Equations générales de la magnétohydrodynamique

Face à l’explosion de la consommation énergétique mondiale, les réflexions sur la maîtrise de l’énergie foisonnent, d’autant plus que les principales ressources d’origine fossile diminuent de manière inquiétante dues à l ‘utilisation de l’énergie dans la quasi-totalité des activités humaines et notamment dans les transports et dans l’industrie. La récente flambée des prix du pétrole ne fait que confirmer ces observations alarmantes. Il est alors important de définir une politique énergétique respectueuse de l’environnement et assurant un équilibre entre les besoins, les ressources et les réserves énergétiques.

Là, la magnétohydrodynamique (MHD) peut constituer une solution à la crise énergétique mondiale. Les concepts de base de la MHD remontent certes à Faraday mais les premières applications pratiques ne datent qu’après la seconde moitié de notre siècle. Et c’est exactement en 1942 que le physicien suédois Hannes Alfvén donna le nom de Magnétohydrodynamique à cette nouvelle branche très importante mais combien sensible de la physique ; ses travaux dans ce domaine furent couronnés par un prix Nobel de physique en 1970. La MHD est définie comme étant l’étude du mouvement d’un fluide conducteur soumis à un champ magnétique. Les particules composant le fluide satisfont alors aux équations couplées de l’hydrodynamique, de la thermodynamique et de l’électromagnétique. Comme en mécanique des fluides classique on distingue deux types de magnétohydrodynamique qui dépendent de la valeur du nombre de Reynolds magnétique Rem qui est ainsi nommé par analogie au nombre de Reynolds en hydrodynamique classique. Lorsque le fluide est fortement magnétisé c’est- à- dire lorsque le nombre de Reynolds magnétique est très élevé on est en dans le cadre de la magnétohydrodynamique idéale et le fluide est traité comme ayant très peu ou pas de résistance électrique donc assimilable à un conducteur parfait. Les lignes de champ magnétique sont intimement liées. Une analogie consiste à comparer le fluide à un peigne et les lignes de champ aux cheveux : le mouvement des cheveux suit exactement ceux du peigne. Cette magnétohydrodynamique est étudiée dans les plasmas chauds astrophysiques et thermonucléaires d’origine naturelle (étoiles) ou artificielle (tokamaks) .

La MHD résistive dite à faible nombre de Reynolds magnétique décrit les fluides ionisés faiblement magnétisés avec une diffusion non nul le conduisant à un non reconnexion des lignes de champ magnétique. On assiste à une rupture dans la topologie magnétique. Dans un fluide conducteur non parfait, le champ magnétique peut se déplacer à travers le fluide suivant une loi de diffusion magnétique où le coefficient de diffusion est la résistivité. A l’inverse de ce qui se passe dans le soleil où le temps de diffusion à travers une région active est estimé à des centaines de milliers d’années, dans l’eau salée la diffusion se mesure en millisecondes et doit donc être prise en compte. La MHD intervient dans beaucoup de phénomènes physiques aussi bien naturels que technologiques.

Modélisation Théorique des équations de transferts 

Equations générales de la magnétohydrodynamique

Si on admet que les phénomènes magnétohydrodynamiques ont uniquement pour cause les mouvements du fluide et que les vitesses de celui-ci sont faibles par rapport à la vitesse de propagation des ondes électromagnétismes c’est à dire que les vitesses des électrons et ions sont non relativistes, où la force de Lorentz est plus petite que la force électrique) on peut négliger le courant de déplacement. Dans ces conditions les équations générales des transferts d’un bi fluide newtonien de masse volumique ρ en présence d’un champ magnétique. On admet que la concentration de l’un du soluté est en très faible quantité dans le mélange .

Adimensionnalisation des équations

L’adimensionnalisation consiste à transformer les variables dépendantes et indépendantes en des variables sans dimensions en les normalisant par exemple par rapport à certaines grandeurs caractéristiques. Cela permet de spécifier les conditions d’écoulement avec un nombre plus restreint de paramètres et facilite beaucoup les comparaisons entre les résultats numériques, analytiques et expérimentaux. Afin de bien généraliser le traitement des équations des transferts, il est utile de les ramener sous une forme adimensionnelle, en rapportant les variables à des grandeurs de référence telles que la longueur L du cylindre, la vitesse Uo la température To et la concentration Co du fluide .

Choix et déterminations des grandeurs de référence

Certaines grandeurs de référence sont choisies comme les grandeurs de référence géométriques, certaines grandeurs dynamiques telles qu’une composante de la vitesse d’entrée, les écarts de températures pour le problème thermique et de fractions massiques. Cependant ces choix ne sont pas arbitraires mais pertinents car ces grandeurs doivent caractériser les transferts. Les autres grandeurs sont alors déduites de celles qui ont été déjà choisies.

Le problème fondamental de la théorie des méthodes itératives est comment déterminer le stabilisateur et la suite des paramètres itératifs pour que Fk approche F’ avec une convergence rapide et un minimum d’opérations arithmétiques pour une précision εF préalablement fixée.

