et divergence
3.3.2 Modélisation de l’évolution du fond gouvernée par les processus de suspension
3.3.3 Modélisation de l’évolution du fond par les processus de charriage
3.4 Modèle discret global de l’évolution du fond sédimentaire
3.5 Conclusion
4 Formulation continue et analyse du modèle
4.1 Passage à une formulation continue de
4.2 Formulation faible du problème continu
4.3 Existence et unicité de solution du problème
4.4 Solutions admissibles
4.5 Cas où le processus d’érosion est négligeable
4.6 Conclusion
5 Stabilité numérique et schéma algorithmique
5.1 Étude de la stabilité numérique
5.2 Formulation compacte
5.2.1 Forme matricielle du terme diffusif
5.2.2 Forme matricielle du terme advectif
5.2.3 Forme matricielle des conditions aux bords
5.2.4 Traitement pratique des conditions aux bords
5.3 Schéma algorithmique
5.4 Conclusion
Références bibliographiques
