Equations de reaction diffusion non-locale

Introduction et motivation de la thèse

La modélisation et l’analyse mathématique des systèmes biologiques est d’un grand intérêt pour mieux comprendre notre environnement ainsi que son évolution. De nombreuses analogies entre les réacteurs chimiques et certains systèmes biologiques ont conduit les chercheurs à introduire des modèles du type “réaction diffusion” dans la description de ceux-ci. Notamment, au niveau d’une population, les individus interagissent et se déplacent librement, ainsi il n’est guère étonnant d’obtenir des modèles pour la dynamique d’une population similaire à ceux décrivant une réaction chimique. Ces modèles de réaction-diffusion sont essentiellement fondés sur le système d’équations suivant :

ut − γ∆u = f(u) sur Rn × R+, (1)

où u est un vecteur à m-composantes (chaque composante représentant la mesure d’une espèce qui se diffuse), γ est une matrice de diffusion et ∆ est l’opérateur de Laplace. La fonction vectorielle f est un terme généralement non-linéaire décrivant toutes les réactions et interactions considérées. C’est depuis les premiers travaux de Fisher (1930)[35] sur la propagation d’un gène mutant au sein d’une population donnée que ces systèmes et leur généralisation ont donné lieu à d’intenses recherches et se sont montrés très robustes dans la description de phénomènes variés. On les retrouve, entre autres, dans la description de phénomènes liés à la dynamique des populations, l’écologie, les réseaux neuronaux, la combustion, la chimiotaxie … et bien d’autres encore. Ces systèmes d’équations sont caractérisés par l’existence de fronts progressifs décrivant l’évolution en temps long du phénomène considéré : ainsi la proportion u des gènes mutants dans l’équation de Fisher (m=1)

ut − γ∆u = u(1 − u) sur Rn × R+ (2)

Les nonlinéarités du type A1 interviennent plutôt dans la description de réactions chimiques, notamment pour expliquer les transitions de phases ainsi que la propagation d’interface. En effet, les états s = 0 et s = 1 représentent les états stables du système et les fronts progressifs décrivent la transition à vitesse constante d’un état stable vers un autre. La vitesse de la transition c n’est alors rien d’autre que la vitesse de l’onde progressive. Le prototype de fonction bistable est donné par f(u) = u(a − u)(u − 1). Pour plus de détails, on peut se référer aux articles de Fife[30, 32] ; Fife, Mc Leod [34] ; Chen [16] et le livre de Murray [48] ainsi qu’aux références qu’ils contiennent. Les types A2 et B interviennent plutôt en combustion où généralement le terme de réaction est de la forme g(s) = (1 − s)e − E/s .Ainsi, pour E assez grand, une nonlinéarité du type ignition (A2) apparaît comme une bonne approximation du terme de réaction g. Pour plus d’information voir Berestycki, Larrouturou [7] ; Kanel’ [41] et Zeldovich, Frank-Kamenetskii [62]. Dans la classe des fonctions monostables, il existe une sous-classe qui joue un grand rôle dans la modélisation en dynamique de populations. Cette sous-classe, introduite par Kolmogorov-Petrovski-Piskounov [46], est caractérisée par les hypothèses supplémentaires f0 (0) > 0 et f0 (0)s ≥ f(s). On fera donc référence à des nonlinéarités du type KPP pour cette sous-classe. On remarquera que la nonlinéarité utilisée par Fisher est de ce type.

Lorsque β = 0, l’existence et l’unicité ou la multiplicité de fronts progressifs pour ces trois classes sont bien connues, voir [4, 7, 35, 34, 41, 46, 61, 62]. Notamment, les résultats d’existence et d’unicité diffèrent suivant les nonlinéarités considérées. En effet, dans le cas d’une nonlinéarité monostable il existe une infinité de solutions, contrastant avec l’existence d’un unique front (φ, c) dans les autres situations. On résume les résultats d’existence et d’unicité par le théorème suivant :

Théorème 0.1.1. (Cas β = 0) Soit f une fonction C1(R),
– Si f est du type A1 ou A2, alors il existe un front progressif (φ, c) solution de (1).De plus, ce front est unique à translation près c’est-à-dire, si (φ, ˜ c˜) est un autre front progressif solution de (1) alors c = c˜ et il existe un réel τ tel que φ˜(.) = φ(. + τ ).
– Si f est du type B, alors il existe un réel c∗ > 0 tel que pour toute vitesse c ≥ c∗ , il existe un front progressif (ψ, c) solution de (1), et pour toute vitesse c < c∗ , il n’existe pas de front progressif solution de (1).

Intérêt de cette modélisation

L’un des intérêts de cette modélisation non-locale de la diffusion est qu’elle permet de tenir compte de bon nombre d’interactions à longue distance jusqu’alors ignorées. Notamment, lors de la dispersion d’une population soumise à une pression sélective, le terme J(x − y)dy est considéré comme la probabilité d’un individu à la position y de migrer vers la position x. En posant p(x,t) la densité de population au temps t et à la position x, la proportion d’individus qui migrent vers la position x par unité de temps est donnée par ( R R J(x − y)p(y,t)dy)δt.

