Équations décrivant la dynamique du film

L’étude d’écoulements de films minces sous l’influence de la gravité a de larges implications dans les phénomènes naturels tels que la modélisation du mouvement des océans, des zones côtières, l’écoulement des rivières et de débris lors d’avalanches. Dans l’industrie, les films minces interviennent dans la limitation de flux ou le transfert de chaleur et de masse, ou pour protéger des surfaces. Ils peuvent être utilisés pour la conception de peintures, d’adhésifs ou lors de dépôt de plusieurs couches de pellicules pour des films photographiques. De plus dans l’aéronautique, l’ingestion d’eau par les moteurs conduit à la formation d’une fine couche de liquide sur les parois. De la même manière, l’injection du carburant dans la chambre de combustion peut créer des films liquides ou dans une tuyère de fusée, une accumulation de carburant forme un film (voir l’article de Oron et al. [40] sur la dynamique des films minces ainsi que leur bibliographie).

Historiquement, le premier modèle applicable aux écoulements de type films minces ruisselants est celui de Barré De Saint-Venant [2]. Il s’agit en fait d’un modèle d’hydraulique composé de deux équations donnant la hauteur et le débit d’un canal. Les premiers à avoir vraiment étudié des films liquides ruisselants le long d’un plan incliné, sont Kapitza et Kapitza [25] alors que Pyotr Leonidovich Kapitza était en résidence surveillée en URSS. Ils ont montré qu’il existe une valeur critique du nombre de Reynolds à partir de laquelle se développent les instabilités de la surface libre (valeur toutefois erronée dans leur configuration verticale – toujours instable). Puis Benjamin [3] et Yih [58]ont résolu le problème de la stabilité linéaire et donné la valeur du Reynolds critique. Par la suite Benney [4] a trouvé une équation donnant la hauteur du film qui permet de retrouver formellement le critère de stabilité de Benjamin [3] et Yih [58] . Mais cette équation est fortement non-linéaire et ne décrit pas le comportement du film au-delà du seuil de stabilité. Suite à cela, de nombreuses personnes ont proposé des modèles issus des équations de Navier Stokes et basés sur la généralisation de la méthode intégrale de Karmann Polhausen introduite par Shkadov [51] (modèles à deux équations, mais non consistants), Ruyer-Quil et Manneville [48, 50, 49] (modèles à deux équations consistants), Kuramoto et Tsuzuki [28], et Sivashinsky [52] (modèles à une équation). En première approximation, on peut supposer en effet que la vitesse est constante sur la hauteur du fluide, cette approche est justifiée dans le cas d’écoulements de type Saint-Venant pour des fluides Newtoniens incompressibles où la viscosité est négligeable. Dans leur article, Gerbeau et Perthame [20] ont ainsi fait une dérivation formelle des équations de Navier-Stokes ainsi que des simulations numériques sur le système de Saint-Venant résultant, mais avec des hypothèse de glissement au fond. Ces méthodes permettent de retrouver les équations de Saint-Venant, à un coefficient correcteur près Vila [53] et Chang et Demekhin [11]. De nombreux modèles ont été établis pour diverses situations (films en rotation, film vertical…) qu’Oron et al. [40] ont parfaitement synthétisé. Néanmoins il ne s’agit que de modèles d’écoulements sur fond plat. Bouchut et Westdickenberg [5] ont alors introduit un système de coordonnées curvilignes quelconque (non-forcément orthogonal) apte à décrire un écoulement sur une topographie quelconque. Toutefois ils se sont limités au cas non-visqueux. Il existe donc de nombreux modèles intégraux à une ou deux équations, mais limités à des cas simples comme le ruissellement sur un plan incliné, et souvent peu justifiés. Il existe un modèle intéressant dans le cas d’un fond variable, mais il ne traite pas la viscosité. De plus il n’existe pas d’étude rigoureuse pour un film entraîné par un écoulement gazeux. Il reste à trouver des modèles incluant l’entraînement du film par le gaz et incluant un fond variable en se basant sur une analyse mathématique rigoureuse afin de connaître la validité de ces modèles. Il s’agit donc de décrire le comportement dynamique d’un film liquide mince sur une paroi quelconque, mû par inertie et par cisaillement du gaz en utilisant la méthode des développements asymptotiques pour trouver des solutions approchées des équations de Navier-Stokes afin d’écrire des modèles intégraux .

