Équations de transferts

Équations de transferts

Transfert de chaleur dans un fluide

Pour un fluide , le transfert de chaleur se fait non seulement par conduction et par variation de masse volumique mais également par convection. Le transfert de chaleur par convection se comporte de la même manière que le transfert de masse, c’est à dire par le remplacement où p est la densité de la quantité conservée. Par exemple, pour la masse, p doit être remplacé par pg. Pour la quantité de chaleur, nous devront remplacer p par pgT. Si on se base sur l’équation de conservation de l’énergie pour un solide de masse variable.

Lien avec l’équation de conservation de l’énergie

La première intégrale représente la quantité totale d’énergie dans le volume de contrôle.
La deuxième intégrale représente la quantité d’énergie sortante et entrante du volume de contrôle (par convection). La troisième intégrale représente la quantité de travail exercée par le volume de contrôle. La quatrième intégrale représente la quantité de travail exercée sur le volume de contrôle et dû aux contraintes visqueuses (cette dernière tend à annuler la quantité de travail représentée par la troisième intégrale). La quatrième intégrale représente la quantité de chaleur transportée par conduction. Si le fluide ne se déplace pas ·à une vitesse trop élevée, la partie cinétique de l’énergie peut être négligée et il ne restera que l’énergie interne dans les deux premières intégrales.
De plus, de manière générale, les contraintes visqueuses augmentent avec la vitesse mais si la vitesse est faible , les composantes du tenseur de contraintes seront faibles et la quatrième intégrale pourra être négligée. Ces deux approximations permettront de rendre l’équation linéaire selon la vitesse. Par contre, comme la réaction d’adsorption produit de la chaleur, il faut ajouter un terme source du côté droite de l’équation.

Conservation de la quantité de mouvement

Le mouvement du fluide est produit par la différence de pression entre l’entrée et l’intérieur du réservoir. Par contre, comme le milieu est aussi poreux, le mouvement du fluide sera freiné par les contraintes de cisaillement entre les phases fluides et solides et qui sont liés à la viscosité du fluide. Il y a donc deux forces qui s’opposent, la force de pression et la force de viscosité. Pour la force de pression, on sait que la pression est définie comme la force par unité de surface exercée par le fluide . Quand la pression est uniforme, cette force n’a pas de direction privilégiée et il n’y a pas de
mouvement net dans le fluide. Mais quand il y a une différence de pression, il y a m une force nette qui sera dirigée de l’endroit où la pression est plus forte à l’endroit où la pression est plus faible.

Adsorption des impuretés

Le charbon activé lui-même est hydrophobe. Par contre, certains charbons activés contiennent des sites hydrophiles et peuvent donc adsorber de l’eau. Plusieurs modèles ont étés proposés, certains plus complexes que d’autres . Par contre, le modèle qui sera utilisé ici sera le modèle de Barton, basé sur le modèle semi-empirique de Dubinin-Serpinski. Ce modèle se base sur le principe que les molécules d’eau se fixent sur les sites hydrophiles mais aussi sur d’autres molécules d’eau déjà adsorbées (par liaison hydrogène). De plus, l’adsorption doit augmenter en fonction de la pression partielle Pe de la vapeur d’eau. Mais Pe ne peut pas dépasser la pression de saturation Ps sinon, la vapeur d’eau deviendrait liquide. Si on considère que l’adsorption de molécules d’eau sur les sites hydrophiles est proportionnelle à la pression relative h = Pe/Ps nous aurons, a = caoh a étant l’adsorption (en mole de vapeur d’eau par unité de masse de charbon) sur les sites hydrophiles, ao est la concentration de ces sites et c est la constante d’adsorption.

Modélisation des équations

Comsol fournit, via les modules de transfert de chaleur et de génie chimique, les équations de transfert de chaleur ainsi que la loi de Darcy. La loi de conservation de la masse est déjà incluse dans la loi de Darcy et l’équation pour la cinétique d’adsorption peut être définie manuellement avec la forme générale pour une équation aux dérivées partielles. Pour solutionner les équations, le logiciel a besoin de connaître les paramètres physiques (densité, viscosité, chaleur spécifique, … ), les termes sources, les conditions initiales et les conditions aux frontières pour chacune des équations.
Notons que certaines propriétés physiques sont également fournies (viscosité, chaleur spécifique, … ) pour des matériaux comme l’hydrogène. Il est aussi important de savoir si on travaille en aD (variables dépendant seulement du temps), ID (dépendance en x), 2D (dépendance en x et y), 3D (dépendance en x, y et z) ou 2D axisymétrique (dépendance en r et z avec une condition de symétrie en r = 0). Comme le réservoir est cylindrique, il est approprié de travailler en 2D axisymétrique. Pour pouvoir définir le domaine de validité des équations ainsi que les conditions frontière, le modèle doit être défini par des géométrie particulières. Par exemple, il a été décidé de travailler avec un réservoir d’une longueur L de 25 cm et d’un rayon Rr de 5 cm. Le filtre sera testé pour des épaisseurs (epp) de 0.5, 1 et 1.5 cm. En 2D axisymétrique, ce modèle correspondra à deux rectangles (un pour le réservoir et un pour le filtre).

Maillage

Comme le logiciel utilise la méthode des éléments finis, un maillage doit aussi être défini. En 2 dimensions, le maillage peut être carré. triangulaire ou d’une autre forme.
Comme la géométrie est rectangulaire, un maillage carré devrait convenir. La taille du maillage doit également être choisie. Pour avoir la meilleure précision, il vaut mieux choisir le maillage le plus fin possible (tant que les résultats convergent en un temps raisonnable). Le choix pour la taille du maillage a donc été le calibre extrêmement fin, ce qui correspond à des éléments dont la taille varie de 5.2 x 10-6 m à 2.6 x 10- 3 m.
Mais pour des fins de comparaison, un maillage un peu plus gros (Extra fin) avec des . éléments variant de 1.95 x 10-5 à 5.2 X 10-3 et un maillage triangulaire ont également été testés.

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Table des matières

1 Introduction
2 Théorie
2.1 Équations de transferts
2.1.1 Conservation de la masse
2.1.2 Transfert de chaleur (Conservation de l’énergie)
2.1.3 Conservation de la quantité de mouvement
2.1.4 Équations pour le milieu poreux
2.1.5 Résumé des équations
2.2 Cinétique d’adsorption
2.2.1 Équilibre chimique et thermodynamique
2.2.2 Cinétique d’adsorption
2.2.3 Cinétique de désorption
2.3 Impuretés
2.3.1 Transport des impuretés
2.3.2 Adsorption des impuretés
2.3.3 Pression partielle
2.3.4 Terme Source (Masse)
3 ·Modélisation des équations
3.1 Loi de Darcy (hydrogène)
3.2 Transfert de chaleur (Milieu poreux)
3.3 Cinétique d’adsorption
3.4 Loi de Darcy (vapeur d’eau)
3.4.1 Perméabilité et viscosité
3.4.2 Adsorption
3.5 Maillage
3.6 Modélisation pour la désorption du réservoir
3.7 Modélisation pour la désorption du filtre
4 Résultats
4.1 Remplissage du réservoir
4.2 Désorption du réservoir
4.3 Désorption du filtre
4.3.1 Filtre de O,5cm
4.3.2 Filtre de 1cm
4.3.3 Filtre de 1,5cm
5 Conclusion