Transition de phase non-locale 

Dans [5], Bates, Fife, Ren and Wang introduisent et étudient un modèle général de transition de phase non-locale qu’ils modélisent par l’équation suivante

∂U/∂t  = J × U − U + f(U) pour (ξ,t) ∈ R × R+,

Réseaux neuronaux
On retrouve une forme non-linéaire de l’équation (3) dans l’étude des réseaux neuronaux. Dans une étude sur la propagation d’une excitation à travers une membrane, Ermentrout et McLeod [28] propose le modèle suivant : on considère un réseau neuronal unidimensionnel, uniformément réparti en espace et qui varie continûment en temps. Ce type de réseau peut être obtenu en collant bout à bout une série de cellules neuronales. Si on définit u comme le potentiel membranaire à la position x et au temps t et si on suppose que la réponse à une excitation d’une cellule neuronal est modélisée par une fonction non-linéaire S du potentiel u, la propagation du potentiel membranaire à travers le réseau est alors régie par l’équation suivante :

∂U/∂t = J × S(U) − U pour (ξ,t) ∈ R × R+

Résultats obtenus

Les résultats obtenus se divisent en deux parties : on établit tout d’abord l’existence et l’unicité de la solution dans le cas d’une nonlinéarité ignition (i.e. f du type A2) et on étend les résultats d’existence et d’unicité pour le cas d’une fonction bistable précédemment obtenus par Bates, Fife, Ren, Wang [5] et Xinfu Chen [17]. Puis en utilisant d’autres méthodes et en collaboration avec Louis Dupaigne, nous avons pu montrer l’existence d’une demidroite de solutions pour des nonlinéarités monostables. Les techniques développées lors de ce travail conjoint, nous ont permis d’autre part de caractériser la vitesse des fronts progressifs par une formule variationnelle et d’obtenir des estimations du comportement à l’infini des solutions. Par ailleurs, via des techniques de glissement, j’ai pu établir le comportement monotone des solutions dans la majeure partie des cas et souvent montrer l’unicité de ces solutions. Cependant le comportement exact des solutions en −∞ dans le cas de nonlinéarités monostables n’est toujours pas connu. Ce comportement nous permettrait de complètement caractériser les solutions du problème.

Table des matières

Introduction générale
1 Introduction et motivation de la thèse
2 Intérêt de cette modélisation
2.1 Quelques exemples de modèles
2.2 Équations limites et justification de modèles discrets
3 Résultats obtenus
3.1 Construction de fronts progressifs
3.2 Comportement à l’infini, caractérisation de la vitesse
3.3 Monotonie et unicité par méthode de glissement
3.4 Commentaires et perspectives
4 Plan de la thèse
Partie I Nonlocal reaction-diffusion equations
Note au CRAS
Chapitre 1 Travelling waves in a nonlocal reaction diffusion equation with ignition nonlinearity
1.1 Introduction
1.2 Existence of solutions in the ignition case
1.3 Uniqueness
1.3.1 Proof of the first step
1.3.2 Proof of the second step
1.4 Continuity of the speed cθ
1.5 Asymptotic behavior of solutions
1.6 Existence of c∗
Chapitre 2 On a nonlocal reaction diffusion equation arising in population dynamics
2.1 Introduction
2.2 Linear theory
2.3 Existence of sub and supersolutions
2.4 Construction of a solution of (2.25)
2.4.1 Preliminaries
2.4.2 Iteration procedure
2.4.3 Passing to the limit as n → ∞
2.5 Construction of solutions of (2.39) for all c ≥ c∗
2.5.1 Construction of one solution of (2.39) for c = κ
2.5.2 Definition of c∗
2.5.3 L
2 estimates on u
2.6 Existence of a solution for = 0
2.7 Asymptotic behavior of solutions
Annexes
Annexe A
Uniqueness and monotony in integrodifferential equations on a semi-infinite interval
A.1 Uniqueness and Monotony of solutions ofintegrodifferential equations
on semi infinite domain
A.2 Monotonicity, proof of Theorem A.1.2
A.2.1 Proof of the first step
A.2.2 Proof of the second step
A.2.3 Proof of the third step
A.3 Nonlinear comparison principles, proof of Lemma A.1.1
Partie II Qualitative properties offronts solving nonlocalreaction-diffusion equations
Chapitre 3 Min-max formulas for front speeds in a nonlocal reaction-diffusion equation
3.1 Introduction
3.2 Linear theory
3.3 Construction of a solution of (P)
3.3.1 Iteration procedure
3.3.2 Passing to the limit as n → ∞
3.4 L2 estimates of solutions of (3.38)
3.5 Min-max formula : cases A1 and A2
3.6 Min-max formula : the monostable case
Note au CRAS
Chapitre 4 On uniqueness and monotonicity of solutions of non-local reaction diffusion equations
4.1 Introduction and main result
4.1.1 General remarks and comments
4.1.2 Method and plan
4.2 Preliminary results, Nonlinear Comparison Principle
4.3 Uniqueness and monotonicity of solutions of the integrodifferential equation on R
4.3.1 Uniqueness up to translation
4.3.2 Monotonicity of the solution
4.3.3 Nonexistence and applications
4.4 Monotonicity of solutions of the integrodifferential equation : the monostable case
4.5 The multidimensional case
Conclusion générale
Bibliographie

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