Le modèle à deux équations

Le but est de développer des modèles basés sur l’intégration exacte des équations de NavierStokes. Comme on l’a déjà vu, on trouve facilement une famille de modèles à une équation en intégrant l’équation de conservation de la masse. Un inconvénient important de cette approche est que le modèle s’effondre dès que l’on regarde une situation physique qui n’est plus assez proche de la limite d’équilibre. Ceci est bien connu pour l’équation du premier ordre (ε0), les singularités arrivent en temps fini même si la solution initiale est régulière, notons que cette discontinuité reste bornée et l’unicité de la solution faible est garantie dans un certain sens (solution entropique). Pour le schéma à l’ordre deux, la situation n’est pas claire. Supposons que la tension de surface est négligeable, l’existence d’une solution bornée impose d’avoir un Reynolds inférieur à une valeur limite, une instabilité de Hadamard apparaît si cette condition n’est pas satisfaite. Il est connu que la capillarité stabilise les hautes fréquences, et on attend plus de stabilité dans ce cas, les expériences et les résultats mathématiques (même partiel) (cf Pumir et al. [43], Roskes [45], Ruyer Quil et Manneville [48, 50, 49], Roy et al. [47], etc…) montrent que des singularités en temps fini sont possibles, sauf dans le cas du régime de petite amplitude. Le comportement de systèmes de type Saint-Venant est plus robuste. En partant d’une solution uniforme avec des perturbations à longueur d’onde donnée, la solution semble converger vers la roll-wave associée (cf Yu et Kevorkian [60]). Ce fait n’est pas complètement démontré d’un point de vue mathématique, néanmoins tous les résultats expérimentaux le prouvent, même pour une tension de surface nulle. Nous nous référons à Noble [38] pour quelques résultats préliminaires sur la stabilité des roll-waves visqueuses.

Pour construire des modèles de type Shallow Water à deux équations en 2D (3 équations en 3D), on se donne une seconde inconnue en plus de la hauteur h, le débit q = Rh0 u. La première équation est déjà connue, il s’agit de la conservation de la masse intégrée sur la hauteur (2.13) :

ht + qx = 0

FORMATIONS DE ROLL-WAVES

Lorsque le nombre de Reynolds Re est au-dessus de la valeur critique Rcr itique, il y a croissance des instabilités. Dans le cas des modèles à une équation au delà de ce seuil toute simulation va être numériquement instable. Mais dans le cas des modèles de type Saint-Venant des instabilités non-linéaires particulières appelées roll-waves peuvent être observées. Ce sont des ondes périodiques continues par morceaux dont on peut voir des exemples dans les expériences de Liu et Gollub .

Le mécanisme qui permet d’obtenir des roll-waves a été modélisé par Dressler [16] comme des solutions des équations de Saint-Venant sans viscosité ni tension de surface. Ce sont des solutions périodiques non-linéaires composées de morceaux continus séparés par des chocs qui vérifient les conditions de Rankine-Hugoniot et de Lax. Dans le cas visqueux Novik [39] a proposé un modèle pour obtenir des profils continus. À l’aide d’une analyse utilisant les bifurcations de Hopf pour un système Saint-Venant avec viscosité, Merkin et Needham [34] ont montré qu’il existe des roll-waves continues et de petite amplitude. L’analyse de stabilité linéaire et non linéaire des roll-waves a été étudiée par Noble [37], Johnson et al. [23] pour le cas visqueux et non-visqueux.

