Equations de type Vortex et métriques canoniques

Un bref survol du contexte

Les travaux fondateurs de E. Calabi et S-T. Yau ont fait apparaître des méthodes intrinsèques globales en géométrie Kählérienne, en particulier avec l’étude de métriques de type Einstein. S.T. Yau a été en particulier le premier à soulever la question d’une interprétation algébro-géométrique de l’existence d’une métrique Kähler-Einstein dans le cadre des variétés complexes. Dans [Do4] où une partie de ce programme est mis en oeuvre, S.K. Donaldson propose une notion de stabilité algébrique introduite par H. Luo, pour les couples M, Lk où M est projective et L est un bré en droites ample sur M. Cette condition d’équilibre se lit alors analytiquement sur les métriques π∗kωF S où πk désigne le plongement naturel de la variété dans l’espace projectif PH0M, Lk et ωF S la métrique naturelle de cet espace, c’est à dire la métrique de Fubini-Study. Le résultat principal de l’article est la convergence des métriques π∗kωF S vers une métrique à courbure scalaire constante lorsque celle-ci existe a priori. Le problème d’approximation de la métrique à courbure scalaire constante est ainsi résolu par une méthode de quantification, consistant à voir l’espace des potentiels Kähler comme la limite à l’inni des espaces symétriques SL(h0(M, Lk) + 1)/SU(h0(M, Lk) + 1) des métriques de type Fubini-Study, cette quantification permettant de basculer dans le domaine de la dimension nie comme cela avait été conceptualisé dans [Do3]. Parallèlement au problème fondamental d’une bonne définition de stabilité pour les variétés, il est bien connu qu’il existe une notion de stabilité pour les fibrés vectoriels holomorphes au dessus d’une variété kählérienne. Pour la Mumford stabilité, les travaux de Hitchin, Kobayashi, Lübke, Donaldson, Uhlenbeck, et Yau ont permis d’établir la correspondance dite de Kobayashi-Hitchin entre les fibrés holomorphes stables (plus précisément polystables) sur des variétés compactes Kähler et le monde de la géométrie différentielle, via l’existence d’une métrique hermitienne h vériant l’équation d’Hermite-Einstein :√−1ΛFh = λIdE, (1)1 en fait deux notions diérentes ont été développées par D. Mumford et D. Gieseker dans le cas où la variété sur laquelle vit les brés est de dimension supérieure ou égale à 2. ii Un bref survol du contexte où λ est une constante ne dépendant que de la topologie de E et √−1ΛFh désigne l’endomorphisme de E obtenu en contractant la courbure de Chern Fh de la métrique h contre la forme Kählerienne ω de la variété. D’un point de vue historique, cette correspondance a été établie par Narasimhan et Seshadri pour les courbes, Donaldson pour les surfaces algébriques [Do1], Uhlenbeck et Yau dans le cas Kähler, Buchdahl dans le cas d’une surface complexe [Bu1], Bartolomeis et Tian dans le cas presque complexe, Li et Yau dans le cas d’une variété hermitienne. Ainsi, la correspondance de Kobayashi-Hitchin donne un isomorphisme d’espaces de modules entre l’espace de modules de structures holomorphes stables à déterminant fixé et l’espace de modules de connexions irréductibles d’Hermite-Einstein intégrables. Les métriques d’Hermite-Einstein, tout comme les métriques de Kähler-Einstein, sont des uniformisants de la géométrie complexe et leur existence impose des conditions très fortes sur la géométrie des objets considérés. Notons en particulier que la construction d’espaces de modules de connexions d’Hermite-Einstein et l’étude de leur topologie via les connexions ASD a eu beaucoup de conséquences en dimension 4 réelle, dont notamment les fameux invariants polynômiaux de Donaldson pour les espaces de modules de P U(r)-instantons en théorie de Jauge. Remarquons également que cette équation est nettement plus linéaire que l’équation de Monge-Ampère considérée dans le cas des métriques Kähler-Einstein. Avec les travaux de C. Simpson, cette correspondance a été étendue à des objets plus généraux, tels que les fibrés de Higgs introduits par N. Hitchin. En suivant les idées de P. Deligne sur la théorie de Hodge et en combinant ses résultats avec ceux de K. Corlette, C. Simpson établit notammment un pont entre 3 mondes : la géométrie algébrique (avec les fibrés de Higgs polystables avec première classe de Chern triviale), la géométrie différentielle (avec les fibrés harmoniques) et la topologie (avec les systèmes locaux semi-simples). En particulier, cela lui a permis de voir que tout fibré plat peut être déformé en une variation de structure de Hodge polarisée et donner des restrictions très fortes sur le groupe fondamental d’une variété Kählérienne. Il est aussi important de souligner à ce stade que la démonstration des correspondances de type Kobayashi-Hitchin repose toujours sur des méthodes de type flots de gradient/chaleur ou méthodes de la continuité (par exemple dans [L-T1]), le point crucial étant de prouver que la stabilité entraine l’existence d’une métrique vue en tant que point critique minimum d’une fonctionnelle de type Yang-Mills sous le flot de Jauge. Une question légitime et naturelle est donc de se demander si les résultats de [Do4] peuvent s’appliquer dans le cas des fibrés stables et si l’on peut approcher les solutions de l’équation (1) par des métriques construites algébriquement. Cela sous-entend que l’on s’attend à ce que l’analyse globable utilisée pour la correspondance de Kobayashi-Hitchin contienne des techniques clé pour la construction d’objets algébriques. Par `algébrique’, nous entendrons ici des métriques provenant d’une construction de la Théorie des Invariants Géométriques (G.I.T) développée initialement par D. Mumford[M-F-K].

