Equations intégro-différences

Equations intégro-différences

Matériels et méthodes

La maladie de Chagas

La maladie de Chagas, également appelée trypanosomiase américaine, découverte par le Dr Carlos Chagas en 1909, résulte de l’infection par le parasite Trypanosoma cruzi. Selon les dernières estimations, quelque huit millions de personnes sont infectées par le parasite dans le monde et l’on a compté environs 11 000 décès en 2008 (OMS mars 2009).La maladie de Chagas se transmet localement en Argentine, au Brésil, en Bolivie, en Colombie…etc. En raison des migrations, le nombre de cas est en augmentation en Australie, au Canada, aux Etats-Unis d’Amérique, en Europe et surtout en Espagne car cette dernière a était le plus grand conquérant de l’Amérique Latine. Vu l’échanges entre ce pays et l’Algérie, il y’a une forte chance que la maladie soit présente dans notre pays. Ce risque de transmission augmente à l’occasion des transfusions sanguines et des transplantations d’organes, ainsi que lors des infections congénitales,En 2005, La maladie de Chagas a été intégrée à la classification OMS des maladies tropicales négligées en vue de promouvoir une action de sensibilisation et de lutte en synergie avec celle dirigée contre d’autres maladies négligées (Médecine Tropicale 2013, Professeur Pierre Aubry.
Confrontée à la propagation et à la mondialisation de la maladie, l’OMS a créé en juillet 2007 le réseau mondial pour l’élimination de la maladie de Chagas afin d’élargir le champ d’une préoccupation essentiellement latino-américaine et d’en faire une préoccupation mondiale. L’une des premières initiatives issue de ce réseau a été l’initiative des pays de non-endémicité, destinée à compléter les initiatives intergouvernementales latino-américaines existantes. En Europe, la Belgique, l’Espagne, la France,…etc. participent à cette nouvelle initiative aux côtés des États-Unis d’Amérique et du Japon.Le triatome vit dans les logements précaires du sud de l’Argentine au sud des Etats-Unis d’Amérique et trouve un habitat favorable dans les crevasses des murs et des plafonds des constructions de mauvaise qualité dans les zones rurales ou dans la périphérie des villes. Comme il existe des triatomines sylvatiques vivant dans les forêts, le triatome s’infecte en piquant un mammifère déjà infecté. Les personnes peuvent être infectées par T.Cruzi de plusieurs façons :
1) en consommant des aliments crus contaminés par des déjections de triatomes,
2) les mères peuvent transmettre T.cruzi à leurs enfants lors de l’accouchement,
3) le parasite peut être transmis à travers la transfusion de sang contaminé ou la greffe d’organes contaminés.
Le risque d’infection par T.cruzi est directement lié à la pauvreté. L’exode rurale survenue en Amérique Latine dans les années 70 et 80 a modifié le tableau épidémiologique classique de la maladie de Chagas pour en faire une infection urbaine.
Les taux de contamination des banques du sang de certaines villes du continent Américain varient de 3 % à 53 %, ce qui montre que la prévalence de T.cruzi peut dépasser celle du VIH et des virus de l’hépatite B et C dans les approvisionnements sanguins. (OMS mars 2009) Chez l’homme, la maladie présente deux phases :
+ La phase aigüe : au cours de laquelle les symptômes se manifestent rapidement après l’infection : elle dure environ deux mois. UN nombre élevé de parasites circulent dans le sang.
Dans la plupart des cas, il n’y a pas de symptômes ou seulement des symptômes bénins : fièvre, céphalées, lymphœdème, pâleur, douleurs musculaires, difficultés respiratoires, œdème et douleurs abdominales ou thoraciques. Chez moins de 50% des personnes piquées par un triatome, les premiers signes visibles caractéristiques peuvent être une lésion cutanée ou un œdème violacé des paupières d’un œil.
+ La phase chronique : Au cours de la phase chronique, les parasites se cachent principalement dans le muscle cardiaque et les muscles digestifs. Jusqu’à 30% des patients souffrent de troubles cardiaques et jusqu’à 10% de troubles digestifs (généralement méga œsophage ou mégacôlon), neurologiques ou les deux à la fois. Les dernières années, l’infection peut conduire au décès soudain ou à une insuffisance cardiaque provoquée par la destruction progressive du muscle cardiaque.
Le traitement de la phase aigüe de la maladie repose sur deux médicaments : le nufirtimox et le benznidazole. Le traitement pourrait être amélioré grâce à des médicaments ou à des formulations (pédiatrique, notamment) plus surs et plus efficaces, Des données de plus en plus nombreuses montrent que le traitement des patients après la phase aigüe pourrait éviter des complications et en réduire la gravité, Cependant, il n’existe pas de traitement de la phase chronique comme il n’existe pas de vaccin.