Lorsqu’on est en présence de tension de surface il y a encore peu de résultats, principalement en utilisant l’équation de Kuramoto-Sivashinsky pour un nombre de Froude proche de 1 (Chang et Demekhin [11]). Pumir et al. [43] ont montré que même si la tension de surface stabilise les hautes fréquences, l’existence de roll waves est possible pour un nombre de Reynolds petit.

MODÈLES DE TYPE SAINT-VENANT

Les lois de conservation visqueuses qui régissent l’évolution de hi sont suffisantes pour obtenir un critère définissant l’état bien ou mal posé du système, ce qui est un critère de stabilité uniforme des états constants dans le régime de basse fréquence pour le système hyperbolique (Saint-Venant) (voir 3). Toutefois, les solutions de ce système explosent en temps fini lorsque le débit est instable et peut conduire à une certaine imprécision dans la description du mouvement de flux bi-couche. Dans ce qui suit, nous considérons des modèles de type Shallow water : en effet dans le cas d’écoulement mono-couche, ils produisent des ondes non linéaires, dites « roll waves » qui sont bien connues des instabilités hydrodynamiques (cf 3.5 page 44). Ainsi, les modèles Shallow water sont utiles pour décrire la transition à l’instable dans les écoulements de faible profondeur. À notre connaissance, il n’y a pas de modèle Shallow-Water uniforme qui décrit les flux bi-couche s’écoulant sur une rampe (le cas une seule couche n’a été traité que récemment Ruyer-Quil et Manneville [48],Vila [54]).

Table des matières

INTRODUCTION
1.1 Équations décrivant la dynamique du film
1.1.1 Équations de Navier-Stokes-Coriolis
1.1.2 Conditions aux limites
1.2 Système complet
1.3 Mise à l’échelle
1.3.1 Choix des échelles
1.3.2 Traitement du terme de force de Coriolis
1.3.3 Nombre de paramètres indépendants
1.3.4 Récapitulatif de quelques adimensionnements dans le domaine des films minces
1.4 Système final
2.1 Équations de Navier-Stokes
2.2 Conditions aux limites
2.3 Système complet
2.4 Solution uniforme stationnaire
2.5 Mise à l’échelle
2.5.1 Nombre adimensionnels
2.5.2 Paramètres adimensionnels
2.6 Équations adimensionnées
2.6.1 Équations moyennées
2.7 Asymptotique onde longue
2.8 Développements asymptotiques
2.8.1 Ordre 0
2.8.2 Ordre 1
2.8.3 Le modèle à deux équations
3.1 Du modèle de Saint-Venant à l’équation de Benney
3.2 Hyperbolicité
3.3 Entropie
3.4 Stabilité linéaire (et lien avec Orr-Sommerfeld)
3.5 Formations de roll-waves
4.1 Équations de Navier-Stokes en coordonnées curvilignes
4.1.1 Systèmes de coordonnées
4.1.2 Tenseur de courbure
4.1.3 Équations de l’écoulement
4.1.4 Vitesse covariante
4.1.5 Changement de coordonnées
4.1.6 Système d’équations de la dynamique
4.2 Équations intégrées
4.3 Mise à l’échelle
4.3.1 Facteurs d’échelle et adimensionnement
4.3.2 Solution uniforme
4.3.3 Développements asymptotiques
4.3.4 Équations adimensionnées
4.3.5 Hypothèses sur l’écoulement
4.3.6 Équations intégrées
4.4 Asymptotique onde longue
4.4.1 Asymptotique à l’ordre zéro
4.4.2 Premier modèle
4.4.3 Modèle à deux équations au premier ordre
4.4.4 Asymptotique à l’ordre 1
4.5 Modèles à une et deux équations
4.5.1 Modèle à une équation à l’ordre 1
4.6 Système Saint-Venant
4.6.1 Première formulation
4.6.2 Formulation conservative
4.7 Quelques modèles particuliers
4.7.1 Équation de Benney dans le cas plan
4.7.2 Modèle Saint-Venant dans le cas plan
4.7.3 Modèle de plus grande pente
CONCLUSION

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