Stabilité au sens G.I.T

La Théorie des Invariants Géométriques (G.I.T) a pour but d’étudier les quotients X/G où X est un C-schéma et G est un groupe algébrique agissant dessus. La théorie de Mumford ([M-F-K]) explique que de bons quotients apparaissent dans le cas où le groupe est réductif et agit de manière linéaire.
Définition 1.1.1. Un groupe algébrique linéaire G est dit réductif si son radical unipotent est trivial. Ceci est équivalent au fait que G est la complexification de son sous-groupe compact maximal. Si de plus G est connexe et de centre ni, on dit que G est semi-simple.
Notation. Pour W un espace de G-représentation, WG désigne le sous-espace des éléments invariants.

Construction G.I.T et espace Gieseker pour les filtrations holomorphes

Inspirés des travaux de [Sc1, Sc2, H-L1, H-L2], nous présentons un cadre G.I.T pour les filtrations holomorphes au dessus d’une variété projective en introduisant un espace de Gieseker paramétrisant les filtrations holomorphes Gieseker stables. Tout d’abord, nous remarquons que les objets Gieseker semi-stables que nous considérons sont paramétrés par un schéma de type fini sur C. Pour R = (R1, .., Rm) une collection de polynômes de degrés inférieurs à n tels que limk→+∞ Ri(k) = +∞, notons PR,F (k) = χ(F ⊗ Lk) + Pmi=1 r(Fi)Ri(k) le R-polynôme de Hibert de la filtration F.
Proposition 2.2.1. L’ensemble des classes d’isomorphie des filtrations Gieseker semi-stables de faisceaux cohérents sans torsion avec R-polynôme de Hilbert fixé est bornée.
Démonstration. En considérant le terme d’ordre kn de PR,F (k) et en utilisant d’un autre côté la condition de semi-stabilité, on obtient que les pentes µ(Fi) sont toutes bornées. Dès lors, on peut utiliser le théorème de bornitude obtenu dans [Ma, Section3].

Applications moment naturelles

Dans [Do4], S.K Donaldson réécrit la condition d’équilibre pour une variété sous la forme d’annulations d’applications moments associées à des groupes de symétrie appropriés. Il s’agit du groupe unitaire (de dimension finie) et du groupe des symplectomorphismes (de dimension infinie) de la variété. C’est cette méthode qui lui permet de « mesurer » la distance entre une métrique équilibrée et une métrique presque équilibrée. Nous adaptons cette démarche, sauf que dans notre cas, nous travaillerons avec le groupe unitaire et le groupe de Jauge du fibré

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Table des matières

Introduction
Un bref survol du contexte
Présentation des résultats de la thèse
1 Préliminaires
1.1 Stabilité au sens G.I.T
1.2 Stabilité au sens de la géométrie symplectique
1.2.1 Intégrale d’une application moment
1.2.2 Zéros d’une application moment
2 Stabilité pour les ltrations holomorphes Construction G.I.T
2.1 Notions de stabilité
2.2 Construction G.I.T et espace Gieseker pour les ltrations holomorphes
3 G.I.T stabilité et métriques équilibrées
3.1 Filtrations holomorphes équilibrées
3.2 Log-propreté et fonctionnelle de type Kempf-Ness
3.3 Métriques équilibrées pour les filtrations holomorphes
4 Métriques τ -Hermite-Einstein et filtrations holomorphes
4.1 Action du groupe de Jauge
4.2 Limite d’une suite de métriques équilibrées
4.3 Construction de métriques presque équilibrées
4.4 Applications moment naturelles
4.5 Orbites complexes et double quotient symplectique
4.6 Formules explicites et estimées analytiques
4.7 Théorème d’approximation
5 Applications aux équations Vortex
5.1 Filtrations équivariantes et chaînes
5.2 Réduction dimensionnelle et applications
6 Annexe
6.1 Endomorphisme ΠF,τh
6.2 Résolution d’une certaine équation elliptique
Bibliographie