Modèles biologique et mathématique

Cycle de vie des triatomines

La population est partitionnée en 3 classes constituées de juvéniles (J), de nymphes en retard de développement (N5d) et d’adultes (A). Le cycle de vie des triatomines femelles est représenté dans la figure 1, où seules les femelles sont représentées. Nous faisons l’hypothése d’une sexe ratio équilibrée.Les adultes se reproduisent avec une fécondité a (N t ), dépendante du nombre d’individus actifs dans la population , s’ils survivent avec une probabilité constante entre les ages.
Les juvéniles qui survivent avec une probabilité , peuvent rester au stade juvénile ou se développer au stade suivant avec les probabilités respectives et 1 − . Les juvéniles qui se développent peuvent entrer dans un stade correspondant à une phase de vie ralentie avec une probabilité x ou devenir adulte avec une probabilité (1-x) .Les nymphes qui retardent leur développement, survivent avec une probabilité . A chaque épisode de reproduction,ces nymphes peuvent devenir adulte avec une probabilité (1-y) ou retarder encore leur développement avec une probabilité y.Dans la suite, pour simplifier le modèle, on supposera que les proportions des nymphes rentrant en diapause et sortant de la diapause sont égales.

Valeurs des différents paramètres démographiques.

Certains paramètres démographiques sont estimés à partir des expériences du laboratoire tandis que d’autre, sont déduits par des calculs de probabilités.
a) Paramètres connus de l’expérience.
T :=266.35 J : temps moyen de développement de l’œuf à l’adulte,
L := 480.00 J : longévité des adultes,
D :=0.76154 : temps moyen du retard de développement des nymphes (Menu et al., 2010),
S :=0.5858 : probabilité de survie durant la période de développement,
F :=303.00 : nombre de femelles par femelle par jour
τ :=1 : la sex-ratio,
A partir de ces données, il est possible de calculer les autres paramètres démographiques sous certaines hypothèses biologiques.

Méthode numérique 

La résolution numérique du système (II) est décrite dans l’algorithme suivant partagé en modules
Le programme correspondant est écrit en C++, donné dans l’annexe 2,
a)Module « discrétisation de l’habitat »
• Ω ={origine_displacement, displacement_max ] ;
• origine_displacement : origine de l’habitat Ω,
• displacement_max : extrémité de l’habitat Ω,
• grad_number : nombre de graduations de l’habitat Ω sans la graduation de l’origine,
•pas_deplacement: pas de déplacemen =(deplacement _ max -origine _ deplacement) / step _ deplacement) + 1
• grad : nombre de graduations par unité de longueur de Ω,
• abscissa_x : distance de l’origine de l’habitat à un point donné,
b)Module « déclaration des paramètres connues pour Dimidiata »
.T=266.3 : Le temps de développement de l’œuf à l’adulte
.L=480.00 : durée de vie des femelles adultes
.S=0.5858 : pourcentage de survie de l’œuf à l’adulte
.F=303.00 : durée de vie des œufs de femelles (sexe ratio de 50%)
.alfa=46.6 : la distance parcourue par jour (50 m par 2semaines)
.Sd=S*1.3 : pourcentage de survie pendant le retard de développement
c) Module « définition des paramètres démographiques »
.∆ t :les différents pas de temps
Les paramètres démographiques définis sont :
• : La probabilité de survie des adultes
• : La probabilité de survie des juvéniles
• : La probabilité de rester au stade juvéniles
• − : La probabilité de se développer au stade adultes
• : La reproduction des adultes (fécondité)
• x : La probabilité de la phase de vie ralentie
• − : La probabilité de devenir adulte
• : probabilité de survie des nymphes
• =F*(1- )
• generations : nombre fixé de générations. C’est une valeur introduite dans le nom des fichiers.
b) Module « déclaration d’un tableau des densités »
• density[grad_number+1][3]: tableau à trois colonnes et ( grad_number+1)lignes,
• density[][0],density[][1],density[][2]:les densités des juvéniles, nymphes et adultes à la génération t • density[][3],density[][4],density[][5]: les densités des juvéniles, nymphes et des adultes à la génération t+1,
c)Module « déclaration des flux de resultats
Trois flux de résultats numériques sont déclarés :
• final_densite : flux des valeurs des densités des triatomines, en tout point de l’habitat, de la première à la dernière génération fixée,
• maxi_dispersal : flux des valeurs de la dispersion maximale de chaque génération. La dispersion maximale d’une génération est la distance de l’origine du repère
(origine_deplacement) jusqu’au point x ∈ Ω où la densité minimale (densite_seuil) est Atteinte.
• invasion_speed : flux des valeurs de la vitesse d’invasion. Dans ce cas une seule valeur est récupérée.
Chaque flux est récupéré dans un fichier de données (.dat) dont les noms sont déclarés au début du programme principal.
f) Module « nomination et ouverture des fichiers de résultats »
Aux 3 flux de valeurs déclarés correspondent 3 fichiers de donnés (.dat) nommés de la façon suivante :
• le flux final_densite : est récupéré dans le fichier de donné (.dat) nommé : final_dens_ts_xx. _dp_yy. _gn_zz. _gr_nn.
• le flux maxi_dispersal : est récupéré dans le fichier de donné (.dat) nommé : _ __.__.__.__.
• le flux invasion_speed : est récupéré dans le fichier de donné (.dat) nommé : ___.__.
Les symboles et indiquent respectivement le nombre fixé de générations et le nombre de graduations contenus dans une unité de déplacement.
Les symboles et indiquent respectivement le temps fixé et le nombre de diapause contenus dans une unité de déplacement.
f) Module « initialisation et enregistrement des densités initiales et de la dispersion maximale initiale »
• la fonction _ _ _ remplie le vecteur des densités densite[j][nombre_grad+1 ] par les valeurs initiales choisies .Dans ce cas, la densité initiale des triatomines est nulle en tout point de l’habitat Ω , sauf au density[0][2]=10;
•la fonction _ _ enregistre les densité finale dans le fichier final_dens_ts_xx. _dp_yy. _gn_zz. _gr_nn.
• calcul de la dispersion maximale de génération t par la fonction maxi_dispersal , puis enregistrement du résultat dans le fichier
• écrasement des anciennes valeurs de densite[nombre_grad+1][0] par les nouvelles valeurs calculées dans densite[nombre_grad+1][3] par la fonction