Lorsque Sk est égal à l’opérateur identité E, le schéma itératif (2) est dit explicite et totalement implicite si l’on choisit le stabilisateur comme étant égal à L. Dans le premier cas, il s’agira de résoudre une équation à une inconnue mais le nombre d’opérations arithmétiques peut quelquefois être prohibitif et le temps de calcul long. Dans le second cas l’occupation de place mémoire est énorme car il faut inverser une matrice qui n’est pas creuse mais on a généralement un temps de calcul réduit. Dès lors il faut trouver un compromis. Pour avoir une convergence rapide il faut alors que le stabilisateur s’inverse facilement mais aussi soit proche énergétiquement de L. Ainsi le schéma itératif doit être totalement ou partiellement implicite et pour accélérer la convergence, la suite des paramètres itératifs doit être ordonnée et dépendre du numéro d’itération.

Algorithme de Résolution –Organigramme de Calcul

Nous allons résumer dans ce qui suit le processus de calcul pour la détermination des champs des vitesses, de fonction de courant, de vorticité, de température, de fraction massique et magnétique.

1ère Etape : On rentre d’abord les paramètres physiques (nombres de Reynolds, de d’Eckert, de Peclet, Débit à l’entrée, …), certains paramètres numériques (le pas de temps, les nombres totaux de nœuds, les précisions,….). On choisit les pas d’espace qui respectent a priori les inégalités .

2ème Etape : On initialise les champs des vitesses, des fonctions de courant, de la vorticité la température, la fraction massique, le champ magnétique pour n=1.

3ème Etape : On se donne une valeur du facteur de forme f.

4ème Etape : On se donne des profils arbitraires des vitesses.

5ème Etape : On résout d’abord l’équation du champ magnétique puis celles de la vorticité, la température et la fraction massique grâce à la séquence Thomas .

6ème Etape : On débute le calcul itératif pour la fonction de courant. On calcule le nombre minimal d’itérations nécessaires n0 et on se donne un profil arbitraire de la fonction de courant que nous allons corriger dans le processus itératif. Après n0 itérations on débute les tests. Si la condition (2.3.15) est vérifiée on p asse à l’étape 7 sinon au range la nouvelle valeur de la fonction de courant dans l’ancienne, on incrémente no et on continue le processus itératif .

7ème Etape : On calcule les nouvelles valeurs des vitesses à p artir de celle de la fonction de courant. Si le test (2. 5. 8) n’est pas rempli pour au moins l’une des composantes de la vitese, on range les nouvelles valeurs des vitesses dans les anciennes et on reprend la séquence à partir de l’étape 5. Sinon on passe à l’étape 8.

8ème Etape : On calcule le débit à la sortie et l’on compare avec le débit à l’entrée. Si le test n’est pas est satisfaisant on diminue la valeur du facteur de forme f et on retourne l’étape 4. Dans le cas contraire, on regarde si le temps maximal est atteint. Si oui on passe à l’étape 9. Sinon on augmente la valeur de n, on prend les nouvelles valeurs des vitesses, de la fonction de courant, de la vorticité, la température, le champ magnétique et la fraction massique comme valeurs initiales et on reprend la séquence à partir de l’étape 4.

9ème Etape : On enregistre les résultats et on arrête les calculs .

Table des matières

Introduction Générale
CHAPITRE 1 Modélisation Théorique des équations de transferts
1.1 Equations générales de la magnétohydrodynamique
1.2 Modélisation théorique du problème
1. 2. 1 Description du système et position du problème
1. 2. 1. 1 Position du problème
1. 2. 1. 2 Hypothèses simplificatrices
1. 2. 2 Formulation mathématique du problème en variables primitives
1.2.2. 1 Equation de continuité
1.2.2. 2 Equation de conservation de l’espèce
1.2.2. 3 Equations du mouvement
Equation de mouvement suivant r
Equation de mouvement suivant z
1.2.2. 4 Equation de la chaleur
1.2.2. 5 Équation du bilan du champ magnétique
1.2.3 Ecriture des équations sous le formalisme vorticité – fonction de courant
1.2.4 Conditions initiales et aux limites
1.2.5 Grandeurs pariétales remarquables
1. 3 Adimensionnalisation des équations
1.3.1 Choix et déterminations des grandeurs de référence
1.3.2 Equations des transferts adimensionnalisées
Equation de conservation de l’espèce adimensionnalisée
Equation de la vorticité adimensionnalisée
Equation de la fonction de courant adimensionnalisée
Equation de la chaleur adimensionnalisée
Equation du champ magnétique adimensionnalisée
Conservation du débit adimensionnalisé
1. 3. 3 Conditions initiales et aux limites adimensionnalisées
Conclusion
CHAPITRE2 Modélisation Numérique
2. 1 Introduction
2. 2 Discrétisation du domaine
2. 3 Intégration des équations du modèle
2. 3. 1 Intégration des équations d’évolution de type parabolique
2.3. 2 Intégration de l’équation de la fonction de courant
2. 4 Condition initiales et aux limites discrétisées
2. 4. 1 Conditions initiales discrétisées
2. 4. 2 Conditions aux limites discrétisées n>1
2.5 Méthodologie générale de résolution des équations du modèle
2.5. 1 Résolution des systèmes matriciels tri diagonaux
2. 5. 2 Algorithme de Résolution –Organigramme de Calcul
Conclusion Générale
Référence bibliographique
Annexe

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