Soutenance mémoire
Introduction
Les travaux du présent mémoire concernent la recherche de la solution élémentaire de l’équation d’onde de la propagation acoustique, établie dans les domaines spatio temporels. Le modèle retenu pour ces études est l’équation de Michel Bruneau, qui décrit la propagation d’ondes acoustiques dans un fluide visqueux. L’analyse mathématique montre qu’une méthode classique ne permet pas, en général, d’aboutir à la solution de cette équation. Dans la première partie du mémoire, nous proposons une méthode heuristique pour laquelle nous prouvons que la solution élémentaire s’exprime explicitement pour le cas de l’équation d’ondes classique linéaire. Nous étudierons aussi, dans le même cadre, quelques propriétés mathématiques relatives à la transformation de Fourier et au produit de convolution dans le domaine spatial et dans le domaine temporel. Dans cette partie, il est indispensable d’établir l’expression de l’équation d’onde acoustique de Michel Bruneau.
La deuxième partie du document est consacrée à la construction proprement dite de l’expression de la solution élémentaire de l’équation d’onde de Michel Bruneau dans l’espace et dans le temps. Un principe de développement en série entière est établi et nous démontrerons un résultat par la méthode d’approximation à partir du développement limité par rapport au terme de viscosité ainsi qu’à partir d’une méthode heuristique.Des annexes sont insérées pour présenter certaines démonstrations des relations utiles à ce travail.Des données numériques illustrant les différentes valeurs de la pression associées àdes différentes sources sonores sont également présentées en annexe, ainsi que la présentation des unités acoustiques.
La distribution de Dirac
Aussi appelée par abus de langage fonction δ de Dirac, introduite par Paul Dirac, peut être informellement considérée comme une fonction δ qui prend une « valeur » infinie en 0, et la valeur zéro partout ailleurs, et dont l’intégrale sur est égale à 1. La représentation graphique de la fonction δ peut être assimilée à l’axe des abscisses en entier et le demi-axe des ordonnées positives. D’autre part, δ correspond à la « dérivée» de la fonction de Heaviside (au sens des distributions). Mais cette fonction de Dirac n’est pas une fonction, mais une distribution. La fonction δ de Dirac est très utile comme approximation de fonctions dont la représentation graphique a la forme d’une grande pointe étroite. C’est le même type d’abstraction qui représente une charge ponctuelle, une masse ponctuelle ou un électron ponctuel.
Par exemple, pour calculer la vitesse d’une balle de tennis, frappée par une raquette, nous pouvons assimiler la force de la raquette frappant la balle à une fonction δ. De cette manière, nous simplifions non seulement les équations, mais nous pouvons également calculer le mouvement de la balle en considérant seulement toute l’impulsion de la raquette contre la balle, plutôt que d’exiger la connaissance des détails de la façon dont la raquette a transféré l’énergie à la balle. Par extension, l’expression « un Dirac » est donc souvent utilisée par les physiciens pour désigner une fonction ou une courbe « piquée » en une valeur donnée.
Equation d’onde de Michel Bruneau
On appelle ondes les perturbations d’état d’une substance ou d’un champ qui se propagent dans cette substance ou dans ce champ. Les ondes élastiques sont les perturbations mécaniques (les déformations) se propageant dans un milieu élastique. Les corps extérieurs provoquant ces perturbations sont appelés sources d’ondes. La propagation des ondes élastiques consiste en l’excitation d’oscillations de particules du milieu de plus en plus éloigné de la source d’ondes. La principale différence entre les ondes élastiques d’un milieu et tout autre mouvement ordonné de ses particules est que la propagation des ondes n’est pas liée à un transport de substance lors de faibles perturbations (approximation linéaire).Appelons ondes sonores ou acoustiques les perturbations faibles (oscillations mécaniques de faibles amplitudes) se propageant dans un milieu élastique. La partie de la Physique qui étudie les propriétés des ondes sonores, les lois de leur excitation, de leur propagation et de leurs effets est appelée acoustique ,Comme il s’agit ici des perturbations dans un milieu fluide (eau, gaz).
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Table des matières
Remerciements
Introduction
PREMIERE PARTIE
Chapitre I : Equation d’onde de Michel Bruneau
I.1. Equation d’onde classique
I.2. Equation d’onde de Michel Bruneau
Chapitre II : Sur les théories des Transformations de Fourier et du Produit de Convolution
II.1. Théories à une dimension
II.2. Généralisation à quatre dimensions (trois d’espace et une du temps)
Chapitre III : Solution élémentaire et fonction de Green d’une équation d’onde
III.1. Solution élémentaire et problème aux conditions initiales
III.2. Fonction de Green et problème aux conditions limites données
III.3. Solution élémentaire de l’équation d’onde classique à trois dimensions.
Chapitre IV : Expression sous forme de série
DEUXIEME PARTIE
Chapitre V : Solution élémentaire de l’équation d’onde de Michel Bruneau
Chapitre VI : Approximation d’une équation
VI-1 : Approximation à partir de l’expression exacte
VI.2 : Approximation à partir d’une méthode heuristique
Conclusions
ANNEXES
A. Sur les transformations de Fourier
B. Sur la distribution de Dirac
C. Solution élémentaire de l’équation d’onde classique à une dimension
D. Solutions élémentaires de l’équation d’onde de diffusion à une et à trois dimensions
E. Quelques identités et expressions utiles en Thermodynamique
F. Des données numériques illustrant les différentes valeurs de la pression
G. Les unités acoustiques
Bibliographie
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