Calcule de la vitesse d’invasion

C’est la partie finale du programme durant le quelle :
• la vitesse d’invasion est calculée par la formule :
adults_invasion_speed=(adults_dispersal[generations]−adults_dispersal[gener_calcul_vitesse]) /(generations-gener_calcul_vitesse),
• adults_dispersal[generations]:la dispersion de la dernière génération,
• adults_dispersal[gener_calcul_vitesse]):la dispersion de la première génération ,
• gener_calcul_vitesse: la génération au quelle on a commencé à calculer la vitesse d’invasion

Méthode analytique 

Le théorème de Neubert-Caswell (Neubert and Caswell 2000) nous permet de calculer la vitesse d’invasion analytiquement. Pour cela, construisons d’abord la matrice des fonctions génératrices des moments M(s),

Table des matières

Introduction
Chapitre 1  Equations intégro-différences
1.1. Cas d’une population non structurée
1.1.1. Définition d’une équation intégro-différence (EID)
1.1.2. Solutions des équations intégro-différences dans le cas d’une population  non structurée.
1.1.3 Théorème de Weinberger (Weinberger, 1982)
1.2. Equation intégro-différence dans le cas d’une population structurée :
1.2.1. Définition
1.2.2. Solutions des équations intégro-différences dans le cas d’une population  structurée
1.2.3. Théorème de Neubert-Caswell
Chapitre 2  Matériels et méthodes
2.1. La maladie de Chagas
2.2. Modèles biologique et mathématique
2.2.1. Cycle de vie des triatomines
2.2.2 Valeurs des différents paramètres démographiques
a) Paramètres connus de l’expérience
b) Hypothèses biologiques
c) Paramètres déduits par le calcul pour un pas de temps ??
Probabilité de survie juvénile
Probabilité de survie durant le retard de développement
Importance du pas de temps dans les modèles discrets 2014
Probabilité de survie adulte
Probabilité de transition de la classe juvénile à la classe adulte
La définition de la fécondité
2.2.3. Modèle Mathématique
3.1. Méthode numérique
3.2. Méthode analytique
Chapitre 3  Résultats et discussion
3.1. Résultats
3.1.1. Densités finales
3.1.2. Dispersion maximale des adultes
3.1.3. Vitesse d’invasion
3.2. Variation de la vitesse d’invasion en fonction du pas de temps
3.1.2. Discussion
Conclusion
Références bibliographiques
Annexe 1
Annexe 2

Télécharger le rapport complet